# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/turunan-fungsi/turunan-fungsi-trigonometri
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/derivative-function/derivative-of-trigonometric-function/id.mdx

Pelajari turunan fungsi trigonometri: sin, cos, tan, dan lainnya. Pelajari rumus, aturan hasil kali, hasil bagi dengan contoh bertahap dan solusi.

---

## Aturan Main Fungsi Trigonometri

Menentukan turunan fungsi trigonometri sebenarnya tidak jauh berbeda dengan fungsi aljabar. Kita tetap menggunakan sifat-sifat turunan yang sudah dikenal, seperti aturan hasil kali dan hasil bagi.

Namun, sebelum itu, kita perlu mengetahui turunan dasar dari fungsi-fungsi trigonometri utama seperti sinus dan kosinus. Aturan-aturan dasar inilah yang menjadi fondasi untuk menyelesaikan turunan yang lebih kompleks.

## Turunan Dasar Trigonometri

Sama seperti turunan fungsi pangkat, turunan untuk fungsi trigonometri juga memiliki pola dasarnya. Turunan untuk sinus dan kosinus, misalnya, bisa dibuktikan langsung dari definisi limit turunan.

Berikut adalah turunan dasar dari enam fungsi trigonometri yang perlu kita hafal:

1.  **Turunan Sinus**:

    <BlockMath math="f(x) = \sin x \implies f'(x) = \cos x" />

2.  **Turunan Kosinus**:

    <BlockMath math="f(x) = \cos x \implies f'(x) = -\sin x" />

3.  **Turunan Tangen**:

    <BlockMath math="f(x) = \tan x \implies f'(x) = \sec^2 x" />

4.  **Turunan Kotangen**:

    <BlockMath math="f(x) = \cot x \implies f'(x) = -\csc^2 x" />

5.  **Turunan Sekan**:

    <BlockMath math="f(x) = \sec x \implies f'(x) = \sec x \tan x" />

6.  **Turunan Kosekan**:

    <BlockMath math="f(x) = \csc x \implies f'(x) = -\csc x \cot x" />

Visible text: 1. **Turunan Sinus**:

 <BlockMath math="f(x) = \sin x \implies f'(x) = \cos x" />

2. **Turunan Kosinus**:

 <BlockMath math="f(x) = \cos x \implies f'(x) = -\sin x" />

3. **Turunan Tangen**:

 <BlockMath math="f(x) = \tan x \implies f'(x) = \sec^2 x" />

4. **Turunan Kotangen**:

 <BlockMath math="f(x) = \cot x \implies f'(x) = -\csc^2 x" />

5. **Turunan Sekan**:

 <BlockMath math="f(x) = \sec x \implies f'(x) = \sec x \tan x" />

6. **Turunan Kosekan**:

 <BlockMath math="f(x) = \csc x \implies f'(x) = -\csc x \cot x" />

## Menerapkan Aturan pada Fungsi Trigonometri

Sekarang mari kita lihat bagaimana menerapkan aturan-aturan ini dalam beberapa contoh soal.

### Kombinasi Aljabar dan Trigonometri

Tentukan turunan dari $$y = 2 \sin x + 5x$$.

Visible text: Tentukan turunan dari .

**Penyelesaian:**

Kita bisa menurunkan fungsi ini suku per suku menggunakan aturan penjumlahan.

Component: MathContainer
Children:

```math
y' = \frac{d}{dx}(2 \sin x) + \frac{d}{dx}(5x)
```

```math
y' = 2(\cos x) + 5(1)
```

```math
y' = 2 \cos x + 5
```

### Menggunakan Aturan Hasil Kali

Tentukan turunan dari $$y = 2 \sin x \tan x$$.

Visible text: Tentukan turunan dari .

**Penyelesaian:**

Gunakan aturan hasil kali <InlineMath math="y' = u'v + uv'" />.

Misalkan $$u = 2 \sin x$$ dan $$v = \tan x$$.

Visible text: Misalkan dan .

Maka <InlineMath math="u' = 2 \cos x" /> dan <InlineMath math="v' = \sec^2 x" />.

Component: MathContainer
Children:

```math
y' = (2 \cos x)(\tan x) + (2 \sin x)(\sec^2 x)
```

```math
y' = (2 \cos x)\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) + (2 \sin x)(\sec^2 x)
```

```math
y' = 2 \sin x + 2 \sin x \sec^2 x
```

### Menggunakan Aturan Hasil Bagi

Tentukan turunan dari $$y = \frac{1 + \cos x}{\sin x}$$.

Visible text: Tentukan turunan dari .

**Penyelesaian:**

Gunakan aturan hasil bagi <InlineMath math="y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}" />.

Misalkan $$u = 1 + \cos x$$ dan $$v = \sin x$$.

Visible text: Misalkan dan .

Maka <InlineMath math="u' = -\sin x" /> dan <InlineMath math="v' = \cos x" />.

Component: MathContainer
Children:

```math
y' = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (1 + \cos x)(\cos x)}{(\sin x)^2}
```

```math
y' = \frac{-\sin^2 x - (\cos x + \cos^2 x)}{\sin^2 x}
```

```math
y' = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x) - \cos x}{\sin^2 x}
```

```math
y' = \frac{-1 - \cos x}{1 - \cos^2 x} \quad (\text{Identitas Pythagoras})
```

```math
y' = \frac{-(1 + \cos x)}{(1 - \cos x)(1 + \cos x)} \quad (\text{Faktorisasi})
```

```math
y' = \frac{-1}{1 - \cos x} = \frac{1}{\cos x - 1}
```

## Latihan

1. Tentukan turunan pertama dari $$f(x) = 4x^3 - 5 \cos x$$.
2. Tentukan turunan pertama dari $$f(x) = \sin x \cos x$$.

Visible text: 1. Tentukan turunan pertama dari .
2. Tentukan turunan pertama dari .

### Kunci Jawaban

1.  **Penyelesaian:**

    Gunakan aturan pengurangan untuk menurunkan setiap suku secara terpisah.

    **Langkah** $$1$$: Turunkan suku pertama

    Turunan dari $$4x^3$$ menggunakan aturan pangkat adalah $$3 \cdot 4x^{3-1} = 12x^2$$.

    **Langkah** $$2$$: Turunkan suku kedua

    Turunan dari $$-5 \cos x$$ adalah $$-5(-\sin x) = 5 \sin x$$.

    **Langkah** $$3$$: Gabungkan hasilnya

    <BlockMath math="f'(x) = 12x^2 + 5 \sin x" />

    Jadi, turunan dari fungsi tersebut adalah $$12x^2 + 5 \sin x$$.

2.  **Penyelesaian:**

    Gunakan aturan hasil kali, <InlineMath math="f'(x) = u'v + uv'" />.

    **Langkah** $$1$$: Tentukan u, v, u', dan v'

    Misalkan $$u = \sin x$$ dan $$v = \cos x$$.

    Maka, <InlineMath math="u' = \cos x" /> dan <InlineMath math="v' = -\sin x" />.

    **Langkah** $$2$$: Terapkan Aturan Hasil Kali

    <MathContainer>
        <BlockMath math="f'(x) = (\cos x)(\cos x) + (\sin x)(-\sin x)" />
        <BlockMath math="f'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x" />
    </MathContainer>

    **Langkah** $$3$$: Gunakan Identitas Trigonometri (Opsional)

    Hasilnya bisa juga disederhanakan menggunakan identitas sudut ganda, $$\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$$.

    <BlockMath math="f'(x) = \cos(2x)" />

    Jadi, turunan dari fungsi tersebut adalah $$\cos(2x)$$.

Visible text: 1. **Penyelesaian:**

 Gunakan aturan pengurangan untuk menurunkan setiap suku secara terpisah.

 **Langkah** : Turunkan suku pertama

 Turunan dari menggunakan aturan pangkat adalah .

 **Langkah** : Turunkan suku kedua

 Turunan dari adalah .

 **Langkah** : Gabungkan hasilnya

 <BlockMath math="f'(x) = 12x^2 + 5 \sin x" />

 Jadi, turunan dari fungsi tersebut adalah .

2. **Penyelesaian:**

 Gunakan aturan hasil kali, <InlineMath math="f'(x) = u'v + uv'" />.

 **Langkah** : Tentukan u, v, u', dan v'

 Misalkan dan .

 Maka, <InlineMath math="u' = \cos x" /> dan <InlineMath math="v' = -\sin x" />.

 **Langkah** : Terapkan Aturan Hasil Kali

 <MathContainer>
 <BlockMath math="f'(x) = (\cos x)(\cos x) + (\sin x)(-\sin x)" />
 <BlockMath math="f'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x" />
 </MathContainer>

 **Langkah** : Gunakan Identitas Trigonometri (Opsional)

 Hasilnya bisa juga disederhanakan menggunakan identitas sudut ganda, .

 <BlockMath math="f'(x) = \cos(2x)" />

 Jadi, turunan dari fungsi tersebut adalah .