# Nakafa Learning Content

> For AI agents: use [llms.txt](https://nakafa.com/llms.txt) for the site index. Markdown versions are available by appending `.md` to content URLs or sending `Accept: text/markdown`.

URL: https://nakafa.com/id/materi/matematika/vektor-dan-operasinya/perkalian-skalar-vektor
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/material/lesson/mathematics/vector-operations/scalar-multiplication/id.mdx

Pelajari perkalian skalar vektor: skala magnitudo, ubah arah dengan nilai negatif. Pelajari sifat-sifat, perhitungan, dan aplikasi fisika.

---

## Pengertian Perkalian Skalar dengan Vektor

Perkalian skalar dengan vektor adalah operasi perkalian antara sebuah bilangan real (skalar) dengan sebuah vektor $$\vec{v}$$. Hasil dari perkalian ini adalah vektor baru dengan panjang yang diubah sesuai dengan nilai skalar, sementara arahnya dapat tetap sama atau berlawanan tergantung pada tanda dari skalar tersebut.

Visible text: Perkalian skalar dengan vektor adalah operasi perkalian antara sebuah bilangan real (skalar) dengan sebuah vektor . Hasil dari perkalian ini adalah vektor baru dengan panjang yang diubah sesuai dengan nilai skalar, sementara arahnya dapat tetap sama atau berlawanan tergantung pada tanda dari skalar tersebut.

Jika $$k$$ adalah bilangan real (skalar) dan $$\vec{v}$$ adalah vektor, maka perkalian skalar dengan vektor dilambangkan sebagai $$k \cdot \vec{v}$$ dan hasilnya adalah vektor baru.

Visible text: Jika adalah bilangan real (skalar) dan adalah vektor, maka perkalian skalar dengan vektor dilambangkan sebagai dan hasilnya adalah vektor baru.

## Sifat-sifat Perkalian Skalar dengan Vektor

Perkalian skalar dengan vektor memiliki beberapa sifat penting:

1. Jika $$k > 0$$ (positif), maka vektor hasil memiliki arah yang sama dengan vektor asal.
2. Jika $$k < 0$$ (negatif), maka vektor hasil memiliki arah yang berlawanan dengan vektor asal.
3. Jika $$k = 0$$, maka vektor hasil adalah vektor nol.
4. Besar (magnitudo) vektor hasil adalah $$|k| \text{ kali}$$ besar vektor asal.

Visible text: 1. Jika (positif), maka vektor hasil memiliki arah yang sama dengan vektor asal.
2. Jika (negatif), maka vektor hasil memiliki arah yang berlawanan dengan vektor asal.
3. Jika , maka vektor hasil adalah vektor nol.
4. Besar (magnitudo) vektor hasil adalah besar vektor asal.

## Representasi Perkalian Skalar dengan Vektor

### Secara Geometris

Secara geometris, perkalian skalar dengan vektor mengubah panjang (magnitudo) vektor tersebut sebanyak $$|k| \text{ kali}$$. Arah vektor bergantung pada tanda $$k$$:

Visible text: Secara geometris, perkalian skalar dengan vektor mengubah panjang (magnitudo) vektor tersebut sebanyak . Arah vektor bergantung pada tanda :

- Jika $$k > 0$$, arah vektor tidak berubah
- Jika $$k < 0$$, arah vektor berlawanan dengan vektor asal $$|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|$$

Visible text: - Jika , arah vektor tidak berubah
- Jika , arah vektor berlawanan dengan vektor asal

### Secara Aljabar

Jika $$\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$$ adalah vektor di ruang $$3$$ dimensi, maka:

Visible text: Jika adalah vektor di ruang dimensi, maka:

Component: MathContainer
Children:

```math
k \cdot \vec{v} = k(v_1, v_2, v_3) = (k \cdot v_1, k \cdot v_2, k \cdot v_3)
```

Dalam notasi vektor satuan:

Component: MathContainer
Children:

```math
k \cdot \vec{v} = k(v_1\vec{i} + v_2\vec{j} + v_3\vec{k}) = k \cdot v_1\vec{i} + k \cdot v_2\vec{j} + k \cdot v_3\vec{k}
```

## Contoh Perkalian Skalar dengan Vektor

### Contoh Pertama

Diketahui vektor $$\vec{a} = 2\vec{i} + 3\vec{j} + 5\vec{k}$$. Tentukan hasil perkalian $$2\vec{a}$$.

Visible text: Diketahui vektor . Tentukan hasil perkalian .

**Penyelesaian:**

Component: MathContainer
Children:

```math
2\vec{a} = 2(2\vec{i} + 3\vec{j} + 5\vec{k})
```

```math
= 4\vec{i} + 6\vec{j} + 10\vec{k}
```

### Contoh Kedua

Diketahui vektor $$\vec{v} = (4, -2, 3)$$. Tentukan hasil dari $$-3\vec{v}$$.

Visible text: Diketahui vektor . Tentukan hasil dari .

**Penyelesaian:**

Component: MathContainer
Children:

```math
-3\vec{v} = -3(4, -2, 3)
```

```math
= (-12, 6, -9)
```

Perhatikan bahwa arah vektor hasil berlawanan dengan vektor asal karena skalarnya negatif.

## Aplikasi Perkalian Skalar dengan Vektor

Perkalian skalar dengan vektor memiliki banyak aplikasi dalam fisika dan matematika, seperti:

1. **Gaya dan Percepatan**: Jika sebuah benda bermassa $$m$$ mengalami percepatan $$\vec{a}$$, maka gaya yang bekerja pada benda tersebut adalah $$\vec{F} = m\vec{a}$$.

2. **Kecepatan**: Jika sebuah benda bergerak dengan kecepatan $$\vec{v}$$ selama waktu $$t$$, maka perpindahan benda tersebut adalah $$\vec{s} = t\vec{v}$$.

3. **Penskalaan dalam Grafika Komputer**: Untuk mengubah ukuran objek dalam grafika komputer, koordinat titik-titik pada objek dikalikan dengan faktor skala.

Visible text: 1. **Gaya dan Percepatan**: Jika sebuah benda bermassa mengalami percepatan , maka gaya yang bekerja pada benda tersebut adalah .

2. **Kecepatan**: Jika sebuah benda bergerak dengan kecepatan selama waktu , maka perpindahan benda tersebut adalah .

3. **Penskalaan dalam Grafika Komputer**: Untuk mengubah ukuran objek dalam grafika komputer, koordinat titik-titik pada objek dikalikan dengan faktor skala.

## Latihan Soal

1. Diketahui vektor $$\vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}$$. Tentukan hasil dari $$-2\vec{a}$$.

2. Vektor $$\vec{u} = (2, -5, 1)$$ dan $$\vec{v} = (-4, 3, 6)$$. Tentukan vektor $$2\vec{u} - 3\vec{v}$$.

3. Diketahui vektor $$\overrightarrow{BR} = 3{,}4 \text{ cm}$$. Jika $$\overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR}$$ dan $$\overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR}$$, buktikan bahwa ketiga vektor tersebut memiliki arah yang sama.

4. Vektor $$\vec{p}$$ memiliki panjang $$5 \text{ satuan}$$ dan vektor $$\vec{q} = 3\vec{p}$$. Tentukan panjang vektor $$\vec{q}$$.

5. Diketahui titik $$A(2, 3, -1)$$, $$B(5, -2, 4)$$, dan $$C$$ terletak pada garis yang melalui $$A$$ dan $$B$$ sehingga $$\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$$. Tentukan koordinat titik $$C$$.

Visible text: 1. Diketahui vektor . Tentukan hasil dari .

2. Vektor dan . Tentukan vektor .

3. Diketahui vektor . Jika dan , buktikan bahwa ketiga vektor tersebut memiliki arah yang sama.

4. Vektor memiliki panjang dan vektor . Tentukan panjang vektor .

5. Diketahui titik , , dan terletak pada garis yang melalui dan sehingga . Tentukan koordinat titik .

## Kunci Jawaban

### Soal Pertama

Diketahui vektor $$\vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k}$$. Tentukan hasil dari $$-2\vec{a}$$.

Visible text: Diketahui vektor . Tentukan hasil dari .

**Penyelesaian:**

Component: MathContainer
Children:

```math
-2\vec{a} = -2(3\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k})
```

```math
= -6\vec{i} + 8\vec{j} - 4\vec{k}
```

Jadi, hasil dari $$-2\vec{a}$$ adalah $$-6\vec{i} + 8\vec{j} - 4\vec{k}$$.

Visible text: Jadi, hasil dari adalah .

### Soal Kedua

Vektor $$\vec{u} = (2, -5, 1)$$ dan $$\vec{v} = (-4, 3, 6)$$. Tentukan vektor $$2\vec{u} - 3\vec{v}$$.

Visible text: Vektor dan . Tentukan vektor .

**Penyelesaian:**

Component: MathContainer
Children:

```math
2\vec{u} = 2(2, -5, 1) = (4, -10, 2)
```

```math
3\vec{v} = 3(-4, 3, 6) = (-12, 9, 18)
```

```math
2\vec{u} - 3\vec{v} = (4, -10, 2) - (-12, 9, 18)
```

```math
= (4 - (-12), -10 - 9, 2 - 18)
```

```math
= (4 + 12, -10 - 9, 2 - 18)
```

```math
= (16, -19, -16)
```

Jadi, vektor $$2\vec{u} - 3\vec{v}$$ adalah $$(16, -19, -16)$$ atau $$16\vec{i} - 19\vec{j} - 16\vec{k}$$.

Visible text: Jadi, vektor adalah atau .

### Soal Ketiga

Diketahui vektor $$\overrightarrow{BR} = 3{,}4 \text{ cm}$$. Jika $$\overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR}$$ dan $$\overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR}$$, buktikan bahwa ketiga vektor tersebut memiliki arah yang sama.

Visible text: Diketahui vektor . Jika dan , buktikan bahwa ketiga vektor tersebut memiliki arah yang sama.

**Penyelesaian:**
Untuk membuktikan bahwa ketiga vektor memiliki arah yang sama, kita perlu menunjukkan bahwa mereka merupakan perkalian skalar positif dari vektor yang sama.

Kita tahu:

- $$\overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR}$$
- $$\overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR}$$

Visible text: - 
-

Mari kita periksa apakah $$\overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} = \overrightarrow{BR}$$:

Visible text: Mari kita periksa apakah :

Component: MathContainer
Children:

```math
\overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR} + 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR}
```

```math
= (0{,}65 + 0{,}35) \cdot \overrightarrow{BR}
```

```math
= 1 \cdot \overrightarrow{BR}
```

```math
= \overrightarrow{BR}
```

Hasil ini menunjukkan bahwa $$\overrightarrow{BU} + \overrightarrow{UR} = \overrightarrow{BR}$$, yang sesuai dengan hukum penjumlahan vektor untuk titik-titik $$B$$, $$U$$, dan $$R$$ yang segaris.

Visible text: Hasil ini menunjukkan bahwa , yang sesuai dengan hukum penjumlahan vektor untuk titik-titik , , dan yang segaris.

Karena $$\overrightarrow{BU} = 0{,}65 \cdot \overrightarrow{BR}$$ dan $$\overrightarrow{UR} = 0{,}35 \cdot \overrightarrow{BR}$$, dimana faktor skalanya positif $$0{,}65$$ dan $$0{,}35$$, maka ketiga vektor memiliki arah yang sama. Faktor skalar positif berarti vektor-vektor tersebut mengarah ke arah yang sama dengan vektor acuan $$\overrightarrow{BR}$$.

Visible text: Karena dan , dimana faktor skalanya positif dan , maka ketiga vektor memiliki arah yang sama. Faktor skalar positif berarti vektor-vektor tersebut mengarah ke arah yang sama dengan vektor acuan .

Jadi, terbukti bahwa ketiga vektor $$\overrightarrow{BR}$$, $$\overrightarrow{BU}$$, dan $$\overrightarrow{UR}$$ memiliki arah yang sama.

Visible text: Jadi, terbukti bahwa ketiga vektor , , dan memiliki arah yang sama.

### Soal Keempat

Vektor $$\vec{p}$$ memiliki panjang $$5 \text{ satuan}$$ dan vektor $$\vec{q} = 3\vec{p}$$. Tentukan panjang vektor $$\vec{q}$$.

Visible text: Vektor memiliki panjang dan vektor . Tentukan panjang vektor .

**Penyelesaian:**
Diketahui $$|\vec{p}| = 5 \text{ satuan}$$ dan $$\vec{q} = 3\vec{p}$$.

Visible text: **Penyelesaian:**
Diketahui dan .

Untuk menentukan panjang vektor $$\vec{q}$$, kita menggunakan sifat perkalian skalar:

Visible text: Untuk menentukan panjang vektor , kita menggunakan sifat perkalian skalar:

Component: MathContainer
Children:

```math
|\vec{q}| = |3\vec{p}|
```

```math
= |3| \cdot |\vec{p}|
```

```math
= 3 \cdot 5
```

```math
= 15
```

Jadi, panjang vektor $$\vec{q}$$ adalah $$15 \text{ satuan}$$.

Visible text: Jadi, panjang vektor adalah .

### Soal Kelima

Diketahui titik $$A(2, 3, -1)$$, $$B(5, -2, 4)$$, dan $$C$$ terletak pada garis yang melalui $$A$$ dan $$B$$ sehingga $$\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$$. Tentukan koordinat titik $$C$$.

Visible text: Diketahui titik , , dan terletak pada garis yang melalui dan sehingga . Tentukan koordinat titik .

**Penyelesaian:**
Pertama, kita tentukan vektor $$\overrightarrow{AB}$$:

Visible text: **Penyelesaian:**
Pertama, kita tentukan vektor :

Component: MathContainer
Children:

```math
\overrightarrow{AB} = B - A
```

```math
= (5, -2, 4) - (2, 3, -1)
```

```math
= (5-2, -2-3, 4-(-1))
```

```math
= (3, -5, 5)
```

Kemudian, kita gunakan hubungan $$\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$$ untuk menentukan vektor $$\overrightarrow{AC}$$:

Visible text: Kemudian, kita gunakan hubungan untuk menentukan vektor :

Component: MathContainer
Children:

```math
\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}
```

```math
= 2(3, -5, 5)
```

```math
= (6, -10, 10)
```

Selanjutnya, kita tentukan koordinat titik $$C$$:

Visible text: Selanjutnya, kita tentukan koordinat titik :

Component: MathContainer
Children:

```math
\overrightarrow{AC} = C - A
```

```math
(6, -10, 10) = C - (2, 3, -1)
```

```math
C = (6, -10, 10) + (2, 3, -1)
```

```math
C = (6+2, -10+3, 10+(-1))
```

```math
C = (8, -7, 9)
```

Jadi, koordinat titik $$C$$ adalah $$C(8, -7, 9)$$.

Visible text: Jadi, koordinat titik adalah .