# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/10/mathematics/exponential-logarithm/exponential-growth
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/10/mathematics/exponential-logarithm/exponential-growth/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { FunctionChart } from "@repo/design-system/components/contents/function-chart";

export const metadata = {
  title: "Pertumbuhan Eksponen",
  description: "Jelajahi pertumbuhan eksponen melalui perkalian bakteri & dinamika populasi. Pelajari fungsi naik dengan perhitungan langkah demi langkah.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "04/02/2025",
  subject: "Eksponen dan Logaritma",
};

## Definisi Fungsi Pertumbuhan Eksponen

Pertumbuhan eksponen adalah jenis pertumbuhan di mana **tingkat perubahan berbanding lurus dengan nilai kuantitasnya**. Pada pertumbuhan ini, nilai akan bertambah semakin cepat seiring berjalannya waktu.

Fungsi pertumbuhan eksponen ditulis dengan:

<InlineMath math="f(x) = a^x" /> dengan <InlineMath math="a > 1" />

Di mana:

- <InlineMath math="a" /> adalah basis (konstanta pertumbuhan)
- <InlineMath math="x" /> adalah variabel (waktu)

## Contoh Pertumbuhan Eksponen

Pertumbuhan eksponen sering ditemukan dalam kehidupan nyata, seperti pertumbuhan bakteri yang membelah menjadi dua dalam interval waktu tertentu.

### Pertumbuhan Bakteri

Seorang peneliti mengamati pertumbuhan bakteri pada inang dengan kondisi awal 30 bakteri. Bakteri tersebut membelah menjadi dua setiap 30 menit.

Jika <InlineMath math="x" /> adalah fase pertumbuhan bakteri setiap 30 menit, maka:

| Fase (30 menit) | 0   | 1   | 2   | 3   | 4   | 5   |
| --------------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Banyak bakteri  | 30  | 60  | 120 | 240 | 480 | 960 |

Dapat diamati bahwa:

- Untuk <InlineMath math="x = 0" />, banyak bakteri = 30
- Untuk <InlineMath math="x = 1" />, banyak bakteri = 60
- Untuk <InlineMath math="x = 2" />, banyak bakteri = 120 = <InlineMath math="2^2 \cdot 30" />
- Untuk <InlineMath math="x = 3" />, banyak bakteri = 240 = <InlineMath math="2^3 \cdot 30" />
- Untuk <InlineMath math="x = 4" />, banyak bakteri = 480 = <InlineMath math="2^4 \cdot 30" />

Dari pola tersebut, pertumbuhan bakteri dapat dimodelkan dengan fungsi eksponen:

<BlockMath math="f(x) = 30 \cdot (2^x)" />

### Visualisasi Grafik Pertumbuhan Eksponen

Grafik fungsi <InlineMath math="f(x) = 30 \cdot (2^x)" /> menunjukkan pertumbuhan yang semakin cepat seiring bertambahnya nilai <InlineMath math="x" />. Ciri khas grafik pertumbuhan eksponen adalah kurvanya yang semakin curam.

<FunctionChart
  p={30}
  a={2}
  title="Pertumbuhan Bakteri"
  description="Pertumbuhan bakteri yang membelah menjadi dua setiap 30 menit."
/>

### Perhitungan Jumlah Bakteri pada Waktu Tertentu

Jika ingin menghitung jumlah bakteri pada jam ke-5, perlu diketahui bahwa jam ke-5 terjadi pada fase ke-10 (karena setiap fase adalah 30 menit):

<BlockMath math="f(10) = 30 \cdot (2^{10}) = 30 \cdot 1024 = 30.720" />

Jadi, pada jam ke-5 terdapat 30.720 bakteri.

## Variasi Nilai Awal

Pertumbuhan eksponen dapat memiliki nilai awal yang berbeda-beda. Secara umum, jika nilai awal adalah <InlineMath math="P_0" />, maka fungsi pertumbuhan eksponen menjadi:

<BlockMath math="f(x) = P_0 \cdot (a^x)" />

Misalnya:

- Jika banyak bakteri awal adalah 50, maka <InlineMath math="f(x) = 50 \cdot (2^x)" />
- Jika banyak bakteri awal adalah 100, maka <InlineMath math="f(x) = 100 \cdot (2^x)" />
- Jika banyak bakteri awal adalah 200, maka <InlineMath math="f(x) = 200 \cdot (2^x)" />

### Menentukan Nilai Awal

Terkadang kita perlu menentukan nilai awal <InlineMath math="x_0" /> dari suatu pertumbuhan eksponen jika diketahui nilainya pada waktu tertentu.

**Contoh kasus**:

Misalkan kita mengetahui bahwa jumlah bakteri pada fase ke-2 adalah 8.000 dan bakteri membelah menjadi dua setiap interval waktu. Berapakah jumlah bakteri awal?

Kita dapat menggunakan persamaan <InlineMath math="x_2 = a^2 \cdot x_0" /> dengan <InlineMath math="a = 2" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x_2 = a^2 \cdot x_0" />
  <BlockMath math="8000 = 2^2 \cdot x_0" />
  <BlockMath math="8000 = 4 \cdot x_0" />
  <BlockMath math="\frac{8000}{4} = x_0" />
  <BlockMath math="x_0 = 2000" />
</div>

Jadi, banyaknya bakteri mula-mula adalah 2.000 bakteri.

### Menghitung Pertumbuhan Jangka Panjang

Untuk menghitung jumlah bakteri setelah waktu yang lebih lama, kita tetap menggunakan model yang sama. Misalnya, untuk menghitung jumlah bakteri setelah 10 jam:

<BlockMath math="x_{10} = a^{10} \cdot x_0" />

Substitusikan nilai <InlineMath math="a = 2" /> dan <InlineMath math="x_0 = 2.000" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x_{10} = 2^{10} \cdot 2.000" />
  <BlockMath math="x_{10} = 1.024 \cdot 2.000" />
  <BlockMath math="x_{10} = 2.048.000" />
</div>

Jadi, banyaknya bakteri setelah 10 jam adalah 2.048.000 bakteri.

## Latihan

1. Bakteri E.coli menyebabkan penyakit diare pada manusia. Seorang peneliti mengamati pertumbuhan 50 bakteri ini pada sepotong makanan dan menemukan bahwa bakteri ini membelah menjadi 2 setiap seperempat jam.

   a. Gambarkanlah tabel dan grafik yang menunjukkan pertumbuhan bakteri ini dari fase 0 sampai fase 5.

   b. Modelkan fungsi yang menggambarkan pertumbuhan bakteri E.coli setiap seperempat jam.

   c. Prediksi berapa banyaknya bakteri setelah 3 dan 4 jam pertama.

2. Pada tahun 2015 kasus positif HIV-AIDS berjumlah sekitar 36 juta jiwa. Jumlah ini meningkat rata-rata 2% setiap tahun dari tahun 2010 hingga 2015. Jika peningkatan kasus positif HIV di tahun-tahun berikutnya diprediksi bertambah secara eksponen pada peningkatan 2% setiap tahun, berapa banyak kasus yang terjadi pada tahun 2020?

### Kunci Jawaban

1. Bakteri E.coli dengan jumlah awal 50 bakteri yang membelah menjadi dua setiap 15 menit.

   a. Pertumbuhan Bakteri:

   | Fase (15 menit) | 0   | 1   | 2   | 3   | 4   | 5     |
   | --------------- | --- | --- | --- | --- | --- | ----- |
   | Banyak bakteri  | 50  | 100 | 200 | 400 | 800 | 1.600 |

   <FunctionChart
     p={50}
     a={2}
     n={7}
     title="Pertumbuhan Bakteri"
     description="Pertumbuhan bakteri yang membelah menjadi dua setiap 15 menit."
   />

   b. Fungsi pertumbuhan bakteri E.coli dapat dimodelkan dengan:

   <BlockMath math="f(x) = 50 \cdot (2^x)" />

   c. Setelah 3 jam pertama berarti fase ke-12 (bakteri membelah setiap 15 menit):

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="f(12) = 50 \cdot (2^{12})" />
     <BlockMath math="f(12) = 50 \cdot 4.096" />
     <BlockMath math="f(12) = 204.800" />
   </div>

   Setelah 4 jam pertama berarti fase ke-16 (bakteri membelah setiap 15 menit):

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="f(16) = 50 \cdot (2^{16})" />
     <BlockMath math="f(16) = 50 \cdot 65.536" />
     <BlockMath math="f(16) = 3.276.800" />
   </div>

2. Kasus HIV-AIDS:

   Jumlah kasus pada tahun 2015 adalah 36.000.000 jiwa dengan peningkatan 2% per tahun.

   Model matematika:

   <BlockMath math="f(x) = 36.000.000 \cdot (1 + 0,02)^x" />

   Untuk menghitung kasus pada tahun 2020 (5 tahun setelah 2015):

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="f(5) = 36.000.000 \cdot (1,02)^5" />
     <BlockMath math="f(5) = 36.000.000 \cdot 1,1040808" />
     <BlockMath math="f(5) = 39.746.908" />
   </div>

   Jadi, prediksi jumlah kasus HIV-AIDS pada tahun 2020 adalah sekitar 39.746.908 jiwa.

## Penerapan Lain Pertumbuhan Eksponen

Pertumbuhan eksponen juga ditemukan dalam konteks lain seperti:

- Bunga majemuk dalam investasi
- Pertumbuhan populasi makhluk hidup
- Peluruhan radioaktif (pertumbuhan negatif)
- Penyebaran penyakit menular

Pertumbuhan eksponen sangat penting dalam berbagai bidang seperti biologi, keuangan, dan fisika karena menggambarkan banyak fenomena di dunia nyata.
