# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/10/mathematics/exponential-logarithm/proof-properties
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/10/mathematics/exponential-logarithm/proof-properties/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Pembuktian Sifat",
  description: "Pelajari pembuktian ketat 7 sifat eksponen dengan demonstrasi langkah demi langkah. Kuasai aturan perkalian, pembagian, dan pangkat melalui contoh.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "04/01/2025",
  subject: "Eksponen dan Logaritma",
};

## Sifat Eksponen dan Pembuktiannya

Kita akan membahas sifat-sifat eksponen dan pembuktiannya. Sifat-sifat ini sangat penting untuk dipahami karena menjadi dasar dalam menyelesaikan berbagai persoalan eksponen dan logaritma.

### Sifat 1

<InlineMath math="a^m \cdot a^n = a^{m+n}" />

Untuk setiap <InlineMath math="a \neq 0" /> dan <InlineMath math="m, n" /> bilangan real.

### Sifat 2

<InlineMath math="\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}" />

Untuk setiap <InlineMath math="a \neq 0" /> dan <InlineMath math="m, n" /> bilangan real.

### Sifat 3

<InlineMath math="(a^m)^n = a^{m \cdot n}" />

Untuk setiap <InlineMath math="a \neq 0" /> dan <InlineMath math="m, n" /> bilangan real.

### Sifat 4

<InlineMath math="(ab)^m = a^m \cdot b^m" />

Untuk setiap <InlineMath math="a, b \neq 0" /> dan <InlineMath math="m" /> bilangan bulat.

**Pembuktian:**

_Metode 1:_

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="(ab)^m = \underbrace{ab \times ab \times ab \times \ldots \times ab}_{m\text{ faktor}}" />
  <BlockMath math="(ab)^m = \underbrace{a \times a \times a \times \ldots \times a}_{m\text{ faktor}} \times \underbrace{b \times b \times b \times \ldots \times b}_{m\text{ faktor}}" />
  <BlockMath math="(ab)^m = a^m \times b^m" />
</div>

_Metode 2:_

Kita dapat mengambil beberapa contoh dengan nilai <InlineMath math="m, a" /> dan <InlineMath math="b" /> tertentu
untuk melihat pola yang terbentuk. Misalnya dengan <InlineMath math="m=2, a=3, b=4" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="(3 \cdot 4)^2 = 12^2 = 144" />
  <BlockMath math="3^2 \cdot 4^2 = 9 \cdot 16 = 144" />
</div>

### Sifat 5

<InlineMath math="\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}" />

Untuk setiap <InlineMath math="a \neq 0, b \neq 0" /> dan <InlineMath math="m" /> bilangan bulat.

**Pembuktian:**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\left(\frac{a}{b}\right)^m = \underbrace{\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \ldots \times \frac{a}{b}}_{m\text{ faktor}}" />
  <BlockMath math="\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{\underbrace{a \times a \times a \times \ldots \times a}_{m\text{ faktor}}}{\underbrace{b \times b \times b \times \ldots \times b}_{m\text{ faktor}}}" />
  <BlockMath math="\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}" />
</div>

### Sifat 6

<InlineMath math="(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{n}}) = a^{\frac{m+p}{n}}" />

Untuk setiap <InlineMath math="a > 0" />, <InlineMath math="\frac{m}{n}" /> dan <InlineMath math="\frac{p}{n}" /> bilangan rasional dengan <InlineMath math="n \neq 0" />.

**Pembuktian:**

Dengan menggunakan Sifat 1, kita memperoleh:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{n}}) = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{n}}" />
  <BlockMath math="(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{n}}) = a^{\frac{m+p}{n}}" />
</div>

### Sifat 7

<InlineMath math="(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{q}}) = a^{\frac{mq + pn}{nq}}" />

Untuk setiap <InlineMath math="a > 0" />, <InlineMath math="\frac{m}{n}" /> dan <InlineMath math="\frac{p}{q}" /> bilangan rasional dengan <InlineMath math="n, q \neq 0" />.

**Pembuktian:**

Dengan menggunakan Sifat 1, kita perlu menyamakan penyebut dari pangkat:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{q}}) = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}}" />
  <BlockMath math="(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{q}}) = a^{\frac{mq}{nq} + \frac{pn}{nq}}" />
  <BlockMath math="(a^{\frac{m}{n}})(a^{\frac{p}{q}}) = a^{\frac{mq + pn}{nq}}" />
</div>

## Contoh Soal

### Menentukan Nilai dan Pembuktian

1. <InlineMath math="(3^4)^2 = 3^p" />

    Solusi: Menggunakan Sifat 3, <InlineMath math="(a^m)^n = a^{m \cdot n}" />

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="(3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8" />
      <BlockMath math="p = 8" />
    </div>

2. <InlineMath math="b^4 \cdot b^5 = b^9" />

    Solusi: Menggunakan Sifat 1, <InlineMath math="a^m \cdot a^n = a^{m+n}" />

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="b^4 \cdot b^5 = b^{4+5} = b^9" />
      <BlockMath math="\text{Sehingga persamaan terbukti benar.}" />
    </div>

3. <InlineMath math="(3\pi)^p = 27\pi^3" />

    Solusi: Mengubah <InlineMath math="27\pi^3" /> menjadi <InlineMath math="3^3 \cdot \pi^3" />

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="27\pi^3 = 3^3 \cdot \pi^3 = (3\pi)^3" />
      <BlockMath math="p = 3" />
    </div>

### Menyederhanakan

1. <InlineMath math="\left(\frac{2^4 \times 3^6}{2^3 \times 3^2}\right)^3" />

    <div className="flex flex-col gap-4 mt-4">
      <BlockMath math="\left(\frac{2^4 \times 3^6}{2^3 \times 3^2}\right)^3 = \left(2^{4-3} \times 3^{6-2}\right)^3" />
      <BlockMath math="= \left(2^1 \times 3^4\right)^3" />
      <BlockMath math="= 2^{1 \cdot 3} \times 3^{4 \cdot 3}" />
      <BlockMath math="= 2^3 \times 3^{12}" />
    </div>

2. <InlineMath math="(3u^3v^5)(9u^4v)" />

    <div className="flex flex-col gap-4 mt-4">
      <BlockMath math="(3u^3v^5)(9u^4v) = 3 \cdot 9 \cdot u^{3+4} \cdot v^{5+1}" />
      <BlockMath math="= 3^1 \cdot 3^2 \cdot u^7 \cdot v^6" />
      <BlockMath math="= 3^{1+2} \cdot u^7 \cdot v^6" />
      <BlockMath math="= 3^3 \cdot u^7 \cdot v^6" />
      <BlockMath math="= 27u^7v^6" />
    </div>

3. <InlineMath math="\left(\frac{n^{-1}r^4}{5n^{-6}r^{-4}}\right)^2" />

    <div className="flex flex-col gap-4 mt-4">
      <BlockMath math="\left(\frac{n^{-1}r^4}{5n^{-6}r^{-4}}\right)^2 = \left(\frac{n^{-1}r^4}{5} \cdot \frac{1}{n^{-6}r^{-4}}\right)^2" />
      <BlockMath math="= \left(\frac{n^{-1}r^4}{5} \cdot n^6r^4\right)^2" />
      <BlockMath math="= \left(\frac{n^{-1+6}r^{4+4}}{5}\right)^2" />
      <BlockMath math="= \left(\frac{n^5r^8}{5}\right)^2" />
      <BlockMath math="= \frac{n^{10}r^{16}}{25}" />
    </div>
