# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/10/mathematics/quadratic-function/quadratic-equation-factorization
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/10/mathematics/quadratic-function/quadratic-equation-factorization/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Faktorisasi Persamaan Kuadrat",
  description: "Kuasai faktorisasi persamaan kuadrat ke bentuk (x-p)(x-q). Pelajari langkah sistematis, metode pengelompokan, dan kasus khusus dengan contoh detail dan latihan soal.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "04/19/2025",
  subject: "Persamaan dan Fungsi Kuadrat",
};

## Apa itu Faktorisasi Persamaan Kuadrat?

<Youtube videoId="CVuDCWTxqBA" />

Faktorisasi persamaan kuadrat adalah proses mengubah bentuk persamaan dari <InlineMath math="ax^2 + bx + c = 0" /> menjadi bentuk <InlineMath math="a(x - p)(x - q) = 0" />, dimana <InlineMath math="p" /> dan <InlineMath math="q" /> adalah akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Perhatikan bahwa akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai-nilai <InlineMath math="x" /> yang membuat persamaan tersebut bernilai nol. Ketika kita mengubah persamaan ke bentuk faktor, maka kita dapat dengan mudah menemukan akar-akarnya.

## Prinsip Dasar Faktorisasi

Persamaan kuadrat dalam bentuk standar ditulis sebagai:

<BlockMath math="ax^2 + bx + c = 0" />

dimana <InlineMath math="a" />, <InlineMath math="b" />, dan <InlineMath math="c" /> adalah konstanta dan <InlineMath math="a \neq 0" />.

Faktorisasi berdasarkan pada sifat berikut: Jika suatu perkalian bernilai nol, maka salah satu atau kedua faktornya harus bernilai nol.

Ini berarti jika <InlineMath math="(x - p)(x - q) = 0" />, maka:

- <InlineMath math="x - p = 0" /> atau <InlineMath math="x - q = 0" />
- Sehingga <InlineMath math="x = p" /> atau <InlineMath math="x = q" />

## Langkah-Langkah Faktorisasi Persamaan Kuadrat

Berikut adalah langkah-langkah umum untuk memfaktorkan persamaan kuadrat <InlineMath math="ax^2 + bx + c = 0" />:

1. Pastikan persamaan sudah dalam bentuk standar dengan ruas kanan bernilai nol
2. Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan <InlineMath math="ac" /> dan jika dijumlahkan menghasilkan <InlineMath math="b" />
3. Tulis persamaan dalam bentuk faktor-faktor
4. Tentukan akar-akar persamaan dari faktor-faktor tersebut

### Contoh memfaktorkan persamaan kuadrat

1. Memfaktorkan persamaan:

   <BlockMath math="x^2 + 5x + 6 = 0" />

   Pada persamaan ini, <InlineMath math="a = 1" />, <InlineMath math="b = 5" />, dan <InlineMath math="c = 6" />.

   **Langkah 1**: Persamaan sudah dalam bentuk standar dengan ruas kanan bernilai nol.

   **Langkah 2**: Kita perlu mencari dua bilangan yang:

   - Jika dikalikan menghasilkan <InlineMath math="ac = 1 \times 6 = 6" />
   - Jika dijumlahkan menghasilkan <InlineMath math="b = 5" />

   Faktor-faktor dari 6 adalah: 1, 2, 3, dan 6
   Pasangan faktor yang mungkin: (1, 6) dan (2, 3)
   Pasangan (2, 3) memberikan jumlah 5, sesuai dengan nilai <InlineMath math="b" />.

   **Langkah 3**: Kita dapat menulis persamaan sebagai:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x^2 + 2x + 3x + 6 = 0" />
     <BlockMath math="x(x + 2) + 3(x + 2) = 0" />
     <BlockMath math="(x + 3)(x + 2) = 0" />
   </div>

   **Langkah 4**: Dari bentuk faktor di atas, kita mendapatkan:

   - <InlineMath math="x + 3 = 0" /> → <InlineMath math="x = -3" />
   - <InlineMath math="x + 2 = 0" /> → <InlineMath math="x = -2" />

   Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x = -3" /> dan <InlineMath math="x = -2" />.

2. Memfaktorkan persamaan:

   <BlockMath math="3x^2 + 13x - 10 = 0" />

   Pada persamaan ini, <InlineMath math="a = 3" />, <InlineMath math="b = 13" />, dan <InlineMath math="c = -10" />.

   **Langkah 1**: Persamaan sudah dalam bentuk standar dengan ruas kanan bernilai nol.

   **Langkah 2**: Kita perlu mencari dua bilangan yang:

   - Jika dikalikan menghasilkan <InlineMath math="ac = 3 \times (-10) = -30" />
   - Jika dijumlahkan menghasilkan <InlineMath math="b = 13" />

   Faktor-faktor dari -30 adalah pasangan bilangan yang berlawanan tanda:

   <InlineMath math="(1, -30), (-1, 30), (2, -15), (-2, 15), (3, -10), (-3, 10), (5, -6), (-5, 6)" />

   Pasangan <InlineMath math="(15, -2)" /> memberikan jumlah 13, sesuai dengan nilai <InlineMath math="b" />.

   **Langkah 3**: Kita dapat menulis persamaan sebagai:

   <BlockMath math="3x^2 + 15x - 2x - 10 = 0" />

   Kita dapat mengelompokkannya:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="3x^2 + 15x - 2x - 10 = 0" />
     <BlockMath math="3x(x + 5) - 2(x + 5) = 0" />
     <BlockMath math="(3x - 2)(x + 5) = 0" />
   </div>

   **Langkah 4**: Dari bentuk faktor di atas, kita mendapatkan:

   - <InlineMath math="3x - 2 = 0" /> → <InlineMath math="x = \frac{2}{3}" />
   - <InlineMath math="x + 5 = 0" /> → <InlineMath math="x = -5" />

   Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x = \frac{2}{3}" /> dan <InlineMath math="x = -5" />.

3. Faktorisasi Ketika Koefisien <InlineMath math="a \neq 1" />

   Ketika koefisien <InlineMath math="a" /> tidak sama dengan 1, kita perlu sedikit modifikasi dalam langkah-langkah faktorisasi. Ada beberapa pendekatan:

   **Metode Faktor dari <InlineMath math="ac" />**

   1. Tentukan nilai <InlineMath math="ac" />
   2. Cari pasangan faktor dari <InlineMath math="ac" /> yang jika dijumlahkan menghasilkan <InlineMath math="b" />
   3. Gunakan pasangan faktor untuk memisahkan suku <InlineMath math="bx" /> menjadi dua suku
   4. Faktorkan dengan pengelompokan

   **Contoh Faktorisasi**:

   <BlockMath math="2x^2 + 5x - 3 = 0" />

   Pada persamaan ini, <InlineMath math="a = 2" />, <InlineMath math="b = 5" />, dan <InlineMath math="c = -3" />.

   **Langkah 1**: Hitung <InlineMath math="ac = 2 \times (-3) = -6" />

   **Langkah 2**: Cari pasangan faktor dari -6 yang jika dijumlahkan menghasilkan 5:

   Faktor-faktor dari -6: <InlineMath math="(1, -6), (-1, 6), (2, -3), (-2, 3)" />

   Pasangan <InlineMath math="(6, -1)" /> memberikan jumlah 5, sesuai dengan nilai <InlineMath math="b" />.

   **Langkah 3**: Pisahkan suku <InlineMath math="5x" /> menjadi <InlineMath math="6x - x" />:

   <BlockMath math="2x^2 + 6x - x - 3 = 0" />

   **Langkah 4**: Faktorkan dengan pengelompokan:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="2x^2 + 6x - x - 3 = 0" />
     <BlockMath math="2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0" />
     <BlockMath math="(2x - 1)(x + 3) = 0" />
   </div>

   **Langkah 5**: Tentukan akar-akar persamaan:

   - <InlineMath math="2x - 1 = 0" /> → <InlineMath math="x = \frac{1}{2}" />
   - <InlineMath math="x + 3 = 0" /> → <InlineMath math="x = -3" />

   Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x = \frac{1}{2}" /> dan <InlineMath math="x = -3" />.

## Metode Cepat: Ketika Kita Mengetahui Salah Satu Akar

Jika kita mengetahui salah satu akar dari persamaan kuadrat, kita dapat menggunakan informasi ini untuk menemukan faktorisasi lengkap.

**Contoh:** Salah satu akar dari persamaan <InlineMath math="2x^2 - bx - 6 = 0" /> adalah 6

Jika <InlineMath math="x = 6" /> adalah akar persamaan, maka <InlineMath math="(x - 6)" /> adalah salah satu faktornya.

Kita dapat mensubstitusikan <InlineMath math="x = 6" /> ke persamaan asli:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="2(6)^2 - b(6) - 6 = 0" />
  <BlockMath math="2 \times 36 - 6b - 6 = 0" />
  <BlockMath math="72 - 6b - 6 = 0" />
  <BlockMath math="66 = 6b" />
  <BlockMath math="b = 11" />
</div>

Sekarang kita dapat menulis persamaan sebagai <InlineMath math="2x^2 - 11x - 6 = 0" />.

Menggunakan metode faktorisasi, kita memfaktorkannya sebagai:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="2x^2 - 11x - 6 = 0" />
  <BlockMath math="2x^2 - 12x + x - 6 = 0" />
  <BlockMath math="2x(x - 6) + 1(x - 6) = 0" />
  <BlockMath math="(2x + 1)(x - 6) = 0" />
</div>

Akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x = -\frac{1}{2}" /> dan <InlineMath math="x = 6" />.

## Kasus Khusus Faktorisasi

1. Bentuk <InlineMath math="ax^2 + bx = 0" />

   Untuk persamaan tanpa konstanta, kita dapat memfaktorkan <InlineMath math="x" /> langsung:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="ax^2 + bx = 0" />
     <BlockMath math="x(ax + b) = 0" />
   </div>

   Akar-akarnya adalah <InlineMath math="x = 0" /> dan <InlineMath math="x = -\frac{b}{a}" />.

   **Contoh:** <InlineMath math="2x^2 - 18x = 0" />

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="2x^2 - 18x = 0" />
     <BlockMath math="2x(x - 9) = 0" />
   </div>

   Akar-akarnya adalah <InlineMath math="x = 0" /> dan <InlineMath math="x = 9" />.

2. Bentuk <InlineMath math="ax^2 - c = 0" />

   Untuk persamaan tanpa suku <InlineMath math="x" />, kita dapat menggunakan pola selisih kuadrat:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="ax^2 - c = 0" />
     <BlockMath math="ax^2 = c" />
     <BlockMath math="x^2 = \frac{c}{a}" />
     <BlockMath math="x = \pm \sqrt{\frac{c}{a}}" />
   </div>

   **Contoh:** <InlineMath math="2x^2 - 18 = 0" />

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="2x^2 - 18 = 0" />
     <BlockMath math="2x^2 = 18" />
     <BlockMath math="x^2 = 9" />
     <BlockMath math="x = \pm 3" />
   </div>

   Akar-akarnya adalah <InlineMath math="x = 3" /> dan <InlineMath math="x = -3" />.

## Persamaan Kuadrat yang Tidak Dapat Difaktorkan

Tidak semua persamaan kuadrat dapat difaktorkan dengan mudah menggunakan bilangan-bilangan rasional. Dalam kasus tersebut, kita dapat menggunakan rumus kuadrat:

<BlockMath math="x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}" />

Suatu persamaan kuadrat dapat difaktorkan dengan bilangan rasional jika diskriminan <InlineMath math="b^2 - 4ac" /> merupakan bilangan kuadrat sempurna.

## Latihan Soal

Faktorkan persamaan-persamaan kuadrat berikut:

1. <InlineMath math="x^2 + 6x + 5 = 0" />
2. <InlineMath math="2x^2 + 5x + 2 = 0" />
3. <InlineMath math="3x^2 - x - 2 = 0" />
4. <InlineMath math="2x^2 - 8x + 6 = 0" />
5. <InlineMath math="x^2 - 9 = 0" />

### Kunci Jawaban

1. <InlineMath math="x^2 + 6x + 5 = 0" />

   **Langkah 1**: Identifikasi koefisien

   <BlockMath math="a = 1, b = 6, c = 5" />

   **Langkah 2**: Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan <InlineMath math="ac = 5" /> dan jika dijumlahkan menghasilkan <InlineMath math="b = 6" />

   <BlockMath math="\text{Faktor dari } 5: 1 \times 5 = 5 \text{ dan } 1 + 5 = 6" />

   **Langkah 3**: Faktorisasi

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x^2 + 6x + 5 = 0" />
     <BlockMath math="x^2 + x + 5x + 5 = 0" />
     <BlockMath math="x(x + 1) + 5(x + 1) = 0" />
     <BlockMath math="(x + 5)(x + 1) = 0" />
   </div>

   **Langkah 4**: Tentukan akar-akar persamaan

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5" />
     <BlockMath math="x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1" />
   </div>

   Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x = -5" /> dan <InlineMath math="x = -1" />.

2. <InlineMath math="2x^2 + 5x + 2 = 0" />

   **Langkah 1**: Identifikasi koefisien

   <BlockMath math="a = 2, b = 5, c = 2" />

   **Langkah 2**: Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan <InlineMath math="ac = 2 \times 2 = 4" /> dan jika dijumlahkan menghasilkan <InlineMath math="b = 5" />

   <BlockMath math="\text{Faktor dari } 4: 1 \times 4 = 4 \text{ dan } 1 + 4 = 5" />

   **Langkah 3**: Faktorisasi

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="2x^2 + 5x + 2 = 0" />
     <BlockMath math="2x^2 + x + 4x + 2 = 0" />
     <BlockMath math="x(2x + 1) + 2(2x + 1) = 0" />
     <BlockMath math="(2x + 1)(x + 2) = 0" />
   </div>

   **Langkah 4**: Tentukan akar-akar persamaan

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}" />
     <BlockMath math="x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2" />
   </div>

   Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x = -\frac{1}{2}" /> dan <InlineMath math="x = -2" />.

3. <InlineMath math="3x^2 - x - 2 = 0" />

   **Langkah 1**: Identifikasi koefisien

   <BlockMath math="a = 3, b = -1, c = -2" />

   **Langkah 2**: Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan <InlineMath math="ac = 3 \times (-2) = -6" /> dan jika dijumlahkan menghasilkan <InlineMath math="b = -1" />

   <BlockMath math="\text{Faktor dari } -6: (-3) \times 2 = -6 \text{ dan } (-3) + 2 = -1" />

   **Langkah 3**: Faktorisasi

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="3x^2 - x - 2 = 0" />
     <BlockMath math="3x^2 - 3x + 2x - 2 = 0" />
     <BlockMath math="3x(x - 1) + 2(x - 1) = 0" />
     <BlockMath math="(3x + 2)(x - 1) = 0" />
   </div>

   **Langkah 4**: Tentukan akar-akar persamaan

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="3x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}" />
     <BlockMath math="x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1" />
   </div>

   Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x = -\frac{2}{3}" /> dan <InlineMath math="x = 1" />.

4. <InlineMath math="2x^2 - 8x + 6 = 0" />

   **Langkah 1**: Identifikasi koefisien

   <BlockMath math="a = 2, b = -8, c = 6" />

   **Langkah 2**: Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan <InlineMath math="ac = 2 \times 6 = 12" /> dan jika dijumlahkan menghasilkan <InlineMath math="b = -8" />

   <BlockMath math="\text{Faktor dari } 12: (-6) \times (-2) = 12 \text{ dan } (-6) + (-2) = -8" />

   **Langkah 3**: Faktorisasi

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="2x^2 - 8x + 6 = 0" />
     <BlockMath math="2x^2 - 6x - 2x + 6 = 0" />
     <BlockMath math="2x(x - 3) - 2(x - 3) = 0" />
     <BlockMath math="(2x - 2)(x - 3) = 0" />
     <BlockMath math="2(x - 1)(x - 3) = 0" />
   </div>

   **Langkah 4**: Tentukan akar-akar persamaan

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1" />
     <BlockMath math="x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3" />
   </div>

   Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x = 1" /> dan <InlineMath math="x = 3" />.

5. <InlineMath math="x^2 - 9 = 0" />

   **Langkah 1**: Identifikasi sebagai bentuk selisih kuadrat

   <BlockMath math="x^2 - 9 = x^2 - 3^2" />

   **Langkah 2**: Gunakan rumus selisih kuadrat <InlineMath math="a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)" />

   <BlockMath math="x^2 - 3^2 = (x + 3)(x - 3) = 0" />

   **Langkah 3**: Tentukan akar-akar persamaan

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3" />
     <BlockMath math="x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3" />
   </div>

   Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x = -3" /> dan <InlineMath math="x = 3" />.
