# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/10/mathematics/quadratic-function/quadratic-equation-formula
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/10/mathematics/quadratic-function/quadratic-equation-formula/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Rumus Persamaan Kuadrat",
  description: "Kuasai rumus kuadrat untuk menyelesaikan persamaan ax²+bx+c=0. Pelajari penurunan langkah demi langkah, pahami diskriminan, dan terapkan pada masalah nyata.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "04/19/2025",
  subject: "Persamaan dan Fungsi Kuadrat",
};

## Bagaimana Bentuk Rumus Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan dalam bentuk <InlineMath math="ax^2 + bx + c = 0" /> dengan <InlineMath math="a \neq 0" />, dimana:

- <InlineMath math="a" /> adalah koefisien dari <InlineMath math="x^2" />
- <InlineMath math="b" /> adalah koefisien dari <InlineMath math="x" />
- <InlineMath math="c" /> adalah konstanta

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat <InlineMath math="ax^2 + bx + c = 0" />, kita bisa menggunakan rumus:

<BlockMath math="x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}" />

Rumus ini akan memberikan dua nilai <InlineMath math="x" /> yang merupakan akar-akar persamaan kuadrat:

- <InlineMath math="x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}" /> (menggunakan tanda
  plus)
- <InlineMath math="x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}" /> (menggunakan tanda
  minus)

Bagian <InlineMath math="b^2 - 4ac" /> disebut diskriminan dan menentukan jenis akar-akar persamaan:

- Jika <InlineMath math="b^2 - 4ac > 0" />: Dua akar real berbeda
- Jika <InlineMath math="b^2 - 4ac = 0" />: Satu akar real (akar kembar)
- Jika <InlineMath math="b^2 - 4ac < 0" />: Tidak memiliki akar real

## Menurunkan Rumus Persamaan Kuadrat

Rumus persamaan kuadrat dapat diturunkan dari metode melengkapi kuadrat sempurna. Mari kita lihat bagaimana caranya:

Dimulai dari persamaan kuadrat standar:

<BlockMath math="ax^2 + bx + c = 0" />

**Langkah 1**: Kita bagi semua suku dengan <InlineMath math="a" /> (koefisien <InlineMath math="x^2" />):

<BlockMath math="x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0" />

**Langkah 2**: Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

<BlockMath math="x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}" />

**Langkah 3**: Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien <InlineMath math="x" /> ke kedua ruas:

<BlockMath math="x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}" />

**Langkah 4**: Ruas kiri sekarang membentuk kuadrat sempurna:

<BlockMath math="\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}" />

**Langkah 5**: Sederhanakan ruas kanan:

<BlockMath math="\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}" />

**Langkah 6**: Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

<BlockMath math="x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}" />

**Langkah 7**: Selesaikan untuk mendapatkan nilai <InlineMath math="x" />:

<BlockMath math="x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}" />

Sehingga kita mendapatkan rumus persamaan kuadrat:

<BlockMath math="x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}" />

### Menggunakan Rumus Persamaan Kuadrat

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus, ikuti langkah-langkah berikut:

1. Pastikan persamaan kuadrat dalam bentuk standar <InlineMath math="ax^2 + bx + c = 0" />
2. Identifikasi nilai <InlineMath math="a" />, <InlineMath math="b" />, dan <InlineMath math="c" />
3. Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus <InlineMath math="x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}" />
4. Hitung nilai <InlineMath math="x" /> untuk mendapatkan akar-akar persamaan

### Contoh Penerapan

**Contoh 1:** Selesaikan persamaan <InlineMath math="x^2 + 5x + 6 = 0" />

Identifikasi nilai <InlineMath math="a = 1" />, <InlineMath math="b = 5" />, dan <InlineMath math="c = 6" />

Substitusikan ke dalam rumus:

<BlockMath math="x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{-5 \pm 1}{2}" />

Untuk <InlineMath math="x_1" />, ambil tanda positif:

<BlockMath math="x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2" />

Untuk <InlineMath math="x_2" />, ambil tanda negatif:

<BlockMath math="x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3" />

Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x_1 = -2" /> dan <InlineMath math="x_2 = -3" />

**Contoh 2:** Selesaikan persamaan <InlineMath math="2x^2 - 7x + 3 = 0" />

Identifikasi nilai <InlineMath math="a = 2" />, <InlineMath math="b = -7" />, dan <InlineMath math="c = 3" />

Substitusikan ke dalam rumus:

<BlockMath math="x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}" />

Untuk <InlineMath math="x_1" />, ambil tanda positif:

<BlockMath math="x_1 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3" />

Untuk <InlineMath math="x_2" />, ambil tanda negatif:

<BlockMath math="x_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}" />

Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x_1 = 3" /> dan <InlineMath math="x_2 = \frac{1}{2}" />

## Diskriminan Persamaan Kuadrat

Bagian <InlineMath math="b^2 - 4ac" /> pada rumus persamaan kuadrat disebut diskriminan, biasanya dilambangkan dengan <InlineMath math="D" /> atau <InlineMath math="\Delta" />.

Diskriminan memberikan informasi tentang jenis akar-akar persamaan kuadrat:

- Jika <InlineMath math="D > 0" />: Persamaan memiliki dua akar real berbeda
- Jika <InlineMath math="D = 0" />: Persamaan memiliki satu akar real (akar kembar)
- Jika <InlineMath math="D < 0" />: Persamaan tidak memiliki akar real (akar-akarnya bilangan kompleks)

## Hubungan Antara Akar dan Koefisien

Misalkan <InlineMath math="x_1" /> dan <InlineMath math="x_2" /> adalah akar-akar persamaan kuadrat <InlineMath math="ax^2 + bx + c = 0" />, maka:

1. Jumlah kedua akar: <InlineMath math="x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}" />
2. Hasil kali kedua akar: <InlineMath math="x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}" />

### Membuktikan Hubungan

Dari rumus persamaan kuadrat, kita tahu bahwa:

<BlockMath math="x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \text{dan} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}" />

Jumlahkan kedua akar:

<BlockMath math="x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}" />

Kalikan kedua akar:

<BlockMath math="x_1 \cdot x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \cdot \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{b^2 - (\sqrt{b^2 - 4ac})^2}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}" />

## Membuat Persamaan Kuadrat Baru dari Akar yang Diketahui

Jika kita mengetahui akar-akar sebuah persamaan kuadrat, kita dapat membuat persamaan kuadrat baru. Misalkan <InlineMath math="p" /> dan <InlineMath math="q" /> adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadratnya adalah:

<BlockMath math="(x - p)(x - q) = 0" />

Atau dalam bentuk standar:

<BlockMath math="x^2 - (p+q)x + pq = 0" />

### Contoh Aplikasi

1. Persamaan kuadrat <InlineMath math="x^2 + 4x + 3 = 0" /> memiliki akar-akar <InlineMath math="p" /> dan <InlineMath math="q" />.

   Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar <InlineMath math="2p" /> dan <InlineMath math="2q" />.

   **Langkah 1**: Temukan nilai <InlineMath math="p + q" /> dan <InlineMath math="p \cdot q" />

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4" />
     <BlockMath math="p \cdot q = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3" />
   </div>

   **Langkah 2**: Hitung jumlah dan hasil kali akar-akar baru

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="2p + 2q = 2(p + q) = 2(-4) = -8" />
     <BlockMath math="2p \cdot 2q = 4(p \cdot q) = 4 \cdot 3 = 12" />
   </div>

   **Langkah 3**: Buat persamaan kuadrat baru

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x^2 - (-8)x + 12 = 0" />
     <BlockMath math="x^2 + 8x + 12 = 0" />
   </div>

2. Persamaan kuadrat <InlineMath math="x^2 + 4x - 21 = 0" /> memiliki akar-akar <InlineMath math="p" /> dan <InlineMath math="q" />.

   Tentukan persamaan kuadrat baru yang memiliki akar <InlineMath math="\frac{1}{2p}" /> dan <InlineMath math="\frac{1}{2q}" />.

   **Langkah 1**: Temukan nilai <InlineMath math="p + q" /> dan <InlineMath math="p \cdot q" />

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="p + q = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4" />
     <BlockMath math="p \cdot q = \frac{c}{a} = \frac{-21}{1} = -21" />
   </div>

   **Langkah 2**: Hitung jumlah dan hasil kali akar-akar baru

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="\frac{1}{2p} + \frac{1}{2q} = \frac{1}{2} \left(\frac{q + p}{pq}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{-4}{-21} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{21} = \frac{4}{42} = \frac{2}{21}" />
     <BlockMath math="\frac{1}{2p} \cdot \frac{1}{2q} = \frac{1}{4pq} = \frac{1}{4 \cdot (-21)} = \frac{1}{-84} = -\frac{1}{84}" />
   </div>

   **Langkah 3**: Buat persamaan kuadrat baru

   <BlockMath math="x^2 - \frac{4}{21}x - \frac{1}{84} = 0" />

## Latihan

Selesaikan persamaan-persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat:

1. <InlineMath math="x^2 + 5x + 6 = 0" />
2. <InlineMath math="2x^2 + 6x + 3 = 0" />
3. <InlineMath math="6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0" />
4. <InlineMath math="\frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 = 0" />
5. <InlineMath math="\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0" />

### Kunci Jawaban

1. Solusi persamaan kuadrat <InlineMath math="x^2 + 5x + 6 = 0" />

   Identifikasi: <InlineMath math="a = 1" />, <InlineMath math="b = 5" />, <InlineMath math="c = 6" />

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}" />
     <BlockMath math="= \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}" />
     <BlockMath math="= \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2}" />
     <BlockMath math="= \frac{-5 \pm 1}{2}" />
   </div>

   Untuk <InlineMath math="x_1" />:

   <BlockMath math="x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2" />

   Untuk <InlineMath math="x_2" />:

   <BlockMath math="x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3" />

   Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x_1 = -2" /> dan <InlineMath math="x_2 = -3" />.

2. Solusi persamaan kuadrat <InlineMath math="2x^2 + 6x + 3 = 0" />

   Identifikasi: <InlineMath math="a = 2" />, <InlineMath math="b = 6" />, <InlineMath math="c = 3" />

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}" />
     <BlockMath math="= \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 24}}{4}" />
     <BlockMath math="= \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{4}" />
     <BlockMath math="= \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{4}" />
     <BlockMath math="= \frac{-3 \pm \sqrt{3}}{2}" />
   </div>

   Untuk <InlineMath math="x_1" />:

   <BlockMath math="x_1 = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}" />

   Untuk <InlineMath math="x_2" />:

   <BlockMath math="x_2 = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}" />

   Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x_1 = \frac{-3 + \sqrt{3}}{2}" /> dan <InlineMath math="x_2 = \frac{-3 - \sqrt{3}}{2}" />.

3. Solusi persamaan kuadrat <InlineMath math="6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0" />

   Identifikasi: <InlineMath math="a = 6" />, <InlineMath math="b = 2" />, <InlineMath math="c = \frac{1}{6}" />

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{6}}}{2 \cdot 6}" />
     <BlockMath math="= \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4}}{12}" />
     <BlockMath math="= \frac{-2 \pm 0}{12}" />
     <BlockMath math="= \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}" />
   </div>

   Karena diskriminan <InlineMath math="b^2 - 4ac = 0" />, persamaan memiliki satu akar (akar ganda).

   Jadi, akar persamaan adalah <InlineMath math="x_1 = x_2 = -\frac{1}{6}" />.

4. Solusi persamaan kuadrat <InlineMath math="\frac{1}{2}x^2 + 4x + 6 = 0" />

   Identifikasi: <InlineMath math="a = \frac{1}{2}" />, <InlineMath math="b = 4" />, <InlineMath math="c = 6" />

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6}}{2 \cdot \frac{1}{2}}" />
     <BlockMath math="= \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{1}" />
     <BlockMath math="= \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{1}" />
     <BlockMath math="= -4 \pm 2" />
   </div>

   Untuk <InlineMath math="x_1" />:

   <BlockMath math="x_1 = -4 + 2 = -2" />

   Untuk <InlineMath math="x_2" />:

   <BlockMath math="x_2 = -4 - 2 = -6" />

   Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x_1 = -2" /> dan <InlineMath math="x_2 = -6" />.

5. Solusi persamaan kuadrat <InlineMath math="\frac{2}{3}x^2 + 2x - 12 = 0" />

   Identifikasi: <InlineMath math="a = \frac{2}{3}" />, <InlineMath math="b = 2" />, <InlineMath math="c = -12" />

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot \frac{2}{3} \cdot (-12)}}{2 \cdot \frac{2}{3}}" />
     <BlockMath math="= \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{4/3}" />
     <BlockMath math="= \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{4/3}" />
     <BlockMath math="= \frac{-2 \pm 6}{4/3}" />
     <BlockMath math="= \frac{3(-2 \pm 6)}{4}" />
   </div>

   Untuk <InlineMath math="x_1" />:

   <BlockMath math="x_1 = \frac{3(-2 + 6)}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4} = 3" />

   Untuk <InlineMath math="x_2" />:

   <BlockMath math="x_2 = \frac{3(-2 - 6)}{4} = \frac{3 \cdot (-8)}{4} = -6" />

   Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x_1 = 3" /> dan <InlineMath math="x_2 = -6" />.
