# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/10/mathematics/quadratic-function/quadratic-equation-perfect-square
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/10/mathematics/quadratic-function/quadratic-equation-perfect-square/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
   title: "Melengkapi Kuadrat Sempurna",
   description: "Kuasai metode melengkapi kuadrat sempurna untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan mengubahnya menjadi trinomial kuadrat sempurna langkah demi langkah.",
   authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
   date: "04/19/2025",
   subject: "Persamaan dan Fungsi Kuadrat",
};

## Apa Itu Melengkapi Kuadrat Sempurna?

Melengkapi kuadrat sempurna adalah metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan mengubah bentuk persamaan <InlineMath math="ax^2 + bx + c = 0" /> menjadi bentuk <InlineMath math="(x + p)^2 = q" />. Metode ini sangat berguna terutama untuk persamaan kuadrat yang sulit difaktorkan dengan cara faktorisasi biasa.

Ingat bahwa bentuk kuadrat sempurna memiliki pola <InlineMath math="x^2 + 2px + p^2 = (x + p)^2" />. Kita memanfaatkan pola ini untuk mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk yang lebih mudah diselesaikan.

## Mengapa Menggunakan Metode Ini?

Tidak semua persamaan kuadrat mudah difaktorkan. Contohnya, persamaan <InlineMath math="x^2 + 4x + 2 = 0" /> tidak dapat difaktorkan dengan mudah menggunakan bilangan rasional karena tidak ada dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 2 dan jika dijumlahkan menghasilkan 4.

Dalam kasus seperti ini, metode melengkapi kuadrat sempurna menjadi pilihan yang efektif untuk mendapatkan akar-akar persamaan.

## Langkah-Langkah Melengkapi Kuadrat Sempurna

Berikut adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat <InlineMath math="ax^2 + bx + c = 0" /> dengan metode melengkapi kuadrat sempurna:

1. **Pastikan Koefisien x² Bernilai 1**

   Jika koefisien <InlineMath math="a" /> dari <InlineMath math="x^2" /> tidak sama dengan 1, kita harus membagi seluruh persamaan dengan nilai <InlineMath math="a" />.

   **Contoh:** Untuk persamaan <InlineMath math="2x^2 + 6x + 3 = 0" />

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="2x^2 + 6x + 3 = 0 \div 2" />
     <BlockMath math="x^2 + 3x + \frac{3}{2} = 0" />
   </div>

2. **Pindahkan Konstanta ke Ruas Kanan**

   Pindahkan suku konstanta ke ruas kanan persamaan.

   **Contoh:** Dari persamaan <InlineMath math="x^2 + 3x + \frac{3}{2} = 0" />

   <BlockMath math="x^2 + 3x = -\frac{3}{2}" />

3. **Tambahkan Kuadrat dari Setengah Koefisien x ke Kedua Ruas**

   Tambahkan <InlineMath math="\left(\frac{b}{2}\right)^2" /> ke kedua ruas persamaan. Nilai ini adalah kuadrat dari setengah koefisien <InlineMath math="x" />.

   **Contoh:** Untuk persamaan <InlineMath math="x^2 + 3x = -\frac{3}{2}" />

   Setengah dari koefisien <InlineMath math="x" /> adalah <InlineMath math="\frac{3}{2}" />

   Kuadrat dari nilai tersebut: <InlineMath math="\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}" />

   Tambahkan ke kedua ruas:

   <BlockMath math="x^2 + 3x + \frac{9}{4} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}" />

4. **Faktorkan Ruas Kiri Menjadi Bentuk Kuadrat Sempurna**

   Ruas kiri sekarang memiliki bentuk <InlineMath math="x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2" />, yang dapat difaktorkan menjadi <InlineMath math="\left(x + \frac{b}{2}\right)^2" />.

   **Contoh:** Dari persamaan <InlineMath math="x^2 + 3x + \frac{9}{4} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}" />

   <BlockMath math="\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}" />

5. **Sederhanakan Ruas Kanan**

   Operasikan perhitungan pada ruas kanan untuk mendapatkan bentuk yang lebih sederhana.

   **Contoh:** Untuk <InlineMath math="\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}" />

   <BlockMath math="-\frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{-6 + 9}{4} = \frac{3}{4}" />

   Sehingga persamaan menjadi:

   <BlockMath math="\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}" />

6. **Ambil Akar Kuadrat dari Kedua Ruas**

   Untuk menghilangkan kuadrat, ambil akar kuadrat dari kedua ruas.

   **Contoh:** Dari persamaan <InlineMath math="\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}" />

   <BlockMath math="x + \frac{3}{2} = \pm\sqrt{\frac{3}{4}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}" />

7. **Selesaikan untuk Mendapatkan Nilai x**

   Isolasi variabel <InlineMath math="x" /> untuk mendapatkan akar-akar persamaan.

   **Contoh:** Dari <InlineMath math="x + \frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}" />

   Untuk tanda positif:

   <BlockMath math="x = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}" />

   Untuk tanda negatif:

   <BlockMath math="x = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}" />

   Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}" /> dan <InlineMath math="x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}" />.

## Contoh Lengkap Penyelesaian

### Persamaan dengan Koefisien x² = 1

Mari kita selesaikan persamaan: <InlineMath math="x^2 + 5x + 6 = 0" />

**Langkah 1**: Koefisien <InlineMath math="a = 1" />, jadi kita langsung ke langkah berikutnya.

**Langkah 2**: Pindahkan konstanta ke ruas kanan.

<BlockMath math="x^2 + 5x = -6" />

**Langkah 3**: Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien <InlineMath math="x" /> ke kedua ruas.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\text{Setengah koefisien } x = \frac{5}{2}" />
  <BlockMath math="\text{Kuadrat dari nilai tersebut} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}" />
  <BlockMath math="x^2 + 5x + \frac{25}{4} = -6 + \frac{25}{4}" />
</div>

**Langkah 4**: Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna.

<BlockMath math="\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = -6 + \frac{25}{4}" />

**Langkah 5**: Sederhanakan ruas kanan.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="-6 + \frac{25}{4} = \frac{-24 + 25}{4} = \frac{1}{4}" />
  <BlockMath math="\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}" />
</div>

**Langkah 6**: Ambil akar kuadrat dari kedua ruas.

<BlockMath math="x + \frac{5}{2} = \pm\frac{1}{2}" />

**Langkah 7**: Selesaikan untuk mendapatkan nilai <InlineMath math="x" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x + \frac{5}{2} = \frac{1}{2} \quad \text{atau} \quad x + \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}" />
  <BlockMath math="x = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -2 \quad \text{atau} \quad x = -\frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -3" />
</div>

Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x = -2" /> dan <InlineMath math="x = -3" />.

### Persamaan dengan Koefisien x² ≠ 1

Mari kita selesaikan persamaan: <InlineMath math="2x^2 + 6x + 3 = 0" />

**Langkah 1**: Bagi semua suku dengan koefisien <InlineMath math="a = 2" />

<BlockMath math="x^2 + 3x + \frac{3}{2} = 0" />

**Langkah 2**: Pindahkan konstanta ke ruas kanan

<BlockMath math="x^2 + 3x = -\frac{3}{2}" />

**Langkah 3**: Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien <InlineMath math="x" /> ke kedua ruas

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\text{Setengah koefisien } x = \frac{3}{2}" />
  <BlockMath math="\text{Kuadrat dari nilai tersebut} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}" />
  <BlockMath math="x^2 + 3x + \frac{9}{4} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}" />
</div>

**Langkah 4**: Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna

<BlockMath math="\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}" />

**Langkah 5**: Sederhanakan ruas kanan

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="-\frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{-6 + 9}{4} = \frac{3}{4}" />
  <BlockMath math="\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}" />
</div>

**Langkah 6**: Ambil akar kuadrat dari kedua ruas

<BlockMath math="x + \frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}" />

**Langkah 7**: Selesaikan untuk mendapatkan nilai <InlineMath math="x" />

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x + \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{atau} \quad x + \frac{3}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}" />
  <BlockMath math="x = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{atau} \quad x = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}" />
</div>

Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}" /> dan <InlineMath math="x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}" />.

## Hal-Hal Penting dalam Melengkapi Kuadrat Sempurna

1. **Untuk persamaan dengan koefisien <InlineMath math="x^2" /> bukan 1**: Selalu bagi seluruh persamaan dengan koefisien <InlineMath math="a" /> terlebih dahulu. Contoh: <InlineMath math="3x^2 + 6x + 2 = 0" /> menjadi <InlineMath math="x^2 + 2x + \frac{2}{3} = 0" />

2. **Konstanta yang ditambahkan**: Selalu tambahkan kuadrat dari setengah koefisien <InlineMath math="x" /> ke kedua ruas. Contoh: Untuk <InlineMath math="x^2 + 8x = 5" />, tambahkan <InlineMath math="\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16" /> ke kedua ruas.

3. **Bentuk akhir**: Persamaan akan berubah menjadi bentuk <InlineMath math="\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}" />. Contoh: <InlineMath math="x^2 + 6x + 8 = 0" /> menjadi <InlineMath math="\left(x + 3\right)^2 = 1" />

## Kasus Khusus dan Variasi

### Ketika Diskriminan Negatif

Jika <InlineMath math="b^2 - 4ac < 0" />, maka persamaan tidak memiliki akar real.

**Contoh konkret:** <InlineMath math="x^2 + 2x + 2 = 0" />

Dengan melengkapi kuadrat sempurna:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x^2 + 2x + 1 = -2 + 1 \quad \text{(menambahkan 1 ke kedua ruas)}" />
  <BlockMath math="(x + 1)^2 = -1" />
</div>

Karena tidak ada bilangan real yang kuadratnya -1, maka persamaan ini tidak memiliki akar real.

### Pada Persamaan Kuadrat Tidak Lengkap

Untuk persamaan bentuk <InlineMath math="ax^2 + c = 0" />, kita tidak perlu melengkapi kuadrat sempurna.

**Contoh konkret:** <InlineMath math="3x^2 - 12 = 0" />

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="3x^2 = 12" />
  <BlockMath math="x^2 = 4" />
  <BlockMath math="x = \pm 2" />
</div>

Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x = 2" /> dan <InlineMath math="x = -2" />.

## Latihan Soal

Selesaikan persamaan-persamaan kuadrat berikut dengan metode melengkapi kuadrat sempurna:

1. <InlineMath math="x^2 + 5x + 6 = 0" />
2. <InlineMath math="2x^2 + 6x + 3 = 0" />
3. <InlineMath math="6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0" />
4. <InlineMath math="x^2 - 12x - 15 = 0" />
5. <InlineMath math="\frac{3}{2}x^2 - 8x - 6 = 0" />

### Kunci Jawaban

1. <InlineMath math="x^2 + 5x + 6 = 0" />

   1. Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

      <BlockMath math="x^2 + 5x = -6" />

   2. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien <InlineMath math="x" /> ke kedua ruas:

      <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="\text{Setengah koefisien } x = \frac{5}{2}" />
        <BlockMath math="\text{Kuadrat dari nilai tersebut} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}" />
        <BlockMath math="x^2 + 5x + \frac{25}{4} = -6 + \frac{25}{4}" />
      </div>

   3. Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna:

      <BlockMath math="\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = -6 + \frac{25}{4}" />

   4. Sederhanakan ruas kanan:

      <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="-6 + \frac{25}{4} = \frac{-24 + 25}{4} = \frac{1}{4}" />
        <BlockMath math="\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}" />
      </div>

   5. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

      <BlockMath math="x + \frac{5}{2} = \pm\frac{1}{2}" />

   6. Selesaikan untuk mendapatkan nilai <InlineMath math="x" />:

      <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="x + \frac{5}{2} = \frac{1}{2} \quad \text{atau} \quad x + \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}" />
        <BlockMath math="x = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -2 \quad \text{atau} \quad x = -\frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -3" />
      </div>

   Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x = -2" /> dan <InlineMath math="x = -3" />.

2. <InlineMath math="2x^2 + 6x + 3 = 0" />

   1. Bagi semua suku dengan koefisien <InlineMath math="a = 2" />:

      <BlockMath math="x^2 + 3x + \frac{3}{2} = 0" />

   2. Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

      <BlockMath math="x^2 + 3x = -\frac{3}{2}" />

   3. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien <InlineMath math="x" /> ke kedua ruas:

      <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="\text{Setengah koefisien } x = \frac{3}{2}" />
        <BlockMath math="\text{Kuadrat dari nilai tersebut} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}" />
        <BlockMath math="x^2 + 3x + \frac{9}{4} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}" />
      </div>

   4. Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna:

      <BlockMath math="\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = -\frac{3}{2} + \frac{9}{4}" />

   5. Sederhanakan ruas kanan:

      <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="-\frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{-6 + 9}{4} = \frac{3}{4}" />
        <BlockMath math="\left(x + \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}" />
      </div>

   6. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

      <BlockMath math="x + \frac{3}{2} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}" />

   7. Selesaikan untuk mendapatkan nilai <InlineMath math="x" />:

      <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{atau} \quad x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}" />
      </div>

   Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}" /> dan <InlineMath math="x = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}" />.

3. <InlineMath math="6x^2 + 2x + \frac{1}{6} = 0" />

   1. Bagi semua suku dengan koefisien <InlineMath math="a = 6" />:

      <BlockMath math="x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} = 0" />

   2. Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

      <BlockMath math="x^2 + \frac{1}{3}x = -\frac{1}{36}" />

   3. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien <InlineMath math="x" /> ke kedua ruas:

      <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="\text{Setengah koefisien } x = \frac{1}{6}" />
        <BlockMath math="\text{Kuadrat dari nilai tersebut} = \left(\frac{1}{6}\right)^2 = \frac{1}{36}" />
        <BlockMath math="x^2 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{36} = -\frac{1}{36} + \frac{1}{36}" />
      </div>

   4. Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna:

      <BlockMath math="\left(x + \frac{1}{6}\right)^2 = -\frac{1}{36} + \frac{1}{36}" />

   5. Sederhanakan ruas kanan:

      <BlockMath math="\left(x + \frac{1}{6}\right)^2 = 0" />

   6. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

      <BlockMath math="x + \frac{1}{6} = 0" />

   7. Selesaikan untuk mendapatkan nilai <InlineMath math="x" />:

      <BlockMath math="x = -\frac{1}{6}" />

   Jadi, persamaan ini memiliki satu akar (akar ganda), yaitu <InlineMath math="x = -\frac{1}{6}" />.

4. <InlineMath math="x^2 - 12x - 15 = 0" />

   1. Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

      <BlockMath math="x^2 - 12x = 15" />

   2. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien <InlineMath math="x" /> ke kedua ruas:

      <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="\text{Setengah koefisien } x = -6" />
        <BlockMath math="\text{Kuadrat dari nilai tersebut} = (-6)^2 = 36" />
        <BlockMath math="x^2 - 12x + 36 = 15 + 36" />
      </div>

   3. Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna:

      <BlockMath math="(x - 6)^2 = 51" />

   4. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

      <BlockMath math="x - 6 = \pm\sqrt{51}" />

   5. Selesaikan untuk mendapatkan nilai <InlineMath math="x" />:

      <BlockMath math="x = 6 \pm \sqrt{51}" />

   Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x = 6 + \sqrt{51}" /> dan <InlineMath math="x = 6 - \sqrt{51}" />.

5. <InlineMath math="\frac{3}{2}x^2 - 8x - 6 = 0" />

   1. Bagi semua suku dengan koefisien <InlineMath math="a = \frac{3}{2}" />:

      <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="x^2 - \frac{16}{3}x - 4 = 0" />
      </div>

   2. Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

      <BlockMath math="x^2 - \frac{16}{3}x = 4" />

   3. Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien <InlineMath math="x" /> ke kedua ruas:

      <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="\text{Setengah koefisien } x = -\frac{8}{3}" />
        <BlockMath math="\text{Kuadrat dari nilai tersebut} = \left(-\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{64}{9}" />
        <BlockMath math="x^2 - \frac{16}{3}x + \frac{64}{9} = 4 + \frac{64}{9}" />
      </div>

   4. Faktorkan ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna:

      <BlockMath math="\left(x - \frac{8}{3}\right)^2 = 4 + \frac{64}{9}" />

   5. Sederhanakan ruas kanan:

      <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="4 + \frac{64}{9} = \frac{36 + 64}{9} = \frac{100}{9}" />
        <BlockMath math="\left(x - \frac{8}{3}\right)^2 = \frac{100}{9}" />
      </div>

   6. Ambil akar kuadrat dari kedua ruas:

      <BlockMath math="x - \frac{8}{3} = \pm\frac{10}{3}" />

   7. Selesaikan untuk mendapatkan nilai <InlineMath math="x" />:

      <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="x = \frac{8}{3} + \frac{10}{3} = \frac{18}{3} = 6 \quad \text{atau} \quad x = \frac{8}{3} - \frac{10}{3} = -\frac{2}{3}" />
      </div>

   Jadi, akar-akar persamaan adalah <InlineMath math="x = 6" /> dan <InlineMath math="x = -\frac{2}{3}" />.
