# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/10/mathematics/quadratic-function/quadratic-equation
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/10/mathematics/quadratic-function/quadratic-equation/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { ReadingRoomProblem } from "./reading-room-problem";

export const metadata = {
  title: "Persamaan Kuadrat",
  description: "Pelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan faktorisasi, melengkapkan kuadrat, dan rumus ABC. Kuasai ax²+bx+c=0 dengan contoh lengkap dan soal praktis.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "04/19/2025",
  subject: "Persamaan dan Fungsi Kuadrat",
};

## Apa itu Persamaan Kuadrat?

<Youtube videoId="doASb2K9smY" />

Persamaan kuadrat adalah persamaan matematika yang melibatkan bentuk kuadrat. Persamaan ini mengandung variabel dengan pangkat tertinggi adalah 2. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah:

<BlockMath math="ax^2 + bx + c = 0" />

dengan syarat <InlineMath math="a \neq 0" /> dan <InlineMath math="a, b, c" /> merupakan bilangan real.

### Asal Usul Istilah Kuadrat

Istilah kuadrat berasal dari kata bahasa Latin, yaitu _quadratus_, yang berarti membuat persegi. Ini berkaitan dengan interpretasi geometris dari bentuk <InlineMath math="x^2" /> yang dapat dilihat sebagai luas persegi dengan sisi <InlineMath math="x" />.

## Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan berbagai cara. Berikut adalah beberapa metode yang sering digunakan:

### Faktorisasi

Metode faktorisasi dilakukan dengan menguraikan persamaan kuadrat menjadi perkalian dua faktor linear. Misalnya:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="2x^2 - 3x - 2 = 0" />
  <BlockMath math="(2x + 1)(x - 2) = 0" />
</div>

Dari bentuk faktor di atas, kita bisa mendapatkan solusi:

- Jika <InlineMath math="2x + 1 = 0" />, maka <InlineMath math="x = -\frac{1}{2}" />
- Jika <InlineMath math="x - 2 = 0" />, maka <InlineMath math="x = 2" />

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah <InlineMath math="x = -\frac{1}{2}" /> atau <InlineMath math="x = 2" />.

### Melengkapkan Kuadrat

Cara ini melibatkan proses mengubah persamaan kuadrat menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Contoh:

<BlockMath math="2x^2 - 3x - 2 = 0" />

Kita bagi semua suku dengan 2:

<BlockMath math="x^2 - \frac{3}{2}x - 1 = 0" />

Pindahkan konstanta ke ruas kanan:

<BlockMath math="x^2 - \frac{3}{2}x = 1" />

Tambahkan <InlineMath math="\left(\frac{-3/2}{2}\right)^2 = \frac{9}{16}" /> ke kedua ruas:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16} = 1 + \frac{9}{16}" />
  <BlockMath math="\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = \frac{16 + 9}{16} = \frac{25}{16}" />
  <BlockMath math="\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = \left(\frac{5}{4}\right)^2" />
</div>

Sehingga:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x - \frac{3}{4} = \pm \frac{5}{4}" />
  <BlockMath math="x = \frac{3}{4} \pm \frac{5}{4}" />
  <BlockMath math="x = 2 \text{ atau } x = -\frac{1}{2}" />
</div>

### Menggunakan Rumus ABC (Rumus Kuadrat)

Untuk persamaan <InlineMath math="ax^2 + bx + c = 0" />, akar-akarnya dapat ditentukan dengan rumus:

<BlockMath math="x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}" />

Contoh:

<BlockMath math="2x^2 - 3x - 2 = 0" />

Dengan <InlineMath math="a = 2" />, <InlineMath math="b = -3" />, dan <InlineMath math="c = -2" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}" />
  <BlockMath math="x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4}" />
  <BlockMath math="x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4}" />
  <BlockMath math="x = \frac{3 \pm 5}{4}" />
</div>

Sehingga:

<BlockMath math="x = \frac{3 + 5}{4} = 2 \text{ atau } x = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}" />

## Perumusan Masalah dalam Bentuk Persamaan Kuadrat

Banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan dengan persamaan kuadrat. Mari kita eksplorasi beberapa contoh:

### Masalah Ruang Baca

Empat sudut baca berukuran sama dibuat dalam sebuah ruang kelas berukuran 4 m × 6 m. Jika setiap sudut berbentuk persegi dengan sisi <InlineMath math="x" /> meter, maka luas ruangan yang tersisa untuk mengatur tempat duduk siswa adalah:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\text{Luas total} - \text{Luas empat sudut}" />
  <BlockMath math="4 \times 6 - 4x^2 = 24 - 4x^2" />
</div>

<ReadingRoomProblem />

### Masalah Perkalian Dua Bilangan

Perkalian dua bilangan adalah 63 dan penjumlahannya adalah 16. Kita bisa menyelesaikan ini dengan persamaan kuadrat.

Misalkan kedua bilangan adalah <InlineMath math="p" /> dan <InlineMath math="q" />, maka:

- <InlineMath math="p + q = 16" />, sehingga <InlineMath math="q = 16 - p" />
- <InlineMath math="p \times q = 63" />

Substitusi nilai <InlineMath math="q" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="p(16 - p) = 63" />
  <BlockMath math="16p - p^2 = 63" />
  <BlockMath math="-p^2 + 16p - 63 = 0" />
  <BlockMath math="p^2 - 16p + 63 = 0" />
</div>

Dengan memfaktorkan persamaan ini atau menggunakan rumus kuadrat, kita bisa menemukan nilai <InlineMath math="p" /> dan <InlineMath math="q" />.

### Masalah Kecepatan Kendaraan

Sebuah kendaraan menempuh jarak 320 km dengan kelajuan tertentu. Jika kendaraan melaju 24 km/jam lebih cepat, waktu tempuhnya berkurang 3 jam. Kita dapat mencari kelajuan awal dengan persamaan kuadrat.

Misalkan kelajuan awal adalah <InlineMath math="v" /> km/jam dan waktu tempuh awal adalah <InlineMath math="t" /> jam, maka:

- <InlineMath math="v \times t = 320" /> (jarak = kecepatan × waktu)
- <InlineMath math="(v + 24) \times (t - 3) = 320" /> (kondisi kedua)

Dari persamaan pertama: <InlineMath math="t = \frac{320}{v}" />

Substitusi ke persamaan kedua:

<BlockMath math="(v + 24) \times \left(\frac{320}{v} - 3\right) = 320" />

Proses penyelesaian akan menghasilkan persamaan kuadrat yang bisa diselesaikan untuk menemukan nilai <InlineMath math="v" />.

## Miskonsepsi Umum Tentang Persamaan Kuadrat

Beberapa miskonsepsi yang sering terjadi:

1. Menentukan operasi penjumlahan <InlineMath math="x + 3" /> sebagai <InlineMath math="3x" />.

   **Contoh konkret**: Jika panjang ruangan <InlineMath math="x" /> meter, dan bertambah 3 meter, maka panjangnya menjadi <InlineMath math="x + 3" /> meter, bukan <InlineMath math="3x" /> meter.

2. Menamai suatu persamaan sebagai persamaan kuadrat hanya karena melihat pangkat tertinggi variabel <InlineMath math="x" /> adalah 2, tanpa memperhatikan bentuk keseluruhan persamaan.

   Perlu diingat bahwa persamaan kuadrat merupakan suatu polinom dengan bentuk standar <InlineMath math="ax^2 + bx + c = 0" /> dimana <InlineMath math="a \neq 0" />.

## Bentuk-bentuk Persamaan Kuadrat

Perhatikan bentuk-bentuk berikut, manakah yang merupakan persamaan kuadrat?

1. <InlineMath math="\frac{1}{x} + 2x + 4 = 0" />

   Ini bukan persamaan kuadrat karena mengandung suku <InlineMath math="\frac{1}{x}" />.

2. <InlineMath math="\frac{1}{x-5} + \frac{1}{x-3} = x^2 - 4" />

   Ini bukan persamaan kuadrat dalam bentuk standar, karena memiliki bentuk pecahan dengan variabel di penyebut.

3. <InlineMath math="3x^2 + 2x - 1 = 0" />

   Ini adalah persamaan kuadrat karena berbentuk <InlineMath math="ax^2 + bx + c = 0" /> dengan <InlineMath math="a = 3 \neq 0" />.

4. <InlineMath math="x^2 + \frac{1}{x} + 3 = 0" />

   Ini bukan persamaan kuadrat karena mengandung suku <InlineMath math="\frac{1}{x}" />.

## Latihan Soal

**Identifikasi Persamaan Kuadrat**

Tentukan apakah persamaan-persamaan matematika berikut merupakan persamaan kuadrat:

1. <InlineMath math="x^3 + x^2 + x = 0" />
2. <InlineMath math="3x^2 + 2x - 1 = 0" />
3. <InlineMath math="\frac{1}{x} + 5x = 0" />
4. <InlineMath math="x^2 + \frac{1}{x} + 3 = 0" />

**Faktorisasi**

Jabarkan persamaan-persamaan berikut:

1. <InlineMath math="(x + 2)(x + 3) = 0" />
2. <InlineMath math="\left(\frac{1}{3}x - 4\right)(x + 9) = 0" />
3. <InlineMath math="(2x - 8)(x + 5) = 0" />

### Kunci Jawaban

**Identifikasi Persamaan Kuadrat**

1. <InlineMath math="x^3 + x^2 + x = 0" />

   **Jawaban**: Bukan persamaan kuadrat, karena memiliki pangkat tertinggi 3 (<InlineMath math="x^3" />). Persamaan ini adalah persamaan kubik.

2. <InlineMath math="3x^2 + 2x - 1 = 0" />

   **Jawaban**: Persamaan kuadrat, karena berbentuk <InlineMath math="ax^2 + bx + c = 0" /> dengan <InlineMath math="a = 3" />, <InlineMath math="b = 2" />, dan <InlineMath math="c = -1" />.

3. <InlineMath math="\frac{1}{x} + 5x = 0" />

   **Jawaban**: Bukan persamaan kuadrat, karena mengandung suku <InlineMath math="\frac{1}{x}" />. Persamaan ini adalah persamaan pecahan.

4. <InlineMath math="x^2 + \frac{1}{x} + 3 = 0" />

   **Jawaban**: Bukan persamaan kuadrat, karena mengandung suku <InlineMath math="\frac{1}{x}" />. Persamaan ini adalah persamaan campuran.

**Faktorisasi**

1. <InlineMath math="(x + 2)(x + 3) = 0" />

   **Jawaban**:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="(x + 2)(x + 3) = 0" />
     <BlockMath math="x^2 + 3x + 2x + 6 = 0" />
     <BlockMath math="x^2 + 5x + 6 = 0" />
   </div>

   Jadi, hasil perkalian kedua faktor adalah <InlineMath math="x^2 + 5x + 6 = 0" />

2. <InlineMath math="\left(\frac{1}{3}x - 4\right)(x + 9) = 0" />

   **Jawaban**:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="\left(\frac{1}{3}x - 4\right)(x + 9) = 0" />
     <BlockMath math="\frac{1}{3}x \cdot x + \frac{1}{3}x \cdot 9 - 4 \cdot x - 4 \cdot 9 = 0" />
     <BlockMath math="\frac{1}{3}x^2 + 3x - 4x - 36 = 0" />
     <BlockMath math="\frac{1}{3}x^2 - x - 36 = 0" />
   </div>

   Kalikan semua suku dengan 3 untuk menyederhanakan:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x^2 - 3x - 108 = 0" />
   </div>

   Jadi, hasil perkalian kedua faktor adalah <InlineMath math="x^2 - 3x - 108 = 0" /> atau <InlineMath math="\frac{1}{3}x^2 - x - 36 = 0" />

3. <InlineMath math="(2x - 8)(x + 5) = 0" />

   **Jawaban**:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="(2x - 8)(x + 5) = 0" />
     <BlockMath math="2x \cdot x + 2x \cdot 5 - 8 \cdot x - 8 \cdot 5 = 0" />
     <BlockMath math="2x^2 + 10x - 8x - 40 = 0" />
     <BlockMath math="2x^2 + 2x - 40 = 0" />
   </div>

   Faktorisasi <InlineMath math="2x - 8" /> menjadi <InlineMath math="2(x - 4)" />:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="2(x - 4)(x + 5) = 0" />
   </div>

   Jadi, hasil perkalian kedua faktor adalah <InlineMath math="2x^2 + 2x - 40 = 0" />

**Penyelesaian Persamaan Kuadrat**

Mari kita selesaikan beberapa persamaan dari hasil faktorisasi di atas:

1. <InlineMath math="x^2 + 5x + 6 = 0" />

   **Jawaban**:
   Faktorisasi:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x^2 + 5x + 6 = 0" />
     <BlockMath math="(x + 2)(x + 3) = 0" />
   </div>

   Sehingga:

   - Jika <InlineMath math="x + 2 = 0" />, maka <InlineMath math="x = -2" />
   - Jika <InlineMath math="x + 3 = 0" />, maka <InlineMath math="x = -3" />

   Akar-akar persamaan: <InlineMath math="x = -2" /> atau <InlineMath math="x = -3" />

2. <InlineMath math="x^2 - 3x - 108 = 0" />

   **Jawaban**:
   Gunakan rumus ABC:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}" />
     <BlockMath math="x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 432}}{2}" />
     <BlockMath math="x = \frac{3 \pm \sqrt{441}}{2}" />
     <BlockMath math="x = \frac{3 \pm 21}{2}" />
   </div>

   Sehingga:

   - <InlineMath math="x = \frac{3 + 21}{2} = 12" />
   - <InlineMath math="x = \frac{3 - 21}{2} = -9" />

   Akar-akar persamaan: <InlineMath math="x = 12" /> atau <InlineMath math="x = -9" />

   Verifikasi dengan faktorisasi:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x^2 - 3x - 108 = 0" />
     <BlockMath math="(x - 12)(x + 9) = 0" />
   </div>

3. <InlineMath math="2x^2 + 2x - 40 = 0" />

   **Jawaban**:
   Sederhanakan persamaan dengan membagi semua suku dengan 2:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x^2 + x - 20 = 0" />
   </div>

   Faktorisasi:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x^2 + x - 20 = 0" />
     <BlockMath math="(x + 5)(x - 4) = 0" />
   </div>

   Sehingga:

   - Jika <InlineMath math="x + 5 = 0" />, maka <InlineMath math="x = -5" />
   - Jika <InlineMath math="x - 4 = 0" />, maka <InlineMath math="x = 4" />

   Akar-akar persamaan: <InlineMath math="x = -5" /> atau <InlineMath math="x = 4" />
