# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/10/mathematics/quadratic-function/quadratic-function-characteristics
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/10/mathematics/quadratic-function/quadratic-function-characteristics/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
  title: "Karakteristik Fungsi Kuadrat",
  description: "Pelajari karakteristik utama fungsi kuadrat, termasuk titik puncak, sumbu simetri, dan titik potong, dengan penjelasan jelas dan contoh visual.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "04/19/2025",
  subject: "Persamaan dan Fungsi Kuadrat",
};

## Bentuk Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat selalu berbentuk parabola. Bentuk parabola ini bisa terbuka ke atas atau ke bawah, tergantung pada nilai koefisien <InlineMath math="a" />.

## Pengaruh Nilai Koefisien a pada Bentuk Grafik

### Ketika a > 0

Jika <InlineMath math="a > 0" />, maka grafik fungsi kuadrat akan terbuka ke atas. Ini berarti grafiknya memiliki titik minimum.

Contoh fungsi dengan <InlineMath math="a > 0" />:

- <InlineMath math="f(x) = x^2" /> (fungsi paling sederhana dengan <InlineMath math="a = 1" />
  )
- <InlineMath math="f(x) = 2x^2 + 1" /> (contoh dengan <InlineMath math="a = 2" />
  )

<div className="mt-4">
  <LineEquation
    title={
      <>
        Grafik Fungsi Kuadrat dengan <InlineMath math="a > 0" />
      </>
    }
    description="Grafik terbuka ke atas dan memiliki titik minimum."
    cameraPosition={[5, 5, 12]}
    data={[
      {
        points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => {
          const x = i - 3; // x values from -3 to 3
          return { x, y: x * x, z: 0 };
        }),
        color: getColor("INDIGO"),
        labels: [
          {
            text: "f(x) = x²",
            at: 5,
            offset: [1, -1, 0],
          },
        ],
      },
    ]}
  />
</div>

### Ketika a < 0

Jika <InlineMath math="a < 0" />, maka grafik fungsi kuadrat akan terbuka ke bawah. Ini berarti grafiknya memiliki titik maksimum.

Contoh fungsi dengan <InlineMath math="a < 0" />:

- <InlineMath math="f(x) = -x^2" /> dengan <InlineMath math="a = -1" />
- <InlineMath math="f(x) = -3x^2 - 12x - 15" /> dengan <InlineMath math="a = -3" />

<div className="mt-4">
  <LineEquation
    title={
      <>
        Grafik Fungsi Kuadrat dengan <InlineMath math="a < 0" />
      </>
    }
    description="Grafik terbuka ke bawah dan memiliki titik maksimum."
    cameraPosition={[2, 2, 12]}
    data={[
      {
        points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => {
          const x = i - 3; // x values from -3 to 3
          return { x, y: -x * x, z: 0 };
        }),
        color: getColor("ROSE"),
        labels: [
          {
            text: "f(x) = -x²",
            at: 4,
            offset: [2, 0, 0],
          },
        ],
      },
    ]}
  />
</div>

### Mengapa Tidak Ada Fungsi dengan a = 0?

Ketika <InlineMath math="a = 0" />, maka bentuk fungsi menjadi <InlineMath math="f(x) = bx + c" />. Ini bukan lagi fungsi kuadrat, melainkan fungsi linear. Fungsi kuadrat harus memiliki <InlineMath math="a \neq 0" /> agar pangkat tertinggi dari variabel <InlineMath math="x" /> adalah 2.

## Karakteristik Penting Fungsi Kuadrat

### Titik Puncak (Vertex)

Titik puncak adalah titik tertinggi (jika <InlineMath math="a < 0" />) atau titik terendah (jika <InlineMath math="a > 0" />) pada grafik. Koordinat titik puncak dinyatakan sebagai <InlineMath math="(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))" />.

### Sumbu Simetri

Sumbu simetri adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Persamaan sumbu simetri adalah <InlineMath math="x = -\frac{b}{2a}" />.

### Titik Potong dengan Sumbu Y

Titik potong dengan sumbu Y diperoleh saat <InlineMath math="x = 0" />. Nilainya adalah <InlineMath math="f(0) = c" />.

### Titik Potong dengan Sumbu X

Titik potong dengan sumbu X diperoleh saat <InlineMath math="f(x) = 0" />, yaitu saat <InlineMath math="ax^2 + bx + c = 0" />. Solusinya dapat ditemukan menggunakan rumus:

<BlockMath math="x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}" />

## Langkah-Langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

1. Tentukan apakah parabola terbuka ke atas (<InlineMath math="a > 0" />) atau ke bawah (<InlineMath math="a < 0" />).
2. Hitung koordinat titik puncak <InlineMath math="(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))" />.
3. Hitung titik potong dengan sumbu Y: <InlineMath math="(0, c)" />.
4. Hitung titik potong dengan sumbu X (jika ada).
5. Pilih beberapa nilai x lainnya dan hitung nilai y-nya.
6. Plot semua titik dalam sistem koordinat.
7. Hubungkan titik-titik dengan kurva parabola.

## Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

### f(x) = x² - 2x - 3

Mari kita gambar grafik fungsi <InlineMath math="f(x) = x^2 - 2x - 3" />:

1. Koefisien <InlineMath math="a = 1 > 0" />, jadi parabola terbuka ke atas.
2. Titik puncak:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1" />
     <BlockMath math="f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4" />
   </div>

   Jadi titik puncaknya adalah (1, -4).

3. Titik potong dengan sumbu Y:

   <BlockMath math="f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 - 3 = -3" />

   Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (0, -3).

4. Titik potong dengan sumbu X: <InlineMath math="f(x) = 0" /> atau <InlineMath math="x^2 - 2x - 3 = 0" />

   Menggunakan rumus ABC:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}" />
     <BlockMath math="x = \frac{2 + 4}{2} = 3 \text{ atau } x = \frac{2 - 4}{2} = -1" />
   </div>

   Jadi titik potong dengan sumbu X adalah (-1, 0) dan (3, 0).

5. Mari kita hitung beberapa titik tambahan:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="f(-2) = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5" />
     <BlockMath math="f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3" />
   </div>

<div className="mt-4">
  <LineEquation
    title={
      <>
        Grafik <InlineMath math="f(x) = x^2 - 2x - 3" />
      </>
    }
    description={
      <>
        Parabola terbuka ke atas dengan titik puncak{" "}
        <InlineMath math="(1, -4)" /> dan titik potong dengan sumbu X{" "}
        <InlineMath math="(-1, 0)" /> dan <InlineMath math="(3, 0)" />.
      </>
    }
    data={[
      {
        points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => {
          const x = i - 2; // x values from -2 to 4
          return { x, y: x * x - 2 * x - 3, z: 0 };
        }),
        color: getColor("TEAL"),
        labels: [
          {
            text: "f(x) = x² - 2x - 3",
            at: 5,
            offset: [3, 2, 0],
          },
          {
            text: "Titik Puncak (1, -4)",
            at: 3,
            offset: [0, -0.5, 0],
          },
        ],
      },
    ]}
  />
</div>

### f(x) = -x²

Mari kita gambar grafik fungsi <InlineMath math="f(x) = -x^2" />:

1. Koefisien <InlineMath math="a = -1 < 0" />, jadi parabola terbuka ke bawah.
2. Titik puncak:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0" />
     <BlockMath math="f(0) = -(0)^2 = 0" />
   </div>

   Jadi titik puncaknya adalah (0, 0).

3. Titik potong dengan sumbu Y:

   <BlockMath math="f(0) = 0" />

   Jadi titik potong dengan sumbu Y adalah (0, 0).

4. Titik potong dengan sumbu X: <InlineMath math="f(x) = 0" /> atau <InlineMath math="-x^2 = 0" />

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="x^2 = 0" />
     <BlockMath math="x = 0" />
   </div>

   Jadi titik potong dengan sumbu X adalah (0, 0).

5. Mari kita hitung beberapa titik tambahan:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="f(-2) = -((-2)^2) = -4" />
     <BlockMath math="f(-1) = -((-1)^2) = -1" />
     <BlockMath math="f(1) = -(1^2) = -1" />
     <BlockMath math="f(2) = -(2^2) = -4" />
   </div>

<div className="mt-4">
  <LineEquation
    title={
      <>
        Grafik <InlineMath math="f(x) = -x^2" />
      </>
    }
    description={
      <>
        Parabola terbuka ke bawah dengan titik puncak{" "}
        <InlineMath math="(0, 0)" />.
      </>
    }
    data={[
      {
        points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => {
          const x = i - 3; // x values from -3 to 3
          return { x, y: -x * x, z: 0 };
        }),
        color: getColor("ORANGE"),
        labels: [
          {
            text: "f(x) = -x²",
            at: 4,
            offset: [2, 0, 0],
          },
          {
            text: "Titik Puncak (0, 0)",
            at: 3,
            offset: [0, 0.5, 0],
          },
        ],
      },
    ]}
  />
</div>

## Tabel Bentuk Grafik Fungsi Kuadrat

| Fungsi Kuadrat              | Bentuk Grafik                                      |
| --------------------------- | -------------------------------------------------- |
| <InlineMath math="a > 0" /> | Parabola terbuka ke atas, memiliki titik minimum   |
| <InlineMath math="a < 0" /> | Parabola terbuka ke bawah, memiliki titik maksimum |
