# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/10/mathematics/quadratic-function/quadratic-function-construction
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/10/mathematics/quadratic-function/quadratic-function-construction/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
  title: "Mengonstruksi Fungsi Kuadrat",
  description: "Pelajari cara mengonstruksi fungsi kuadrat dengan tiga titik, bentuk vertex, akar-akar, dan simetri. Kuasai berbagai metode dengan contoh dan solusi lengkap.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "04/19/2025",
  subject: "Persamaan dan Fungsi Kuadrat",
};

## Cara Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat

Mengonstruksi fungsi kuadrat berarti menentukan bentuk persamaan <InlineMath math="f(x) = ax^2 + bx + c" /> berdasarkan informasi yang diberikan. Ada beberapa cara berbeda untuk mengonstruksi fungsi kuadrat, tergantung pada informasi yang tersedia.

## Bentuk-Bentuk Penulisan Fungsi Kuadrat

Sebelum kita mulai mengonstruksi fungsi kuadrat, mari kita pahami tiga bentuk penulisan fungsi kuadrat:

1. **Bentuk Standar**: <InlineMath math="f(x) = ax^2 + bx + c" />
2. **Bentuk Faktor**: <InlineMath math="f(x) = a(x - p)(x - q)" /> dimana p dan q adalah akar-akar persamaan
3. **Bentuk Vertex**: <InlineMath math="f(x) = a(x - h)^2 + k" /> dimana (h, k) adalah titik puncak

Ketiga bentuk ini saling berhubungan dan dapat diubah dari satu bentuk ke bentuk lainnya.

## Metode Mengonstruksi Fungsi Kuadrat

### Tiga Titik

Cara paling umum untuk mengonstruksi fungsi kuadrat adalah dengan menggunakan tiga titik yang diketahui berada pada kurva.

Jika kita memiliki tiga titik <InlineMath math="(x_1, y_1)" />, <InlineMath math="(x_2, y_2)" />, dan <InlineMath math="(x_3, y_3)" />, kita dapat memasukkan nilai-nilai ini ke dalam persamaan standar untuk mendapatkan tiga persamaan linear dengan tiga variabel a, b, dan c.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="y_1 = ax_1^2 + bx_1 + c" />
  <BlockMath math="y_2 = ax_2^2 + bx_2 + c" />
  <BlockMath math="y_3 = ax_3^2 + bx_3 + c" />
</div>

**Contoh**:

Carilah persamaan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik K(-1, 0), L(0, -3), dan M(1, -4).

Masukkan nilai koordinat ke dalam persamaan standar.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="K(-1, 0): 0 = a(-1)^2 + b(-1) + c" />
  <BlockMath math="L(0, -3): -3 = a(0)^2 + b(0) + c" />
  <BlockMath math="M(1, -4): -4 = a(1)^2 + b(1) + c" />
</div>

Sederhanakan persamaan-persamaan tersebut.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="0 = a - b + c" />
  <BlockMath math="-3 = c" />
  <BlockMath math="-4 = a + b + c" />
</div>

Substitusi <InlineMath math="c = -3" /> ke persamaan pertama dan ketiga.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="0 = a - b - 3" />
  <BlockMath math="-4 = a + b - 3" />
</div>

Sederhanakan dan jumlahkan kedua persamaan untuk menemukan nilai a.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="a - b = 3" />
  <BlockMath math="a + b = -1" />
  <BlockMath math="2a = 2" />
  <BlockMath math="a = 1" />
</div>

Substitusi nilai a ke persamaan <InlineMath math="a - b = 3" /> untuk menemukan nilai b.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="1 - b = 3" />
  <BlockMath math="b = -2" />
</div>

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

<BlockMath math="f(x) = x^2 - 2x - 3" />

<div className="mt-4">
  <LineEquation
    title={
      <>
        Grafik <InlineMath math="f(x) = x^2 - 2x - 3" />
      </>
    }
    description={
      <>
        Parabola yang melalui titik <InlineMath math="K(-1, 0)" />,{" "}
        <InlineMath math="L(0, -3)" />, dan <InlineMath math="M(1, -4)" />.
      </>
    }
    cameraPosition={[2, 3, 8]}
    data={[
      {
        points: Array.from({ length: 7 }, (_, i) => {
          const x = i - 3; // x values from -3 to 3
          return { x, y: x * x - 2 * x - 3, z: 0 };
        }),
        color: getColor("TEAL"),
        labels: [
          {
            text: "f(x) = x² - 2x - 3",
            at: 5,
            offset: [2, 0.3, 0],
          },
          {
            text: "L(0, -3)",
            at: 3,
            offset: [-1, 0, 0],
          },
          {
            text: "M(1, -4)",
            at: 4,
            offset: [0, -0.5, 0],
          },
          {
            text: "K(-1, 0)",
            at: 2,
            offset: [-1, 0.3, 0],
          },
        ],
      },
    ]}
  />
</div>

### Titik Puncak

Jika kita mengetahui koordinat titik puncak (h, k) dan satu titik lain (p, q) pada grafik, kita dapat menggunakan bentuk vertex <InlineMath math="f(x) = a(x - h)^2 + k" /> untuk menemukan nilai a.

**Contoh**:

Temukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak (2, 0) dan melalui titik (4, 4).

Gunakan bentuk vertex <InlineMath math="f(x) = a(x - h)^2 + k" /> dengan h = 2 dan k = 0.

<BlockMath math="f(x) = a(x - 2)^2 + 0 = a(x - 2)^2" />

Substitusi titik (4, 4) untuk menemukan nilai a.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="4 = a(4 - 2)^2" />
  <BlockMath math="4 = 4a" />
  <BlockMath math="a = 1" />
</div>

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

<BlockMath math="f(x) = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4" />

<div className="mt-4">
  <LineEquation
    title={
      <>
        Grafik <InlineMath math="f(x) = (x - 2)^2" />
      </>
    }
    description={
      <>
        Parabola dengan titik puncak <InlineMath math="(2, 0)" /> dan melalui
        titik <InlineMath math="(4, 4)" />
      </>
    }
    cameraPosition={[6, 6, 8]}
    data={[
      {
        points: Array.from({ length: 9 }, (_, i) => {
          const x = i - 1; // x values from -1 to 7
          return { x, y: Math.pow(x - 2, 2), z: 0 };
        }),
        color: getColor("INDIGO"),
        labels: [
          {
            text: "f(x) = (x - 2)²",
            at: 7,
            offset: [0.3, 0.3, 0],
          },
          {
            text: "(2, 0)",
            at: 3,
            offset: [0, 0.3, 0],
          },
          {
            text: "(4, 4)",
            at: 5,
            offset: [0.3, 0.3, 0],
          },
        ],
      },
    ]}
  />
</div>

### Akar-Akar Persamaan

Jika kita mengetahui akar-akar (titik potong dengan sumbu x) p dan q dari fungsi kuadrat, dan satu titik tambahan (r, s) pada kurva, kita dapat menggunakan bentuk faktor <InlineMath math="f(x) = a(x - p)(x - q)" />.

**Contoh**:

Carilah persamaan fungsi kuadrat yang memiliki akar-akar x = -2 dan x = 3, dan melalui titik (1, -6).

Gunakan bentuk faktor <InlineMath math="f(x) = a(x - p)(x - q)" /> dengan p = -2 dan q = 3.

<BlockMath math="f(x) = a(x - (-2))(x - 3) = a(x + 2)(x - 3)" />

Substitusi titik (1, -6) untuk menemukan nilai a.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="-6 = a(1 + 2)(1 - 3)" />
  <BlockMath math="-6 = a(3)(-2)" />
  <BlockMath math="-6 = -6a" />
  <BlockMath math="a = 1" />
</div>

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

<BlockMath math="f(x) = (x + 2)(x - 3) = x^2 - x - 6" />

<div className="mt-4">
  <LineEquation
    title={
      <>
        Grafik <InlineMath math="f(x) = (x + 2)(x - 3)" />
      </>
    }
    description={
      <>
        Parabola dengan akar-akar <InlineMath math="x = -2" /> dan{" "}
        <InlineMath math="x = 3" />, melalui titik <InlineMath math="(1, -6)" />
      </>
    }
    cameraPosition={[4, 5, 10]}
    data={[
      {
        points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
          const x = i - 4; // x values from -4 to 6
          return { x, y: (x + 2) * (x - 3), z: 0 };
        }),
        color: getColor("ORANGE"),
        labels: [
          {
            text: "f(x) = (x + 2)(x - 3)",
            at: 6,
            offset: [3, 0.3, 0],
          },
          {
            text: "(-2, 0)",
            at: 2,
            offset: [0.3, 0.3, 0],
          },
          {
            text: "(3, 0)",
            at: 7,
            offset: [0.3, 0.3, 0],
          },
          {
            text: "(1, -6)",
            at: 5,
            offset: [0.3, -0.3, 0],
          },
        ],
      },
    ]}
  />
</div>

### Sumbu Simetri dan Diskriminan

Kita juga dapat mengonstruksi fungsi kuadrat dengan mengetahui sumbu simetri (atau koordinat x dari titik puncak) dan nilai diskriminan.

**Contoh**:

Temukan persamaan fungsi kuadrat dengan sumbu simetri x = 1 dan diskriminan D = 16.

Dari sumbu simetri x = 1, kita tahu bahwa <InlineMath math="-\frac{b}{2a} = 1" />, sehingga <InlineMath math="b = -2a" />.

Dari diskriminan D = 16, kita tahu bahwa <InlineMath math="b^2 - 4ac = 16" />.

Substitusi <InlineMath math="b = -2a" /> ke persamaan diskriminan.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="(-2a)^2 - 4ac = 16" />
  <BlockMath math="4a^2 - 4ac = 16" />
  <BlockMath math="4a(a - c) = 16" />
  <BlockMath math="a(a - c) = 4" />
</div>

Ada banyak nilai a dan c yang memenuhi persamaan ini. Mari kita ambil kasus sederhana dengan a = 1.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="1(1 - c) = 4" />
  <BlockMath math="1 - c = 4" />
  <BlockMath math="c = -3" />
</div>

Dengan a = 1, b = -2, dan c = -3, fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

<BlockMath math="f(x) = x^2 - 2x - 3" />

### Koordinat Simetris

Kita dapat mengonstruksi fungsi kuadrat dengan memanfaatkan sifat simetri dari parabola.

**Contoh**:

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik-titik (0, 0), (4, 1), dan (-4, 1).

Karena titik (4, 1) dan (-4, 1) memiliki nilai y yang sama dan berada pada jarak yang sama dari sumbu y, maka kurva simetris terhadap sumbu y. Ini berarti sumbu simetrinya adalah x = 0, dan puncaknya terletak di (0, 0).

Gunakan bentuk vertex <InlineMath math="f(x) = a(x - h)^2 + k" /> dengan h = 0 dan k = 0.

<BlockMath math="f(x) = ax^2" />

Substitusi titik (4, 1) untuk menemukan nilai a.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="1 = a(4)^2" />
  <BlockMath math="1 = 16a" />
  <BlockMath math="a = \frac{1}{16}" />
</div>

Fungsi kuadrat yang dihasilkan adalah:

<BlockMath math="f(x) = \frac{1}{16}x^2" />

<div className="mt-4">
  <LineEquation
    title={
      <>
        Grafik <InlineMath math="f(x) = \frac{1}{16}x^2" />
      </>
    }
    description={
      <>
        Parabola melalui titik <InlineMath math="(0, 0)" />,{" "}
        <InlineMath math="(4, 1)" />, dan <InlineMath math="(-4, 1)" />
      </>
    }
    cameraPosition={[0, 0.5, 8]}
    data={[
      {
        points: Array.from({ length: 13 }, (_, i) => {
          const x = i - 6; // x values from -6 to 6
          return { x, y: (1 / 16) * x * x, z: 0 };
        }),
        color: getColor("TEAL"),
        labels: [
          {
            text: "f(x) = (1/16)x²",
            at: 11,
            offset: [-2, 0.3, 0],
          },
          {
            text: "(0, 0)",
            at: 6,
            offset: [0.3, 0.3, 0],
          },
          {
            text: "(4, 1)",
            at: 10,
            offset: [0.3, 0.3, 0],
          },
          {
            text: "(-4, 1)",
            at: 2,
            offset: [0.3, 0.3, 0],
          },
        ],
      },
    ]}
  />
</div>

## Transformasi Antar Bentuk Fungsi Kuadrat

### Bentuk Standar ke Bentuk Vertex

Untuk mengubah <InlineMath math="f(x) = ax^2 + bx + c" /> menjadi bentuk vertex <InlineMath math="f(x) = a(x - h)^2 + k" />:

1. Tentukan koordinat x dari titik puncak: <InlineMath math="h = -\frac{b}{2a}" />
2. Hitung nilai fungsi di titik puncak: <InlineMath math="k = f(h) = f(-\frac{b}{2a})" />
3. Atau gunakan rumus: <InlineMath math="k = c - \frac{b^2}{4a}" />

### Bentuk Standar ke Bentuk Faktor

Untuk mengubah <InlineMath math="f(x) = ax^2 + bx + c" /> menjadi bentuk faktor <InlineMath math="f(x) = a(x - p)(x - q)" />:

1. Tentukan akar-akar persamaan <InlineMath math="ax^2 + bx + c = 0" /> menggunakan rumus:

   <BlockMath math="x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}" />

2. Jika akar-akarnya adalah p dan q, maka:

   <BlockMath math="f(x) = a(x - p)(x - q)" />

### Bentuk Faktor ke Bentuk Standar

Untuk mengubah <InlineMath math="f(x) = a(x - p)(x - q)" /> menjadi bentuk standar <InlineMath math="f(x) = ax^2 + bx + c" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="f(x) = a(x - p)(x - q)" />
  <BlockMath math="f(x) = a(x^2 - qx - px + pq)" />
  <BlockMath math="f(x) = a(x^2 - (p+q)x + pq)" />
  <BlockMath math="f(x) = ax^2 - a(p+q)x + apq" />
</div>

Dengan membandingkan dengan bentuk standar, kita mendapatkan:

- <InlineMath math="b = -a(p+q)" />
- <InlineMath math="c = apq" />

## Latihan dan Penyelesaian

### Latihan 1

Temukan persamaan fungsi kuadrat yang melalui titik (-2, 4), (1, -5), dan (3, 7).

**Jawaban**:

Masukkan titik-titik ke persamaan standar:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="4 = a(-2)^2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c" />
  <BlockMath math="-5 = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c" />
  <BlockMath math="7 = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c" />
</div>

Dari persamaan kedua, <InlineMath math="c = -5 - a - b" />.
Substitusi ke persamaan pertama, lalu selesaikan:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="4 = 4a - 2b + (-5 - a - b)" />
  <BlockMath math="9 = 3a - 3b" />
  <BlockMath math="3 = a - b" />
  <BlockMath math="a = 3 + b" />
</div>

Substitusi ke persamaan ketiga:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="7 = 9(3 + b) + 3b + (-5 - (3 + b) - b)" />
  <BlockMath math="7 = 19 + 10b" />
  <BlockMath math="b = -\frac{12}{10} = -\frac{6}{5}" />
</div>

Kemudian:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="a = 3 + (-\frac{6}{5}) = \frac{9}{5}" />
  <BlockMath math="c = -5 - \frac{9}{5} - (-\frac{6}{5}) = -\frac{28}{5}" />
</div>

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

<BlockMath math="f(x) = \frac{9}{5}x^2 - \frac{6}{5}x - \frac{28}{5}" />

### Latihan 2

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak (-1, 4) dan melalui titik (2, -5).

**Jawaban**:

Gunakan bentuk vertex dengan h = -1 dan k = 4:

<BlockMath math="f(x) = a(x - (-1))^2 + 4 = a(x + 1)^2 + 4" />

Substitusi titik (2, -5):

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="-5 = a(2 + 1)^2 + 4" />
  <BlockMath math="-5 = 9a + 4" />
  <BlockMath math="-9 = 9a" />
  <BlockMath math="a = -1" />
</div>

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

<BlockMath math="f(x) = -(x + 1)^2 + 4 = -x^2 - 2x + 3" />

### Latihan 3

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki akar-akar x = -3 dan x = 2, dan memiliki nilai maksimum 4.

**Jawaban**:

Gunakan bentuk faktor dengan p = -3 dan q = 2:

<BlockMath math="f(x) = a(x - (-3))(x - 2) = a(x + 3)(x - 2)" />

Karena fungsi memiliki nilai maksimum, maka <InlineMath math="a < 0" />.

Titik puncak berada di <InlineMath math="x = \frac{p + q}{2} = \frac{-3 + 2}{2} = -\frac{1}{2}" />.

Substitusi x = -1/2 ke bentuk faktor dan gunakan bahwa nilai maksimum adalah 4:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="f(-\frac{1}{2}) = a(-\frac{1}{2} + 3)(-\frac{1}{2} - 2) = -a\frac{25}{4} = 4" />
  <BlockMath math="a = -\frac{16}{25}" />
</div>

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah:

<BlockMath math="f(x) = -\frac{16}{25}(x + 3)(x - 2) = -\frac{16}{25}x^2 - \frac{16}{25}x + \frac{96}{25}" />
