# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/10/mathematics/quadratic-function/quadratic-function-minimum-area
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/10/mathematics/quadratic-function/quadratic-function-minimum-area/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
    title: "Menentukan Luas Minimum",
    description: "Minimalkan luas dan biaya dengan fungsi kuadrat melalui contoh praktis, solusi efisien, dan aplikasi bisnis. Kuasai teknik optimasi biaya.",
    authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
    date: "04/19/2025",
    subject: "Persamaan dan Fungsi Kuadrat",
};

## Apa itu Luas Minimum?

Selain mencari yang paling besar, fungsi kuadrat juga bisa dipakai buat mencari nilai _paling kecil_ (minimum). Kapan ya kita butuh cari luas minimum? Misalnya, kita punya bahan terbatas tapi harus membuat sesuatu dengan luas tertentu, dan kita mau pakai bahan sesedikit mungkin.

## Kenalan Lagi Sama Fungsi Kuadrat

Ingat kan, fungsi kuadrat itu bisa senyum (<InlineMath math="ax^2 + bx + c" /> kalau <InlineMath math="a > 0" />) atau cemberut (<InlineMath math="ax^2 + bx + c" /> kalau <InlineMath math="a < 0" />).

Nah, kalau kita mau cari nilai _paling kecil_ (minimum), kita pakai yang bentuknya senyum, jadi nilai <InlineMath math="a" /> nya positif (<InlineMath math="a > 0" />).

Bentuk umumnya tetap sama:

<BlockMath math="f(x) = ax^2 + bx + c" />

(<InlineMath math="a" />, <InlineMath math="b" />, <InlineMath math="c" /> itu angka, <InlineMath math="a \neq 0" />).

## Cara Cari Titik Paling Bawah (Lembah)

Nilai paling kecil itu ada di titik paling bawah dari grafik yang senyum tadi. Titik ini juga namanya titik puncak atau vertex (tapi posisinya di bawah).

Rumus mencarinya sama persis dengan mencari titik paling atas!

Untuk mencari _posisi_ titik lembah (nilai <InlineMath math="x" /> nya):

<BlockMath math="x_p = -\frac{b}{2a}" />

Untuk mencari _nilai paling kecilnya_ (nilai <InlineMath math="y" /> atau <InlineMath math="f(x)" /> nya):

<BlockMath math="y_p = f(x_p) = a(x_p)^2 + b(x_p) + c" />

Atau pakai rumus cepat diskriminan:

<BlockMath math="y_p = -\frac{D}{4a}" />

dengan <InlineMath math="D = b^2 - 4ac" />.

## Contoh Biar Ngerti

Misalnya, kita punya seutas kawat panjangnya 40 cm. Kawat ini mau dipotong jadi dua bagian. Bagian pertama dibentuk jadi persegi, bagian kedua juga dibentuk jadi persegi. Berapa ukuran potongan agar _jumlah luas_ kedua persegi itu paling kecil (minimum)?

1.  **Bikin Nama:** Misal sisi persegi pertama <InlineMath math="x" /> cm, sisi persegi kedua <InlineMath math="y" /> cm.
2.  **Hubungan Panjang Kawat:**

    - Kawat untuk persegi pertama: Kelilingnya <InlineMath math="4x" /> cm.
    - Kawat untuk persegi kedua: Kelilingnya <InlineMath math="4y" /> cm.
    - Total panjang kawat:

      <BlockMath math="4x + 4y = 40" />

      Sederhanakan (bagi 4):

      <BlockMath math="x + y = 10" />

      Artinya:

      <BlockMath math="y = 10 - x" />

3.  **Rumus Jumlah Luas:** Jumlah luas kedua persegi adalah <InlineMath math="A = \text{Luas}_1 + \text{Luas}_2" />.

    <BlockMath math="A(x) = x^2 + y^2" />

    Ganti <InlineMath math="y" /> dengan <InlineMath math="10 - x" />:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="A(x) = x^2 + (10 - x)^2" />
      <BlockMath math="A(x) = x^2 + (100 - 20x + x^2)" />
      <BlockMath math="A(x) = 2x^2 - 20x + 100" />
    </div>

4.  **Bentuk Fungsi Kuadrat:** Kita sudah dapat <InlineMath math="A(x) = 2x^2 - 20x + 100" />.

    Ini fungsi kuadrat dengan <InlineMath math="a = 2" />, <InlineMath math="b = -20" />, <InlineMath math="c = 100" />. Karena <InlineMath math="a" /> positif, grafiknya senyum, jadi ada nilai minimum.

5.  **Cari Sisi x untuk Luas Minimum:** Pakai rumus <InlineMath math="x_p = -b / (2a)" />:

    <BlockMath math="x_p = -\frac{-20}{2 \times 2} = \frac{20}{4} = 5" />

    Jadi, sisi persegi pertama harus 5 cm agar jumlah luasnya minimal.

6.  **Cari Sisi y dan Luas Minimum:**

    - Sisi persegi kedua: <InlineMath math="y = 10 - x = 10 - 5 = 5" /> cm.
    - Jumlah Luas Minimum: Masukkan <InlineMath math="x = 5" /> ke <InlineMath math="A(x)" />:

      <BlockMath math="A(5) = 2(5)^2 - 20(5) + 100 = 2(25) - 100 + 100 = 50" />

      Jumlah luas minimumnya adalah <InlineMath math="50 \text{ cm}^2" />.

7.  **Kesimpulan:** Agar jumlah luas kedua persegi minimal (<InlineMath math="50 \text{ cm}^2" />), kawat harus dipotong sehingga kedua persegi memiliki sisi yang sama, yaitu <InlineMath math="5 \text{ cm}" />. (Artinya kawat dipotong jadi dua bagian sama panjang, <InlineMath math="20 \text{ cm}" /> dan <InlineMath math="20 \text{ cm}" />).

## Dipakai Dimana Aja Sih?

### Bisnis & Ekonomi

**Contoh:**

Biaya produksi <InlineMath math="x" /> unit barang (dalam ribu rupiah) adalah <InlineMath math="C(x) = 3x^2 - 60x + 500" />. Berapa unit harus diproduksi agar biaya minimum?

- Fungsi biaya: <InlineMath math="C(x) = 3x^2 - 60x + 500" /> (<InlineMath math="a=3, b=-60" />). <InlineMath math="a>0" />, jadi ada minimum.
- Jumlah unit untuk biaya min: <InlineMath math="x_p = -b / (2a) = -(-60) / (2 \times 3) = 60 / 6 = 10" /> unit.
- Biaya minimum: <InlineMath math="C(10) = 3(10)^2 - 60(10) + 500 = 3(100) - 600 + 500 = 300 - 600 + 500 = 200" /> ribu rupiah (atau Rp 200.000).

## Latihan

Jumlah dua bilangan positif adalah 16. Tentukan kedua bilangan tersebut agar jumlah kuadratnya minimum, dan hitung jumlah kuadrat minimumnya!

### Kunci Jawaban

1.  Misal bilangan pertama <InlineMath math="x" />, bilangan kedua <InlineMath math="y" />. (<InlineMath math="x > 0, y > 0" />).
2.  Hubungan: <InlineMath math="x + y = 16" />. Maka <InlineMath math="y = 16 - x" />.
3.  Jumlah Kuadrat: <InlineMath math="J = x^2 + y^2" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="J(x) = x^2 + (16 - x)^2" />
      <BlockMath math="J(x) = x^2 + (256 - 32x + x^2)" />
      <BlockMath math="J(x) = 2x^2 - 32x + 256" />
    </div>

4.  Fungsi Jumlah Kuadrat: <InlineMath math="J(x) = 2x^2 - 32x + 256" />.

    (<InlineMath math="a = 2, b = -32" />). Karena <InlineMath math="a > 0" />, ada nilai minimum.

5.  Nilai <InlineMath math="x" /> untuk jumlah kuadrat min:

    <BlockMath math="x_p = -b / (2a) = -(-32) / (2 \times 2) = 32 / 4 = 8" />.

6.  Nilai <InlineMath math="y" />:

    <BlockMath math="y = 16 - x = 16 - 8 = 8" />.

7.  Jumlah Kuadrat Minimum:

    <BlockMath math="J(8) = 2(8)^2 - 32(8) + 256 = 2(64) - 256 + 256 = 128" />.

Jadi, kedua bilangan tersebut adalah 8 dan 8 agar jumlah kuadratnya minimum (yaitu 128).
