# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/10/mathematics/vector-operations/three-dimensional-vector
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/10/mathematics/vector-operations/three-dimensional-vector/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { Vector3d } from "@repo/design-system/components/contents/vector-3d";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
  title: "Vektor Tiga Dimensi",
  description: "Pelajari vektor tiga dimensi dengan visualisasi interaktif. Kuasai operasi vektor 3D, perkalian titik & silang, serta aplikasi dunia nyata.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "04/12/2025",
  subject: "Vektor dan Operasinya",
};

## Pengertian Vektor Tiga Dimensi

Vektor tiga dimensi adalah besaran yang memiliki nilai dan arah dalam ruang tiga dimensi. Berbeda dengan vektor dua dimensi yang hanya berada pada bidang datar (sumbu x dan y), vektor tiga dimensi berada dalam ruang dengan tiga sumbu koordinat (sumbu x, y, dan z).

<Vector3d
  title="Vektor dalam Ruang Tiga Dimensi"
  description={
    <>
      Visualisasi vektor dalam ruang tiga dimensi dengan komponen{" "}
      <InlineMath math="x" />, <InlineMath math="y" />, dan{" "}
      <InlineMath math="z" />.
    </>
  }
  vectors={[
    {
      from: [0, 0, 0],
      to: [3, 4, 2],
      color: getColor("VIOLET"),
      label: "v",
    },
  ]}
  cameraPosition={[8, 6, 8]}
/>

## Representasi Vektor Tiga Dimensi

### Notasi Vektor Tiga Dimensi

Vektor tiga dimensi dapat dinotasikan dengan berbagai cara:

1. Notasi huruf dengan tanda panah di atasnya: <InlineMath math="\vec{a}" /> atau <InlineMath math="\overrightarrow{PQ}" />
2. Notasi komponen: <InlineMath math="(a_x, a_y, a_z)" /> atau <InlineMath math="(a_1, a_2, a_3)" />
3. Notasi basis: <InlineMath math="a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}" />

### Komponen Vektor Tiga Dimensi

Vektor dalam ruang tiga dimensi terdiri dari tiga komponen yang menunjukkan proyeksi vektor pada masing-masing sumbu koordinat:

<BlockMath math="\vec{a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}" />

dimana:

- <InlineMath math="a_x" /> adalah komponen vektor pada sumbu <InlineMath math="x" />
- <InlineMath math="a_y" /> adalah komponen vektor pada sumbu <InlineMath math="y" />
- <InlineMath math="a_z" /> adalah komponen vektor pada sumbu <InlineMath math="z" />
- <InlineMath math="\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}" /> adalah vektor satuan pada sumbu
  <InlineMath math="x" />, <InlineMath math="y" />, dan <InlineMath math="z" />

<div className="mt-4">
  <Vector3d
    title="Komponen Vektor Tiga Dimensi"
    description={
      <>
        Vektor tiga dimensi dengan komponen pada sumbu <InlineMath math="x" />,
        <InlineMath math="y" />, dan <InlineMath math="z" />.
      </>
    }
    vectors={[
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [4, 0, 0],
        color: getColor("PURPLE"),
        label: "a_x",
      },
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [0, 3, 0],
        color: getColor("TEAL"),
        label: "a_y",
      },
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [0, 0, 2],
        color: getColor("AMBER"),
        label: "a_z",
      },
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [4, 3, 2],
        color: getColor("PINK"),
        label: "a",
      },
    ]}
    cameraPosition={[8, 6, 8]}
  />
</div>

## Panjang Vektor Tiga Dimensi

Panjang atau besar vektor tiga dimensi <InlineMath math="\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)" /> ditentukan dengan rumus:

<BlockMath math="|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}" />

**Contoh**:

Jika <InlineMath math="\vec{a} = (3, 4, 5)" />, maka panjang vektor <InlineMath math="\vec{a}" /> adalah:

<BlockMath math="|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}" />

## Operasi Vektor Tiga Dimensi

### Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Penjumlahan dan pengurangan vektor tiga dimensi dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan komponen-komponen yang bersesuaian.

Jika <InlineMath math="\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)" /> dan <InlineMath math="\vec{b} = (b_x, b_y, b_z)" />, maka:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)" />
  <BlockMath math="\vec{a} - \vec{b} = (a_x - b_x, a_y - b_y, a_z - b_z)" />
</div>

<div className="mt-4">
  <Vector3d
    title="Penjumlahan Vektor Tiga Dimensi"
    description={
      <>
        Visualisasi penjumlahan vektor <InlineMath math="a" /> dan{" "}
        <InlineMath math="b" /> menghasilkan vektor{" "}
        <InlineMath math="c = a + b" />.
      </>
    }
    vectors={[
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [2, 3, 1],
        color: getColor("TEAL"),
        label: "a",
        labelPosition: "middle",
      },
      {
        from: [2, 3, 1],
        to: [5, 4, 3],
        color: getColor("ORANGE"),
        label: "b",
        labelPosition: "middle",
      },
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [5, 4, 3],
        color: getColor("YELLOW"),
        label: "c = a + b",
      },
    ]}
  />
</div>

### Perkalian Skalar dengan Vektor

Perkalian skalar <InlineMath math="k" /> dengan vektor <InlineMath math="\vec{a}" /> menghasilkan vektor baru dengan arah yang sama (jika <InlineMath math="k > 0" />) atau berlawanan (jika <InlineMath math="k < 0" />) dan panjang <InlineMath math="|k|" /> kali panjang <InlineMath math="\vec{a}" />.

<BlockMath math="k\vec{a} = (k \cdot a_x, k \cdot a_y, k \cdot a_z)" />

<div className="mt-4">
  <Vector3d
    title="Perkalian Skalar dengan Vektor"
    description={
      <>
        Visualisasi perkalian skalar <InlineMath math="k" /> dengan vektor{" "}
        <InlineMath math="a" />, dimana <InlineMath math="k = 2" />.
      </>
    }
    vectors={[
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [2, 1, 2],
        color: getColor("EMERALD"),
        label: "a",
      },
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [4, 2, 4],
        color: getColor("FUCHSIA"),
        label: "2a",
      },
    ]}
    cameraPosition={[2, 4, 10]}
  />
</div>

### Perkalian Titik (Dot Product)

Perkalian titik antara dua vektor <InlineMath math="\vec{a}" /> dan <InlineMath math="\vec{b}" /> menghasilkan skalar yang didefinisikan sebagai:

<BlockMath math="\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta" />

dimana <InlineMath math="\theta" /> adalah sudut antara kedua vektor.

Perkalian titik memiliki sifat:

1. <InlineMath math="\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}" /> (komutatif)
2. <InlineMath math="\vec{a} \cdot \vec{b} = 0" /> jika dan hanya jika <InlineMath math="\vec{a}" /> dan <InlineMath math="\vec{b}" /> saling
   tegak lurus (ortogonal)
3. <InlineMath math="\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2" />

### Perkalian Silang (Cross Product)

Perkalian silang antara dua vektor <InlineMath math="\vec{a}" /> dan <InlineMath math="\vec{b}" /> menghasilkan vektor baru <InlineMath math="\vec{c}" /> yang tegak lurus terhadap kedua vektor tersebut.

<BlockMath math="\vec{a} \times \vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)" />

Besar dari hasil perkalian silang adalah:

<BlockMath math="|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta" />

dimana <InlineMath math="\theta" /> adalah sudut antara kedua vektor.

<Vector3d
  title="Perkalian Silang Vektor"
  description="Visualisasi perkalian silang vektor a dan b menghasilkan vektor c yang tegak lurus terhadap keduanya."
  vectors={[
    {
      from: [0, 0, 0],
      to: [2, 0, 0],
      color: getColor("TEAL"),
      label: "a",
    },
    {
      from: [0, 0, 0],
      to: [0, 2, 0],
      color: getColor("ROSE"),
      label: "b",
    },
    {
      from: [0, 0, 0],
      to: [0, 0, 4],
      color: getColor("LIME"),
      label: "a × b",
    },
  ]}
  cameraPosition={[2, 6, 8]}
/>

## Aplikasi Vektor Tiga Dimensi

Vektor tiga dimensi memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang:

1. **Fisika**: Untuk menggambarkan gaya, kecepatan, percepatan, dan momentum dalam ruang tiga dimensi
2. **Grafika Komputer**: Untuk merepresentasikan posisi dan pergerakan objek dalam ruang tiga dimensi
3. **Robotika**: Untuk mengontrol pergerakan robot dalam ruang
4. **Navigasi**: Untuk menentukan arah dan jarak dalam ruang tiga dimensi
5. **Teknik Mesin**: Untuk analisis struktur dan mekanika fluida
