# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/10/mathematics/vector-operations/vector-addition
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/10/mathematics/vector-operations/vector-addition/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { Vector3d } from "@repo/design-system/components/contents/vector-3d";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
  title: "Penjumlahan Vektor",
  description: "Kuasai penjumlahan vektor dengan metode segitiga, jajar genjang & poligon. Pelajari perhitungan resultan, komponen, dan aplikasi dunia nyata.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "04/12/2025",
  subject: "Vektor dan Operasinya",
};

## Konsep Dasar Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor berbeda dengan penjumlahan skalar. Pada penjumlahan skalar, kita hanya menjumlahkan besaran tanpa memperhatikan arah. Contohnya, 2 kg gula ditambah 3 kg gula menghasilkan 5 kg gula. Namun, pada penjumlahan vektor, kita harus memperhatikan besaran dan arah.

Misalnya, seseorang berjalan 2 m ke timur kemudian 3 m ke barat, hasilnya berbeda dengan berjalan 2 m ke timur kemudian 3 m ke timur lagi. Hasil penjumlahan vektor disebut sebagai **resultan vektor**.

## Penjumlahan Vektor dengan Metode Segitiga

Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan cara grafis menggunakan metode segitiga. Prinsipnya adalah:

1. Gambar vektor pertama <InlineMath math="\vec{a}" />
2. Gambar vektor kedua <InlineMath math="\vec{b}" /> dengan pangkal vektor bertemu dengan ujung vektor pertama
3. Resultan vektor adalah vektor yang menghubungkan pangkal vektor pertama dengan ujung vektor kedua

<div className="mt-4">
  <Vector3d
    title="Penjumlahan Vektor dengan Metode Segitiga"
    description="Metode segitiga untuk menjumlahkan vektor a dan vektor b."
    vectors={[
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [4, 1, 0],
        color: getColor("ROSE"),
        label: "vektor a",
        labelPosition: "end",
      },
      {
        from: [4, 1, 0],
        to: [6, 4, 0],
        color: getColor("TEAL"),
        label: "vektor b",
        labelPosition: "middle",
      },
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [6, 4, 0],
        color: getColor("LIME"),
        label: "vektor a+b",
        labelPosition: "end",
      },
    ]}
  />
</div>

Secara matematis, jika <InlineMath math="\overrightarrow{AB}" /> dan <InlineMath math="\overrightarrow{BC}" /> adalah dua vektor, maka:

<BlockMath math="\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} = \vec{a} + \vec{b}" />

Penjumlahan vektor memenuhi sifat komutatif, yaitu:

<BlockMath math="\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}" />

## Penjumlahan Vektor dengan Metode Jajar Genjang

Metode lain untuk menjumlahkan vektor adalah metode jajar genjang. Caranya:

1. Gambar kedua vektor dengan pangkal berimpit
2. Buat jajar genjang dengan kedua vektor sebagai sisi
3. Resultan vektor adalah diagonal jajar genjang yang melalui titik pangkal kedua vektor

<div className="mt-4">
  <Vector3d
    title="Penjumlahan Vektor dengan Metode Jajar Genjang"
    description="Metode jajar genjang untuk menjumlahkan vektor a dan vektor b."
    vectors={[
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [5, 1, 0],
        color: getColor("ROSE"),
        label: "vektor a",
        labelPosition: "end",
      },
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [2, 5, 0],
        color: getColor("TEAL"),
        label: "vektor b",
        labelPosition: "middle",
      },
      {
        from: [5, 1, 0],
        to: [7, 6, 0],
        color: getColor("TEAL"),
        label: "vektor b",
        labelPosition: "middle",
      },
      {
        from: [2, 5, 0],
        to: [7, 6, 0],
        color: getColor("ROSE"),
        label: "vektor a",
        labelPosition: "start",
      },
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [7, 6, 0],
        color: getColor("LIME"),
        label: "a+b = b+a",
        labelPosition: "end",
      },
    ]}
    cameraPosition={[12, 8, 12]}
  />
</div>

Metode ini juga memenuhi **sifat komutatif**, sehingga urutan penjumlahan vektor tidak mempengaruhi hasilnya.

## Penjumlahan dengan Metode Poligon

Untuk menjumlahkan lebih dari dua vektor, kita dapat menggunakan metode poligon. Prinsipnya adalah ujung vektor sebelumnya bertemu dengan pangkal vektor sesudahnya. Resultan vektor adalah vektor yang menghubungkan pangkal vektor pertama dengan ujung vektor terakhir.

<Vector3d
  title="Penjumlahan Tiga Vektor dengan Metode Poligon"
  description={
    <>
      Penjumlahan vektor <InlineMath math="a + b + c" /> menggunakan metode
      poligon.
    </>
  }
  vectors={[
    {
      from: [0, 0, 0],
      to: [3, 1, 0],
      color: getColor("ROSE"),
      label: "vektor a",
      labelPosition: "end",
    },
    {
      from: [3, 1, 0],
      to: [5, 4, 0],
      color: getColor("TEAL"),
      label: "vektor b",
      labelPosition: "middle",
    },
    {
      from: [5, 4, 0],
      to: [7, 3, 2],
      color: getColor("LIME"),
      label: "vektor c",
      labelPosition: "middle",
    },
    {
      from: [0, 0, 0],
      to: [7, 3, 2],
      color: getColor("ORANGE"),
      label: "vektor a+b+c",
      labelPosition: "end",
    },
  ]}
  cameraPosition={[12, 8, 12]}
/>

Penjumlahan vektor dengan metode poligon juga memenuhi sifat asosiatif:

<BlockMath math="\vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) = (\vec{A} + \vec{B}) + \vec{C}" />

Untuk menjumlahkan tiga vektor dengan metode jajar genjang, kita dapat:

1. Jumlahkan dua vektor terlebih dahulu untuk mendapatkan resultan <InlineMath math="R_1" />
2. Jumlahkan <InlineMath math="R_1" /> dengan vektor ketiga untuk mendapatkan resultan akhir <InlineMath math="R_2" />

<div className="mt-4">
  <Vector3d
    title="Sifat Asosiatif Penjumlahan Vektor"
    description={
      <>
        <InlineMath math="A + (B + C) = (A + B) + C" />
      </>
    }
    vectors={[
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [3, 1, 0],
        color: getColor("ROSE"),
        label: "A",
        labelPosition: "end",
      },
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [1, 3, 0],
        color: getColor("TEAL"),
        label: "B",
        labelPosition: "end",
      },
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [0, 1, 3],
        color: getColor("LIME"),
        label: "C",
        labelPosition: "end",
      },
      {
        from: [1, 3, 0],
        to: [1, 4, 3],
        color: getColor("LIME"),
        label: "C",
        labelPosition: "end",
      },
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [1, 4, 3],
        color: getColor("ORANGE"),
        label: "B+C",
        labelPosition: "middle",
      },
      {
        from: [3, 1, 0],
        to: [4, 5, 3],
        color: getColor("ORANGE"),
        label: "B+C",
        labelPosition: "middle",
      },
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [4, 5, 3],
        color: getColor("PINK"),
        label: "A+(B+C)",
        labelPosition: "end",
      },
    ]}
    cameraPosition={[10, 7, 10]}
  />
</div>

## Penjumlahan Vektor secara Komponen

Selain secara grafis, vektor juga dapat dijumlahkan secara komponen. Dalam sistem koordinat, setiap vektor dapat dinyatakan dalam komponen-komponennya.

<Vector3d
  title="Penjumlahan Vektor secara Komponen"
  description={
    <>
      Komponen vektor pada sumbu <InlineMath math="x" />,{" "}
      <InlineMath math="y" />, dan <InlineMath math="z" />.
    </>
  }
  vectors={[
    {
      from: [0, 0, 0],
      to: [3, 2, 1],
      color: getColor("ROSE"),
      label: "vektor a",
      labelPosition: "end",
    },
    {
      from: [0, 0, 0],
      to: [3, 0, 0],
      color: getColor("TEAL"),
      label: "a_x",
      labelPosition: "end",
    },
    {
      from: [0, 0, 0],
      to: [0, 2, 0],
      color: getColor("LIME"),
      label: "a_y",
      labelPosition: "end",
    },
    {
      from: [0, 0, 0],
      to: [0, 0, 1],
      color: getColor("ORANGE"),
      label: "a_z",
      labelPosition: "end",
    },
    {
      from: [0, 0, 0],
      to: [2, 4, 2],
      color: getColor("PINK"),
      label: "vektor b",
      labelPosition: "end",
    },
    {
      from: [0, 0, 0],
      to: [5, 6, 3],
      color: getColor("FUCHSIA"),
      label: "a+b",
      labelPosition: "end",
    },
  ]}
  cameraPosition={[9, 8, 9]}
/>

Jika <InlineMath math="\vec{a} = (a_x, a_y)" /> dan <InlineMath math="\vec{b} = (b_x, b_y)" />, maka:

<BlockMath math="\vec{a} + \vec{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)" />

Contoh:

<BlockMath math="\vec{AC} + \vec{AB} = (-3, 3) + (4, 2) = (1, 5)" />

Penjumlahan secara komponen dan secara grafis memberikan hasil yang sama.

## Aplikasi Penjumlahan Vektor dalam Kehidupan

Salah satu contoh aplikasi penjumlahan vektor adalah pada gerakan perahu menyeberangi sungai:

1. Jika kelajuan arus sungai nol (tidak ada arus), maka gerak perahu tidak berubah arah, hanya mengikuti arah yang dituju
2. Jika kelajuan arus sungai tidak nol, maka gerak perahu berubah, baik arah maupun kelajuannya

<div className="mt-4">
  <Vector3d
    title="Aplikasi Penjumlahan Vektor: Perahu Menyeberangi Sungai"
    description="Resultan dari vektor kecepatan perahu dan vektor arus sungai."
    vectors={[
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [0, 4, 0],
        color: getColor("TEAL"),
        label: "kecepatan perahu",
        labelPosition: "middle",
      },
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [3, 0, 0],
        color: getColor("LIME"),
        label: "arus sungai",
        labelPosition: "end",
      },
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [3, 4, 0],
        color: getColor("ROSE"),
        label: "gerak resultan",
        labelPosition: "end",
      },
    ]}
    cameraPosition={[8, 6, 8]}
  />
</div>

Gerak perahu merupakan hasil penjumlahan vektor antara kecepatan perahu sendiri dengan kecepatan arus sungai. Ini seperti contoh pada peta rute kendaraan, di mana kita perlu mempertimbangkan setiap vektor perpindahan dari satu lokasi ke lokasi lain untuk menentukan rute terpendek.

## Perbedaan Penjumlahan Skalar dan Vektor

Penjumlahan skalar hanya menghasilkan satu jawaban, sedangkan penjumlahan vektor menghasilkan berbagai jawaban karena vektor berkaitan dengan arah.

**Contoh penjumlahan skalar**:

3 kg gula + 4 kg gula = 7 kg gula

**Contoh penjumlahan vektor**:

perpindahan 3 m ke timur + 4 m ke timur = 7 m ke timur, tetapi perpindahan 3 m ke timur + 4 m ke barat = 1 m ke barat.

Dengan konsep penjumlahan vektor, kita dapat menganalisis berbagai fenomena fisik yang melibatkan besaran vektor seperti perpindahan, kecepatan, percepatan, dan gaya.