# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/10/mathematics/vector-operations/vector-coordinate-system
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/10/mathematics/vector-operations/vector-coordinate-system/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { VectorChart } from "@repo/design-system/components/contents/vector-chart";
import { Vector3d } from "@repo/design-system/components/contents/vector-3d";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
  title: "Vektor dan Sistem Koordinat",
  description: "Kuasai koordinat Kartesius 2D dan 3D. Pelajari vektor posisi, perpindahan, cara penulisan notasi, dan aplikasi nyata seperti GPS dan peta digital.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "04/09/2025",
  subject: "Vektor dan Operasinya",
};

## Sistem Koordinat Kartesius

Untuk menyatakan posisi suatu objek, seperti pesawat terbang yang sedang mengudara, kita memerlukan sebuah **kerangka acuan** atau **sistem koordinat**. Sistem yang paling umum digunakan adalah **Sistem Koordinat Kartesius**, yang dicetuskan oleh René Descartes.

Sistem Koordinat Kartesius menggunakan sumbu-sumbu yang saling tegak lurus untuk menentukan lokasi suatu titik.

- Pada **dua dimensi (2D)**, kita menggunakan sumbu <InlineMath math="x" /> (horizontal) dan sumbu <InlineMath math="y" /> (vertikal). Posisi titik dinyatakan sebagai pasangan terurut <InlineMath math="(x, y)" />, contohnya titik <InlineMath math="P(3, 4)" />.

  Artinya, titik <InlineMath math="P" /> berada <InlineMath math="3" /> satuan ke kanan (sumbu <InlineMath math="x" /> positif) dan <InlineMath math="4" /> satuan ke atas (sumbu <InlineMath math="y" /> positif) dari titik asal <InlineMath math="O(0, 0)" />.

  <VectorChart
    title={
      <>
        Vektor Posisi <InlineMath math="P(3, 4)" />
      </>
    }
    description={
      <>
        Titik asal <InlineMath math="O(0, 0)" /> menuju titik{" "}
        <InlineMath math="P(3, 4)" />.
      </>
    }
    vectors={[
      {
        id: "OP",
        name: "OP",
        points: [
          { x: 0, y: 0 },
          { x: 3, y: 4 },
        ],
      },
    ]}
  />

- Pada **tiga dimensi (3D)**, kita menambahkan sumbu <InlineMath math="z" /> yang tegak lurus terhadap bidang <InlineMath math="xy" />. Posisi titik dinyatakan sebagai <InlineMath math="(x, y, z)" />, seperti untuk menentukan posisi pesawat di udara.

  Kita bisa menganalogikan <InlineMath math="x" /> sebagai panjang, <InlineMath math="y" /> sebagai lebar, dan <InlineMath math="z" /> sebagai tinggi.

  <Vector3d
    title={
      <>
        Vektor Posisi <InlineMath math="P(3, 4, 5)" />
      </>
    }
    description={
      <>
        Titik asal <InlineMath math="O(0, 0, 0)" /> menuju titik{" "}
        <InlineMath math="P(3, 4, 5)" />.
      </>
    }
    vectors={[
      {
        from: [0, 0, 0],
        to: [3, 4, 5],
        color: getColor("PURPLE"),
        label: "P(3, 4, 5)",
      },
    ]}
  />

## Beda Vektor dan Koordinat

Berbeda dengan koordinat yang menyatakan _posisi_ suatu titik, **vektor** adalah besaran yang memiliki **besar (panjang)** dan **arah**. Bayangkan seekor lalat yang terbang dari titik <InlineMath math="P(3, 4)" /> ke titik <InlineMath math="Q(-2, -8)" />. Perpindahan lalat tersebut dapat digambarkan sebagai sebuah vektor.

- **Vektor Posisi:** Vektor yang dimulai dari titik asal <InlineMath math="O(0, 0)" /> ke suatu titik <InlineMath math="P(x, y)" />. Vektor posisi <InlineMath math="P" /> ditulis sebagai <InlineMath math="\overrightarrow{OP}" />.

  Contohnya: <InlineMath math="\overrightarrow{OP} = (3, 4)" />.

- **Vektor Perpindahan (atau Vektor Bebas):** Vektor yang menghubungkan dua titik sembarang, misalnya dari titik <InlineMath math="P(x_P, y_P)" /> ke titik <InlineMath math="Q(x_Q, y_Q)" />. Vektor ini ditulis sebagai <InlineMath math="\overrightarrow{PQ}" />. Vektor ini tidak harus dimulai dari titik asal.

  Contohnya: vektor perpindahan dari <InlineMath math="P(3, 4)" /> ke <InlineMath math="Q(-2, -8)" /> atau dari <InlineMath math="Q(-2, -8)" /> ke <InlineMath math="R(1, 3)" />.

  <VectorChart
    title="Vektor Perpindahan"
    description="Vektor perpindahan dari P ke Q atau dari Q ke R"
    vectors={[
      {
        id: "QR",
        name: "QR",
        points: [
          { x: -2, y: -8 },
          { x: 1, y: 3 },
        ],
      },
      {
        id: "PQ",
        name: "PQ",
        points: [
          { x: 3, y: 4 },
          { x: -2, y: -8 },
        ],
        direction: "backward",
      },
    ]}
  />

## Cara Penulisan Vektor

Vektor dapat ditulis dalam beberapa cara:

- **Vektor Baris:** Menggunakan tanda kurung biasa.

  Contoh: <InlineMath math="\overrightarrow{OP} = (3, 4)" />.

- **Vektor Kolom:** Menggunakan tanda kurung siku atau kurung besar.

  Contoh: <InlineMath math="\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}" />.

- **Vektor Satuan (untuk 3D):** Menggunakan kombinasi vektor satuan <InlineMath math="\mathbf{i}" />, <InlineMath math="\mathbf{j}" />, dan <InlineMath math="\mathbf{k}" /> yang searah dengan sumbu <InlineMath math="x" />, <InlineMath math="y" />, dan <InlineMath math="z" />.

  Contoh: sebuah vektor <InlineMath math="\overrightarrow{AB}" /> dapat ditulis sebagai <InlineMath math="\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 4\mathbf{k}" />, artinya vektor <InlineMath math="\overrightarrow{AB}" /> memiliki komponen <InlineMath math="1" /> pada arah <InlineMath math="x" />, <InlineMath math="-3" /> pada arah <InlineMath math="y" />, dan <InlineMath math="-4" /> pada arah <InlineMath math="z" />.

## Mengapa Sistem Koordinat Penting?

Coba bayangkan aplikasi peta di ponselmu. Aplikasi tersebut mengandalkan sistem koordinat untuk:

1.  Menentukan lokasimu saat ini.
2.  Mencari lokasi tujuanmu.
3.  Menghitung rute terpendek atau tercepat.
4.  Memberikan instruksi arah (belok kiri, belok kanan, lurus).

Tanpa sistem koordinat, mustahil bagi aplikasi untuk memahami posisi dan arah secara akurat. Setiap pergerakan, seperti pesawat yang mengubah ketinggian atau arah, perlu dilaporkan dan diproses menggunakan sistem koordinat dan konsep vektor.
