# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/circle/central-angle-and-inscribed-angle
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/circle/central-angle-and-inscribed-angle/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";
import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";

export const metadata = {
  title: "Sudut Pusat dan Sudut Keliling",
  description: "Pelajari sudut pusat dan keliling lingkaran. Pahami hubungan, teorema, dan cara menghitung dengan contoh soal lengkap dan pembuktian matematis.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/18/2025",
  subject: "Lingkaran",
};

## Pengertian Sudut Pusat

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran dengan titik sudut berada di pusat lingkaran. Kaki-kaki sudut pusat adalah jari-jari lingkaran yang menghubungkan pusat dengan titik-titik pada lingkaran.

<LineEquation
  title="Sudut Pusat"
  description="Sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran."
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 4 * Math.cos(angle),
          y: 4 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 4, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "O", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
        { text: "A", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "B", at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 1.2 * Math.cos(angle),
          y: 1.2 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "α", at: 22, offset: [0.3, 0.2, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 12]}
  showZAxis={false}
/>

Pada gambar di atas:

- Titik O adalah pusat lingkaran
- OA dan OB adalah jari-jari lingkaran
- <InlineMath math="\angle AOB" /> adalah sudut pusat
- Besar sudut pusat dilambangkan dengan <InlineMath math="\alpha" />

## Pengertian Sudut Keliling

Sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur dengan titik sudut berada pada lingkaran. Kaki-kaki sudut keliling adalah tali busur yang menghubungkan titik sudut dengan dua titik lain pada lingkaran.

<LineEquation
  title="Sudut Keliling"
  description="Sudut yang titik sudutnya berada pada lingkaran."
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 4 * Math.cos(angle),
          y: 4 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 4, y: 0, z: 0 },
        { x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "A", at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
        { text: "C", at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] },
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
        { x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "B", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
    },
    {
      points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [0, -0.5, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 12]}
  showZAxis={false}
/>

Pada gambar di atas:

- Titik C berada pada lingkaran
- CA dan CB adalah tali busur
- <InlineMath math="\angle ACB" /> adalah sudut keliling
- Titik O adalah pusat lingkaran

## Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki hubungan khusus. Mari kita perhatikan hubungan tersebut.

<LineEquation
  title="Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling"
  description="Sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama."
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 4 * Math.cos(angle),
          y: 4 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 4, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "O", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
        { text: "A", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "B", at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 4, y: 0, z: 0 },
        { x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
      ],
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "C", at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
        { x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
      ],
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 4 * Math.cos(angle),
          y: 4 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "Busur AB", at: 22, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 1.2 * Math.cos(angle),
          y: 1.2 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PINK"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "α", at: 22, offset: [0.3, 0.2, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 12]}
  showZAxis={false}
/>

### Teorema Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

<BlockMath math="\text{Sudut keliling} = \frac{1}{2} \times \text{Sudut pusat}" />

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka:

- Besar sudut keliling = <InlineMath math="\frac{1}{2}" /> × besar sudut pusat
- Besar sudut pusat = 2 × besar sudut keliling

## Pembuktian Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Mari kita buktikan hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling dengan membuat garis bantu.

<LineEquation
  title="Pembuktian dengan Garis Bantu"
  description="Membuat garis bantu dari C melalui O untuk membuktikan hubungan."
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 4 * Math.cos(angle),
          y: 4 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 4, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "O", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
        { text: "A", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "B", at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 4, y: 0, z: 0 },
        { x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
      ],
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "C", at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
        { x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
      ],
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
        { x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
      ],
      color: getColor("TEAL"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "D", at: 1, offset: [0.8, 0.5, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 12]}
  showZAxis={false}
/>

**Langkah pembuktian:**

1. Buat garis CD yang melalui titik O (pusat lingkaran)
2. Perhatikan bahwa OA = OB = OC = OD (jari-jari lingkaran)
3. Segitiga AOC dan BOC adalah segitiga sama kaki
4. Misalkan <InlineMath math="\angle ACO = x" /> dan <InlineMath math="\angle BCO = y" />
5. Karena segitiga sama kaki: <InlineMath math="\angle CAO = x" /> dan <InlineMath math="\angle CBO = y" />
6. Sudut luar segitiga: <InlineMath math="\angle AOD = 2x" /> dan <InlineMath math="\angle BOD = 2y" />
7. Maka: <InlineMath math="\angle AOB = 2x + 2y = 2(x + y) = 2 \times \angle ACB" />

## Sifat-sifat Sudut Pusat dan Sudut Keliling

1. **Sudut Keliling yang Menghadap Diameter**

   Setiap sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya 90° (sudut siku-siku).

   <LineEquation
     title="Sudut Keliling Menghadap Diameter"
     description="Sudut keliling yang menghadap diameter selalu 90°."
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
           const angle = (i * Math.PI) / 180;
           return {
             x: 4 * Math.cos(angle),
             y: 4 * Math.sin(angle),
             z: 0,
           };
         }),
         color: getColor("PURPLE"),
         showPoints: false,
       },
       {
         points: [
           { x: -4, y: 0, z: 0 },
           { x: 4, y: 0, z: 0 },
         ],
         color: getColor("ORANGE"),
         showPoints: true,
         labels: [
           { text: "A", at: 0, offset: [-0.5, 0, 0] },
           { text: "B", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
         ],
       },
       {
         points: [
           { x: -4, y: 0, z: 0 },
           { x: 0, y: 4, z: 0 },
         ],
         color: getColor("CYAN"),
         showPoints: true,
         labels: [{ text: "C", at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
       },
       {
         points: [
           { x: 4, y: 0, z: 0 },
           { x: 0, y: 4, z: 0 },
         ],
         color: getColor("CYAN"),
         showPoints: false,
       },
       {
         points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
         color: getColor("AMBER"),
         showPoints: true,
         labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [0, -0.5, 0] }],
       },
       {
         points: (() => {
           const C = { x: 0, y: 4 };
           const A = { x: -4, y: 0 };
           const B = { x: 4, y: 0 };
           
           // Calculate angle ACB at point C (should be 90°)
           const angleCA = Math.atan2(A.y - C.y, A.x - C.x);
           const angleCB = Math.atan2(B.y - C.y, B.x - C.x);
           
           return Array.from({ length: 16 }, (_, i) => {
             const t = i / 15;
             const angle = angleCA + t * (angleCB - angleCA);
             return {
               x: C.x + 0.8 * Math.cos(angle),
               y: C.y + 0.8 * Math.sin(angle),
               z: 0,
             };
           });
         })(),
         color: getColor("PINK"),
         showPoints: false,
         labels: [{ text: "90°", at: 7, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
       },
     ]}
     cameraPosition={[0, 0, 12]}
     showZAxis={false}
   />

2. **Sudut-sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama**

   <InlineMath math="\angle ACB = \angle ADB" />, kedua sudut menghadap busur AB
   yang sama.

   <LineEquation
     title="Sudut Keliling Menghadap Busur yang Sama"
     description="Sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama."
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
           const angle = (i * Math.PI) / 180;
           return {
             x: 4 * Math.cos(angle),
             y: 4 * Math.sin(angle),
             z: 0,
           };
         }),
         color: getColor("PURPLE"),
         showPoints: false,
       },
       {
         points: [
           { x: 4, y: 0, z: 0 },
           { x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
         ],
         color: getColor("ORANGE"),
         showPoints: true,
         labels: [
           { text: "A", at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
           { text: "B", at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] },
         ],
       },
       {
         points: [
           { x: 4, y: 0, z: 0 },
           { x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
         ],
         color: getColor("CYAN"),
         showPoints: true,
         labels: [{ text: "C", at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
       },
       {
         points: [
           { x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
           { x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
         ],
         color: getColor("CYAN"),
         showPoints: false,
       },
       {
         points: [
           { x: 4, y: 0, z: 0 },
           { x: 4 * Math.cos((3 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((3 * Math.PI) / 4), z: 0 },
         ],
         color: getColor("TEAL"),
         showPoints: true,
         labels: [{ text: "D", at: 1, offset: [-0.5, 0.3, 0] }],
       },
       {
         points: [
           { x: 4 * Math.cos(Math.PI / 4), y: 4 * Math.sin(Math.PI / 4), z: 0 },
           { x: 4 * Math.cos((3 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((3 * Math.PI) / 4), z: 0 },
         ],
         color: getColor("TEAL"),
         showPoints: false,
       },
       {
         points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
           const angle = (i * Math.PI) / 180;
           return {
             x: 4 * Math.cos(angle),
             y: 4 * Math.sin(angle),
             z: 0,
           };
         }),
         color: getColor("AMBER"),
         showPoints: false,
         labels: [{ text: "Busur AB", at: 22, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
       },
     ]}
     cameraPosition={[0, 0, 12]}
     showZAxis={false}
   />

## Menghitung Sudut Keliling

Diketahui sudut pusat AOB = 80°. Tentukan besar sudut keliling ACB yang menghadap busur yang sama!

<LineEquation
  title="Visualisasi"
  description="Sudut pusat AOB = 80°, tentukan sudut keliling ACB."
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 4 * Math.cos(angle),
          y: 4 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 4, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "O", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
        { text: "A", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 4 * Math.cos((80 * Math.PI) / 180), y: 4 * Math.sin((80 * Math.PI) / 180), z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "B", at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 4, y: 0, z: 0 },
        { x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
      ],
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "C", at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 4 * Math.cos((80 * Math.PI) / 180), y: 4 * Math.sin((80 * Math.PI) / 180), z: 0 },
        { x: 4 * Math.cos((5 * Math.PI) / 4), y: 4 * Math.sin((5 * Math.PI) / 4), z: 0 },
      ],
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 18 }, (_, i) => {
        const angle = ((i * 80) / 17) * Math.PI / 180;
        return {
          x: 1.2 * Math.cos(angle),
          y: 1.2 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PINK"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "80°", at: 10, offset: [0.5, 0.3, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 12]}
  showZAxis={false}
/>

**Penyelesaian:**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB" />
  <BlockMath math="\angle ACB = \frac{1}{2} \times 80°" />
  <BlockMath math="\angle ACB = 40°" />
</div>

## Menghitung Sudut Pusat

Diketahui sudut keliling ACB = 35°. Tentukan besar sudut pusat AOB yang menghadap busur yang sama!

**Penyelesaian:**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\angle AOB = 2 \times \angle ACB" />
  <BlockMath math="\angle AOB = 2 \times 35°" />
  <BlockMath math="\angle AOB = 70°" />
</div>

## Latihan Soal

1. Jika sudut pusat suatu lingkaran adalah 120°, berapakah besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama?

2. Sudut keliling ABC = 45°. Tentukan besar sudut pusat AOB!

3. Pada suatu lingkaran, sudut keliling PQR menghadap diameter. Berapakah besar sudut PQR?

4. Dua sudut keliling menghadap busur yang sama. Jika salah satu sudut besarnya 25°, tentukan besar sudut yang lain!

### Kunci Jawaban

1. Sudut keliling = <InlineMath math="\frac{1}{2} \times 120° = 60°" />

2. Sudut pusat AOB = <InlineMath math="2 \times 45° = 90°" />

3. Sudut PQR = 90° (sudut keliling yang menghadap diameter selalu 90°)

4. Sudut yang lain = 25° (sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama besarnya sama)
