# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/circle/circle-and-arc-circle
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/circle/circle-and-arc-circle/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Lingkaran dan Busur Lingkaran",
  description: "Pelajari dasar lingkaran, jenis busur, dan perhitungan juring. Kuasai persamaan, unsur-unsur, serta menyelesaikan soal panjang busur lengkap.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/18/2025",
  subject: "Lingkaran",
};

import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";
import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";

## Pengertian Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang datar yang memiliki jarak yang sama terhadap suatu titik tetap. Titik tetap tersebut disebut **pusat lingkaran**, sedangkan jarak yang sama tersebut disebut **jari-jari**.

Secara matematis, lingkaran dengan pusat <InlineMath math="O(a,b)" /> dan jari-jari <InlineMath math="r" /> dapat dinyatakan dengan persamaan:

<BlockMath math="(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2" />

### Unsur-unsur Lingkaran

Bagaimana visualisasi dari persamaan lingkaran tersebut?

<LineEquation
  title="Unsur-unsur Lingkaran"
  description="Visualisasi pusat, jari-jari, diameter, dan tali busur lingkaran."
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 3 * Math.cos(angle),
          y: 3 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "Lingkaran", at: 0, offset: [1.5, -1, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "O", at: 0, offset: [0, -0.5, 0] },
        { text: "r", at: 0, offset: [1.5, 0.3, 0] },
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: -3, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("CYAN"),
      labels: [{ text: "diameter", at: 0, offset: [0, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 2.12, y: 2.12, z: 0 },
        { x: -2.12, y: 2.12, z: 0 },
      ],
      color: getColor("AMBER"),
      labels: [{ text: "tali busur", at: 0, offset: [0, 0.5, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 10]}
  showZAxis={false}
/>

**Unsur-unsur penting lingkaran:**

- **Pusat lingkaran (O)**: Titik tetap yang menjadi acuan lingkaran
- **Jari-jari (r)**: Jarak dari pusat ke setiap titik pada lingkaran
- **Diameter (d)**: Tali busur yang melalui pusat lingkaran, <InlineMath math="d = 2r" />
- **Tali busur**: Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran

## Busur Lingkaran

Busur lingkaran adalah bagian dari keliling lingkaran yang dibatasi oleh dua titik pada lingkaran. Busur dilambangkan dengan simbol lengkung di atas huruf, misalnya <InlineMath math="\overset{\frown}{AB}" />.

### Jenis-jenis Busur

<LineEquation
  title="Busur Minor dan Busur Mayor"
  description="Visualisasi perbedaan busur minor dan busur mayor."
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 91 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 3 * Math.cos(angle),
          y: 3 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("VIOLET"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "Busur minor", at: 45, offset: [1, 1, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 3, z: 0 },
        { x: 3, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("TEAL"),
      showPoints: true,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 271 }, (_, i) => {
        const angle = ((i + 90) * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 3 * Math.cos(angle),
          y: 3 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("TEAL"),
      showPoints: false,
      labels: [
        {
          text: "Busur mayor",
          at: 135,
          offset: [-1, -1, 0],
        },
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 0, y: 3, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 10]}
  showZAxis={false}
/>

**Jenis busur berdasarkan panjangnya:**

- **Busur minor**: Busur yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran
- **Busur mayor**: Busur yang panjangnya lebih dari setengah keliling lingkaran
- **Setengah lingkaran**: Busur yang panjangnya tepat setengah keliling lingkaran

## Sudut Pusat dan Sudut Keliling

### Sudut Pusat

Sudut pusat adalah sudut yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran dan kaki-kaki sudutnya adalah jari-jari lingkaran.

<LineEquation
  title={
    <>
      Sudut Pusat <InlineMath math="\angle AOB" />
    </>
  }
  description="Sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari dengan titik sudut di pusat lingkaran."
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 3 * Math.cos(angle),
          y: 3 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "O", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
        { text: "A", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 2.12, y: 2.12, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "B", at: 1, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 3 * Math.cos(angle),
          y: 3 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "Busur AB", at: 22, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 0.8 * Math.cos(angle),
          y: 0.8 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "α", at: 22, offset: [0.3, 0.2, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 10]}
  showZAxis={false}
/>

**Sifat sudut pusat:**

- Besar sudut pusat sama dengan besar busur yang menghadapnya
- Jika sudut pusat = <InlineMath math="\alpha" />, maka busur = <InlineMath math="\alpha" />

### Sudut Keliling

Sudut keliling adalah sudut yang titik sudutnya berada pada lingkaran dan kaki-kaki sudutnya adalah tali busur.

<LineEquation
  title={
    <>
      Sudut Keliling <InlineMath math="\angle ACB" />
    </>
  }
  description="Sudut yang titik sudutnya pada lingkaran dan menghadap busur yang sama."
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 3 * Math.cos(angle),
          y: 3 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 3, y: 0, z: 0 },
        { x: -2.12, y: -2.12, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "A", at: 0, offset: [0.5, 0, 0] },
        { text: "C", at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] },
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: 2.12, y: 2.12, z: 0 },
        { x: -2.12, y: -2.12, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "B", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 46 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 3 * Math.cos(angle),
          y: 3 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "Busur AB", at: 22, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 2.12, y: 2.12, z: 0 },
      ],
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "O", at: 0, offset: [1, 0.5, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 10]}
  showZAxis={false}
/>

## Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\text{Sudut keliling} = \frac{1}{2} \times \text{Sudut pusat}" />
  <BlockMath math="\angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB" />
</div>

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka besar sudut keliling adalah setengah dari besar sudut pusat.

**Contoh penerapan:**

<LineEquation
  title="Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling"
  description={
    <>
      Jika <InlineMath math="\angle AOB = 80°" />, maka{" "}
      <InlineMath math="\angle ACB = 40°" />.
    </>
  }
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 3 * Math.cos(angle),
          y: 3 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "O", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
        { text: "A", at: 1, offset: [0.5, 0, 0] },
      ],
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 0.78, y: 2.9, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "B", at: 1, offset: [0, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 3, y: 0, z: 0 },
        { x: -2.12, y: -2.12, z: 0 },
      ],
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "C", at: 1, offset: [-0.5, -0.3, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 0.78, y: 2.9, z: 0 },
        { x: -2.12, y: -2.12, z: 0 },
      ],
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 81 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 3 * Math.cos(angle),
          y: 3 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 20 }, (_, i) => {
        const angle = (i * 4 * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 0.8 * Math.cos(angle),
          y: 0.8 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PINK"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "80°", at: 10, offset: [0.5, 0.2, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 10]}
  showZAxis={false}
/>

## Panjang Busur dan Luas Juring

### Panjang Busur

Panjang busur berbanding lurus dengan besar sudut pusat yang menghadapnya.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\text{Panjang busur} = \frac{\alpha}{360°} \times 2\pi r" />
  <BlockMath math="l = \frac{\alpha}{360°} \times 2\pi r" />
</div>

Di mana:

- <InlineMath math="l" /> = panjang busur
- <InlineMath math="\alpha" /> = besar sudut pusat (dalam derajat)
- <InlineMath math="r" /> = jari-jari lingkaran

### Luas Juring

Juring adalah daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur lingkaran.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\text{Luas juring} = \frac{\alpha}{360°} \times \pi r^2" />
  <BlockMath math="L = \frac{\alpha}{360°} \times \pi r^2" />
</div>

Kita dapat memvisualisasikan luas juring dengan menggunakan persamaan di atas.

<LineEquation
  title="Juring Lingkaran"
  description="Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan busur."
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 3 * Math.cos(angle),
          y: 3 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 1.5, y: 2.6, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 3 * Math.cos(angle),
          y: 3 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        ...Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
          const angle = (i * Math.PI) / 180;
          return {
            x: 3 * Math.cos(angle),
            y: 3 * Math.sin(angle),
            z: 0,
          };
        }),
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "Juring", at: 30, offset: [0, 0, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 10]}
  showZAxis={false}
/>

## Menghitung Panjang Busur dan Luas Juring

Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 14 cm. Jika sudut pusat yang menghadap suatu busur adalah 90°, tentukan:

1. Panjang busur
2. Luas juring

**Penyelesaian:**

Diketahui: <InlineMath math="r = 14" /> cm, <InlineMath math="\alpha = 90°" />

1. Panjang busur:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="l = \frac{\alpha}{360°} \times 2\pi r" />
     <BlockMath math="l = \frac{90°}{360°} \times 2\pi \times 14" />
     <BlockMath math="l = \frac{1}{4} \times 28\pi" />
     <BlockMath math="l = 7\pi \text{ cm} \approx 21,99 \text{ cm}" />
   </div>

2. Luas juring:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="L = \frac{\alpha}{360°} \times \pi r^2" />
     <BlockMath math="L = \frac{90°}{360°} \times \pi \times 14^2" />
     <BlockMath math="L = \frac{1}{4} \times 196\pi" />
     <BlockMath math="L = 49\pi \text{ cm}^2 \approx 153,94 \text{ cm}^2" />
   </div>

## Latihan Soal

1. Sebuah lingkaran memiliki diameter 20 cm. Jika sudut keliling yang menghadap suatu busur adalah 30°, tentukan besar sudut pusat yang menghadap busur yang sama!

2. Pada lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 21 cm, terdapat busur AB dengan sudut pusat 120°. Hitunglah:

   - Panjang busur AB
   - Luas juring AOB

3. Dua buah sudut keliling menghadap busur yang sama. Jika salah satu sudut keliling besarnya 45°, tentukan besar sudut keliling yang lain!

### Kunci Jawaban

1. Sudut pusat = 2 × sudut keliling = 2 × 30° = 60°

2. Diketahui: r = 21 cm, α = 120°

   - Panjang busur AB = <InlineMath math="\frac{120°}{360°} \times 2\pi \times 21 = \frac{1}{3} \times 42\pi = 14\pi" /> cm ≈ 43,98 cm
   - Luas juring AOB = <InlineMath math="\frac{120°}{360°} \times \pi \times 21^2 = \frac{1}{3} \times 441\pi = 147\pi" /> cm² ≈ 461,81 cm²

3. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar yang sama, jadi sudut keliling yang lain = 45°