# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/addition-complex-numbers
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/addition-complex-numbers/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
  title: "Penjumlahan Bilangan Kompleks",
  description: "Pelajari cara menjumlahkan bilangan kompleks dengan mudah. Pahami penjumlahan bagian real dan imajiner dengan visualisasi geometris dan contoh soal.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/01/2025",
  subject: "Bilangan Kompleks",
};

## Penjumlahan Dua Bilangan Kompleks

Bagaimana cara menjumlahkan dua bilangan kompleks?

Misalkan kita punya dua bilangan kompleks:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="z_1 = x_1 + iy_1" />
  <BlockMath math="z_2 = x_2 + iy_2" />
</div>

Untuk menjumlahkannya (<InlineMath math="z_1 + z_2" />), kita tinggal jumlahkan bagian real dengan bagian real, dan bagian imajiner dengan bagian imajiner.

<BlockMath math="z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + i(y_1 + y_2)" />

### Contoh Penjumlahan

Misal <InlineMath math="z_1 = 2 + 3i" /> dan <InlineMath math="z_2 = 1 - i" />.

- Bagian real <InlineMath math="z_1" /> adalah 2, bagian real <InlineMath math="z_2" /> adalah 1.
- Bagian imajiner <InlineMath math="z_1" /> adalah 3, bagian imajiner <InlineMath math="z_2" /> adalah -1.

Maka penjumlahannya:

<BlockMath math="z_1 + z_2 = (2 + 1) + i(3 + (-1)) = 3 + i(2) = 3 + 2i" />

### Visualisasi Penjumlahan

Dengan aturan jajar genjang, penjumlahan bilangan kompleks bisa kita lihat secara geometris di bidang kompleks. Kalau kita gambarkan <InlineMath math="z_1" /> dan <InlineMath math="z_2" /> sebagai vektor (panah) dari titik asal (0,0), maka hasil penjumlahannya, <InlineMath math="z_1 + z_2" />, adalah vektor diagonal dari jajar genjang yang dibentuk oleh <InlineMath math="z_1" /> dan <InlineMath math="z_2" />.

<LineEquation
  title="Penjumlahan Bilangan Kompleks secara Geometris"
  description={
    <>
      Visualisasi penjumlahan <InlineMath math="z_1 = 2+3i" /> dan{" "}
      <InlineMath math="z_2 = 1-i" /> menggunakan aturan jajar genjang.
    </>
  }
  cameraPosition={[0, 0, 12]}
  showZAxis={false}
  data={[
    // Vektor z1
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 2, y: 3, z: 0 },
      ],
      color: getColor("SKY"),
      labels: [{ text: "z₁ = 2 + 3i", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
      cone: { position: "end" },
    },
    // Vektor z2
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 1, y: -1, z: 0 },
      ],
      color: getColor("EMERALD"),
      labels: [{ text: "z₂ = 1 - i", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
      cone: { position: "end" },
    },
    // Vektor hasil z1 + z2
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: 2, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ROSE"),
      labels: [{ text: "z₁ + z₂ = 3 + 2i", at: 1, offset: [2, -1, 0] }],
      cone: { position: "end" },
    },
    // Garis bantu jajar genjang (dari ujung z1 ke ujung z1+z2)
    {
      points: [
        { x: 2, y: 3, z: 0 },
        { x: 3, y: 2, z: 0 },
      ],
      color: getColor("EMERALD"),
    },
    // Garis bantu jajar genjang (dari ujung z2 ke ujung z1+z2)
    {
      points: [
        { x: 1, y: -1, z: 0 },
        { x: 3, y: 2, z: 0 },
      ],
      color: getColor("SKY"),
    },
  ]}
/>

## Operasi Terkait

Selain penjumlahan, ada operasi lain yang mirip cara kerjanya:

### Perkalian Skalar

Mengalikan bilangan kompleks <InlineMath math="z = x + iy" /> dengan bilangan real (skalar) <InlineMath math="c" /> itu mudah. Tinggal kalikan <InlineMath math="c" /> ke bagian real dan bagian imajinernya.

<BlockMath math="cz = c(x + iy) = cx + i(cy)" />

Secara geometris, ini seperti memperpanjang atau memperpendek vektor <InlineMath math="z" /> sebesar faktor <InlineMath math="c" />. Kalau <InlineMath math="c" /> negatif, arah vektornya jadi berlawanan.

### Negatif dari Bilangan Kompleks

Negatif dari <InlineMath math="z = x + iy" /> adalah <InlineMath math="-z" />. Ini sama saja dengan perkalian skalar dengan <InlineMath math="c = -1" />.

<BlockMath math="-z = -(x + iy) = -x + i(-y) = -x - iy" />

Secara geometris, <InlineMath math="-z" /> adalah vektor dengan panjang yang sama dengan <InlineMath math="z" />, tapi arahnya berlawanan 180 derajat.

### Pengurangan Dua Bilangan Kompleks

Mengurangkan <InlineMath math="z_2" /> dari <InlineMath math="z_1" /> (<InlineMath math="z_1 - z_2" />) sama artinya dengan menjumlahkan <InlineMath math="z_1" /> dengan negatif dari <InlineMath math="z_2" /> (<InlineMath math="z_1 + (-z_2)" />).

<BlockMath math="z_1 - z_2 = z_1 + (-z_2) = (x_1 + (-x_2)) + i(y_1 + (-y_2)) = (x_1 - x_2) + i(y_1 - y_2)" />

Jadi, kita kurangkan bagian real dengan bagian real, dan bagian imajiner dengan bagian imajiner.

Secara geometris, <InlineMath math="z_1 - z_2" /> adalah vektor dari ujung <InlineMath math="z_2" /> ke ujung <InlineMath math="z_1" />.

### Contoh Operasi Gabungan

Misal kita punya:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="z_1 = 2 + \frac{1}{2}i" />
  <BlockMath math="z_2 = -3 + \sqrt{2}i" />
</div>

Mari hitung beberapa operasi:

1.  **<InlineMath math="2z_1" /> (Perkalian Skalar):**

    <BlockMath math="2z_1 = 2(2 + \frac{1}{2}i) = 2(2) + i(2 \times \frac{1}{2}) = 4 + i" />

2.  **<InlineMath math="z_1 + 3z_2" /> (Penjumlahan dan Perkalian Skalar):**

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="z_1 + 3z_2 = (2 + \frac{1}{2}i) + 3(-3 + \sqrt{2}i)" />
      <BlockMath math="= (2 + \frac{1}{2}i) + (3(-3) + i(3\sqrt{2}))" />
      <BlockMath math="= (2 + \frac{1}{2}i) + (-9 + 3\sqrt{2}i)" />
      <BlockMath math="= (2 - 9) + i(\frac{1}{2} + 3\sqrt{2})" />
      <BlockMath math="= -7 + i(\frac{1}{2} + 3\sqrt{2})" />
    </div>

3.  **<InlineMath math="2z_1 - z_2" /> (Pengurangan dan Perkalian Skalar):**
    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="2z_1 - z_2 = (4 + i) - (-3 + \sqrt{2}i)" />
      <BlockMath math="= (4 - (-3)) + i(1 - \sqrt{2})" />
      <BlockMath math="= (4 + 3) + i(1 - \sqrt{2})" />
      <BlockMath math="= 7 + i(1 - \sqrt{2})" />
    </div>

## Latihan

Jika <InlineMath math="z_1 = 1 + 2i" /> dan <InlineMath math="z_2 = 3 - i" />. Tentukan:

1.  <InlineMath math="z_1 + z_2" />
2.  <InlineMath math="z_1 - z_2" />
3.  Jika <InlineMath math="z_3 = z_1 + z_2" />, gambarkan <InlineMath math="z_1" />, <InlineMath math="z_2" />, dan <InlineMath math="z_3" /> pada bidang kompleks.

### Kunci Jawaban

1.  <InlineMath math="z_1 + z_2 = (1+3) + i(2+(-1)) = 4 + i" />
2.  <InlineMath math="z_1 - z_2 = (1-3) + i(2-(-1)) = -2 + i(3) = -2 + 3i" />
3.  Gambar visualisasi <InlineMath math="z_1" />, <InlineMath math="z_2" />, dan <InlineMath math="z_3 = z_1 + z_2" /> pada bidang kompleks menggunakan aturan jajar genjang:

    <LineEquation
      title="Penjumlahan Bilangan Kompleks"
      description={
        <>
          Visualisasi <InlineMath math="z_1" />, <InlineMath math="z_2" />, dan{" "}
          <InlineMath math="z_3 = z_1 + z_2" /> pada bidang kompleks menggunakan
          aturan jajar genjang.
        </>
      }
      cameraPosition={[0, 0, 12]}
      showZAxis={false}
      data={[
        {
          points: [
            { x: 0, y: 0, z: 0 },
            { x: 1, y: 2, z: 0 },
          ],
          color: getColor("SKY"),
          labels: [{ text: "z₁ = 1 + 2i", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
          cone: { position: "end" },
        },
        {
          points: [
            { x: 0, y: 0, z: 0 },
            { x: 3, y: -1, z: 0 },
          ],
          color: getColor("EMERALD"),
          labels: [{ text: "z₂ = 3 - i", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
          cone: { position: "end" },
        },
        {
          points: [
            { x: 0, y: 0, z: 0 },
            { x: 4, y: 1, z: 0 }, // z3 = z1 + z2
          ],
          color: getColor("ROSE"),
          labels: [{ text: "z₃ = 4 + i", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
          cone: { position: "end" },
        },
        // Garis bantu jajar genjang
        {
          points: [
            { x: 1, y: 2, z: 0 }, // ujung z1
            { x: 4, y: 1, z: 0 }, // ujung z3
          ],
          color: getColor("EMERALD"),
        },
        {
          points: [
            { x: 3, y: -1, z: 0 }, // ujung z2
            { x: 4, y: 1, z: 0 }, // ujung z3
          ],
          color: getColor("SKY"),
        },
      ]}
    />
