# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/complex-number-concept
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/complex-number-concept/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Konsep Bilangan Kompleks",
  description: "Temukan apa itu bilangan kompleks dan mengapa diperlukan. Pahami satuan imajiner i, bagian real vs imajiner, dan selesaikan akar negatif.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/01/2025",
  subject: "Bilangan Kompleks",
};

## Kebutuhan Bilangan Kompleks

Kamu pasti pernah mencoba mencari solusi persamaan kuadrat. Misalnya, persamaan <InlineMath math="x^2 - 1 = 0" />. Gampang kan? Kita bisa faktorkan jadi <InlineMath math="(x-1)(x+1) = 0" />, sehingga solusinya adalah <InlineMath math="x=1" /> atau <InlineMath math="x=-1" />. Keduanya adalah bilangan real.

Nah, bagaimana dengan persamaan <InlineMath math="x^2 + 1 = 0" />? Kalau kita coba cari solusinya di himpunan bilangan real, kita tidak akan menemukannya. Kenapa? Karena persamaan itu akan menghasilkan <InlineMath math="x^2 = -1" />. Tidak ada bilangan real yang jika dikuadratkan hasilnya negatif.

Untuk mengatasi masalah ini, matematikawan memperkenalkan jenis bilangan baru yang disebut **bilangan kompleks**.

## Bilangan Imajiner

Inti dari bilangan kompleks adalah adanya **satuan imajiner**, yang dilambangkan dengan <InlineMath math="i" />. Satuan imajiner ini didefinisikan sebagai akar kuadrat dari -1.

<BlockMath math="i = \sqrt{-1}" />

Dengan definisi ini, kita mendapatkan sifat penting:

<BlockMath math="i^2 = -1" />

Dengan adanya <InlineMath math="i" />, kita sekarang bisa mencari akar kuadrat dari bilangan negatif. Contohnya:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\sqrt{-4} = \sqrt{4 \times (-1)} = \sqrt{4} \times \sqrt{-1} = 2i" />
  <BlockMath math="\sqrt{-9} = \sqrt{9 \times (-1)} = \sqrt{9} \times \sqrt{-1} = 3i" />
</div>

Bilangan seperti <InlineMath math="2i" /> dan <InlineMath math="3i" /> disebut **bilangan imajiner murni**.

## Bentuk Umum

Bilangan kompleks secara umum ditulis dalam bentuk <InlineMath math="z = a + bi" />, di mana:

- <InlineMath math="a" /> adalah **bagian real** (bilangan real).
- <InlineMath math="b" /> adalah **bagian imajiner** (bilangan real).
- <InlineMath math="i" /> adalah satuan imajiner (<InlineMath math="\sqrt{-1}" />
  ).

Bagian <InlineMath math="bi" /> secara keseluruhan disebut bagian imajiner dari bilangan kompleks.

### Contoh

Mari kita lihat beberapa contoh dan tentukan bagian real serta imajinernya:

1.  **<InlineMath math="2 + 3i" />**

    - Bagian real (<InlineMath math="a" />): <InlineMath math="2" />
    - Bagian imajiner (<InlineMath math="b" />): <InlineMath math="3" />

2.  **<InlineMath math="5 - 4i" />**
    Ini sama dengan <InlineMath math="5 + (-4)i" />.

    - Bagian real (<InlineMath math="a" />): <InlineMath math="5" />
    - Bagian imajiner (<InlineMath math="b" />): <InlineMath math="-4" />

3.  **<InlineMath math="\sqrt{2}" />**
    Ini adalah bilangan real biasa, tapi bisa juga dianggap bilangan kompleks dengan bagian imajiner 0. Bentuknya <InlineMath math="\sqrt{2} + 0i" />.

    - Bagian real (<InlineMath math="a" />): <InlineMath math="\sqrt{2}" />
    - Bagian imajiner (<InlineMath math="b" />): <InlineMath math="0" />

4.  **<InlineMath math="-7i" />**
    Ini adalah bilangan imajiner murni. Bentuknya <InlineMath math="0 + (-7)i" />.
    - Bagian real (<InlineMath math="a" />): <InlineMath math="0" />
    - Bagian imajiner (<InlineMath math="b" />): <InlineMath math="-7" />

## Latihan

Tentukan bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks berikut:

1. <InlineMath math="2 + \sqrt{(-2)^2}" />
2. <InlineMath math="2 + i^2" />
3. <InlineMath math="1 + \sqrt{-9}" />
4. <InlineMath math="1 + 2i" />

### Kunci Jawaban

1. <InlineMath math="2 + \sqrt{(-2)^2} = 2 + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4" />.{" "}

   Ini bisa ditulis sebagai <InlineMath math="4 + 0i" />.

   - Bagian real: <InlineMath math="4" />
   - Bagian imajiner: <InlineMath math="0" />

2. <InlineMath math="2 + i^2 = 2 + (-1) = 1" />.{" "}

   Ini bisa ditulis sebagai <InlineMath math="1 + 0i" />.

   - Bagian real: <InlineMath math="1" />
   - Bagian imajiner: <InlineMath math="0" />

3. <InlineMath math="1 + \sqrt{-9} = 1 + \sqrt{9 \times (-1)} = 1 + 3i" />.{" "}

   Ini bisa ditulis sebagai <InlineMath math="1 + 3i" />.

   - Bagian real: <InlineMath math="1" />
   - Bagian imajiner: <InlineMath math="3" />

4. <InlineMath math="1 + 2i" />.

   Ini bisa ditulis sebagai <InlineMath math="1 + 2i" />.

   - Bagian real: <InlineMath math="1" />
   - Bagian imajiner: <InlineMath math="2" />
