# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/complex-number-form
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/complex-number-form/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
  title: "Bentuk Bilangan Kompleks",
  description: "Kuasai bentuk Kartesius, polar, dan eksponen bilangan kompleks. Pelajari konversi antar representasi dengan formula Euler dan contoh lengkap.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/01/2025",
  subject: "Bilangan Kompleks",
};

## Bentuk Kartesius

Bilangan kompleks itu bentuknya <InlineMath math="z = x + iy" />, di mana <InlineMath math="x" /> itu bagian real dan <InlineMath math="y" /> itu bagian imajiner. Nah, bentuk <InlineMath math="z = x + iy" /> ini disebut **bentuk Kartesius** atau bentuk persegi panjang.

<BlockMath math="z = x + iy" />

- <InlineMath math="x = \text{Re}(z)" /> (Bagian Real)
- <InlineMath math="y = \text{Im}(z)" /> (Bagian Imajiner)

Kita juga bisa melihat bilangan kompleks <InlineMath math="z = x + iy" /> sebagai pasangan terurut <InlineMath math="(x, y)" /> pada bidang koordinat. Bidang ini spesial lho, namanya **bidang kompleks** atau diagram Argand.

- Sumbu horizontal (sumbu-x) merepresentasikan bagian **real**.
- Sumbu vertikal (sumbu-y) merepresentasikan bagian **imajiner**.

### Visualisasi pada Bidang Kompleks

Kita coba gambarkan beberapa bilangan kompleks di bidang kompleks. Setiap bilangan <InlineMath math="z = x + iy" /> digambarkan sebagai titik <InlineMath math="(x, y)" /> dan biasanya direpresentasikan sebagai vektor (panah) dari titik asal (0,0) ke titik tersebut.

<LineEquation
  title="Bilangan Kompleks di Bidang Kompleks"
  description="Visualisasi beberapa bilangan kompleks sebagai titik dan vektor pada bidang kompleks."
  cameraPosition={[0, 0, 10]}
  showZAxis={false}
  data={[
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: 2, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ROSE"),
      labels: [{ text: "z₁ = 3 + 2i", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: -1, y: -1, z: 0 },
      ],
      color: getColor("EMERALD"),
      labels: [{ text: "z₂ = -1 - i", at: 1, offset: [-1, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 2, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("VIOLET"),
      labels: [{ text: "z₃ = 2", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 0, y: 1, z: 0 },
      ],
      color: getColor("AMBER"),
      labels: [{ text: "z₄ = i", at: 1, offset: [-1, 0.5, 0] }],
    },
  ]}
/>

## Bentuk Polar (Kutub)

Selain Kartesius, ada cara lain buat menyatakan bilangan kompleks, yaitu **bentuk polar** atau bentuk kutub. Bentuk ini menggunakan:

1.  **Modulus (<InlineMath math="r" />):** Jarak dari titik asal (0,0) ke titik <InlineMath math="(x, y)" /> di bidang kompleks. Nilainya selalu non-negatif.
2.  **Argumen (<InlineMath math="\theta" />):** Sudut yang dibentuk oleh garis dari titik asal ke titik <InlineMath math="(x, y)" /> dengan sumbu real positif. Sudut ini biasanya diukur dalam radian atau derajat.

Hubungan antara bentuk Kartesius (<InlineMath math="x, y" />) dan bentuk Polar (<InlineMath math="r, \theta" />) bisa kita lihat dari trigonometri dasar:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x = r \cos \theta" />
  <BlockMath math="y = r \sin \theta" />
</div>

Dari sini, kita bisa cari <InlineMath math="r" /> dan <InlineMath math="\theta" /> jika <InlineMath math="x" /> dan <InlineMath math="y" /> diketahui:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}" />
  <BlockMath math="\tan \theta = \frac{y}{x}" />
</div>

Saat mencari <InlineMath math="\theta" /> dari <InlineMath math="\tan \theta" />, perhatikan kuadran tempat titik <InlineMath math="(x, y)" /> berada untuk menentukan sudut yang tepat.

Dengan substitusi <InlineMath math="x" /> dan <InlineMath math="y" /> ke bentuk Kartesius, kita dapatkan **bentuk polar**:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="z = x + iy = (r \cos \theta) + i(r \sin \theta)" />
  <BlockMath math="z = r (\cos \theta + i \sin \theta)" />
</div>

Kadang, bentuk <InlineMath math="(\cos \theta + i \sin \theta)" /> disingkat jadi <InlineMath math="\text{cis } \theta" />.

<BlockMath math="z = r \text{ cis } \theta" />

### Contoh Konversi ke Bentuk Polar

Misal kita punya <InlineMath math="z = 1 + i" />.

- Bagian real <InlineMath math="x = 1" />.
- Bagian imajiner <InlineMath math="y = 1" />.

Cari <InlineMath math="r" />:

<BlockMath math="r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}" />

Cari <InlineMath math="\theta" />:

<BlockMath math="\tan \theta = \frac{1}{1} = 1" />

Karena <InlineMath math="x" /> dan <InlineMath math="y" /> positif, titik <InlineMath math="(1, 1)" /> ada
di kuadran <InlineMath math="I" />. Sudut yang <InlineMath math="\tan" />-nya 1 di kuadran <InlineMath math="I" /> adalah <InlineMath math="45^\circ" /> atau <InlineMath math="\pi/4" /> radian.

Jadi, bentuk polarnya:

<BlockMath math="z = \sqrt{2} (\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ)" />

### Latihan Bentuk Polar

Nyatakan bilangan kompleks berikut dalam bentuk polar:

1.  <InlineMath math="z = 1 + i\sqrt{3}" />
2.  <InlineMath math="z = -i" />

**Kunci Jawaban:**

1.  Untuk <InlineMath math="z = 1 + i\sqrt{3}" />:

    - Identifikasi <InlineMath math="x = 1" /> dan <InlineMath math="y = \sqrt{3}" />.
    - Hitung modulus <InlineMath math="r" />:

      <BlockMath math="r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2" />

    - Hitung argumen <InlineMath math="\theta" />:

      <BlockMath math="\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}" />

      Karena <InlineMath math="x" /> dan <InlineMath math="y" /> positif, titik <InlineMath math="(1, \sqrt{3})" /> ada
      di kuadran <InlineMath math="I" />, jadi <InlineMath math="\theta = 60^\circ" />.

    - Bentuk Polar:

      <BlockMath math="z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)" />

2.  Untuk <InlineMath math="z = -i" />:

    - Identifikasi <InlineMath math="x = 0" /> dan <InlineMath math="y = -1" />.
    - Hitung modulus <InlineMath math="r" />:

      <BlockMath math="r = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1" />

    - Tentukan argumen <InlineMath math="\theta" />:

      Titik <InlineMath math="(0, -1)" /> berada pada sumbu imajiner negatif. Sudutnya adalah <InlineMath math="\theta = 270^\circ" /> atau bisa juga ditulis <InlineMath math="\theta = -90^\circ" />.

    - Bentuk Polar (pilih salah satu sudut):

      <BlockMath math="z = 1(\cos 270^\circ + i \sin 270^\circ)" />

      atau

      <BlockMath math="z = 1(\cos (-90^\circ) + i \sin (-90^\circ))" />

## Bentuk Eksponen

Ada satu lagi bentuk penting, yaitu **bentuk eksponen**. Bentuk ini berasal dari **Formula Euler** yang ajaib:

<BlockMath math="e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta" />

Di sini, <InlineMath math="e \approx 2.71828..." /> adalah bilangan Euler (basis logaritma natural).

Kalau kita substitusi Formula Euler ke bentuk polar <InlineMath math="z = r(\cos \theta + i \sin \theta)" />, kita dapatkan **bentuk eksponen**:

<BlockMath math="z = r e^{i\theta}" />

Bentuk ini sangat berguna dalam perkalian dan pembagian bilangan kompleks.

### Contoh Konversi ke Bentuk Eksponen

Ambil contoh sebelumnya:

1.  Untuk <InlineMath math="z = 1 + i" />, kita sudah punya bentuk polar <InlineMath math="\sqrt{2}(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ)" />.

    - Modulus <InlineMath math="r = \sqrt{2}" />.
    - Argumen <InlineMath math="\theta = 45^\circ = \pi/4" /> radian.
    - Bentuk Eksponen:

      <BlockMath math="z = r e^{i\theta} = \sqrt{2} e^{i \pi/4}" />

2.  Untuk <InlineMath math="z = \sqrt{2}(\cos 315^\circ + i \sin 315^\circ)" />:

    - Modulus <InlineMath math="r = \sqrt{2}" />.
    - Argumen <InlineMath math="\theta = 315^\circ" />. Kita ubah ke radian:

      <BlockMath math="315^\circ = 315 \times \frac{\pi}{180} = \frac{7 \times 45 \times \pi}{4 \times 45} = \frac{7\pi}{4}" />

      Atau bisa juga pakai sudut negatif <InlineMath math="315^\circ - 360^\circ = -45^\circ = -\pi/4" /> radian.

    - Bentuk Eksponen (pilih salah satu sudut):

      <BlockMath math="z = \sqrt{2} e^{i 7\pi/4}" />

      atau

      <BlockMath math="z = \sqrt{2} e^{-i \pi/4}" />

### Latihan Bentuk Eksponen

Nyatakan bilangan kompleks berikut dalam bentuk eksponen (gunakan sudut radian):

1.  <InlineMath math="z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)" />
2.  <InlineMath math="z = \cos 15^\circ + i \sin 15^\circ" />

**Kunci Jawaban:**

1.  Untuk <InlineMath math="z = 2(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)" />:

    - Modulus <InlineMath math="r = 2" />.
    - Argumen <InlineMath math="\theta = 60^\circ" />. Ubah ke radian:

      <BlockMath math="\theta = 60^\circ = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}" />

    - Bentuk Eksponen:

      <BlockMath math="z = 2 e^{i \pi/3}" />

2.  Untuk <InlineMath math="z = \cos 15^\circ + i \sin 15^\circ" />:

    - Modulus <InlineMath math="r = 1" /> (karena tidak ada koefisien di depan <InlineMath math="\cos" /> dan <InlineMath math="\sin" />).
    - Argumen <InlineMath math="\theta = 15^\circ" />. Ubah ke radian:

      <BlockMath math="\theta = 15^\circ = 15 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{12}" />

    - Bentuk Eksponen:

      <BlockMath math="z = e^{i \pi/12}" />

## Kesamaan Dua Bilangan Kompleks

Dua bilangan kompleks <InlineMath math="z_1 = x_1 + iy_1" /> dan <InlineMath math="z_2 = x_2 + iy_2" /> dikatakan **sama** jika dan hanya jika bagian real keduanya sama DAN bagian imajiner keduanya juga sama.

<BlockMath math="z_1 = z_2 \quad \iff \quad x_1 = x_2 \text{ dan } y_1 = y_2" />

### Contoh Kesamaan

- <InlineMath math="z_1 = 3 - 2i" /> dan <InlineMath math="z_2 = 4 + 2i" /> adalah
  **berbeda**.

  karena <InlineMath math="\text{Re}(z_1) = 3 \neq \text{Re}(z_2) = 4" /> (walaupun <InlineMath math="|\text{Im}(z_1)| = |-2| = 2 = |\text{Im}(z_2)| = |2|" />, tanda imajinernya berbeda).

- <InlineMath math="z_1 = -1 + i" /> dan <InlineMath math="z_2 = i - 1" /> adalah
  **sama**.

  karena <InlineMath math="\text{Re}(z_1) = -1 = \text{Re}(z_2) = -1" /> dan <InlineMath math="\text{Im}(z_1) = 1 = \text{Im}(z_2) = 1" />.

### Latihan Kesamaan

Tentukan apakah pasangan bilangan kompleks berikut sama atau berbeda:

1.  <InlineMath math="z_1 = 4 - (-2i)" /> dan <InlineMath math="z_2 = 4 + 2i" />
2.  <InlineMath math="z_1 = i" /> dan <InlineMath math="z_2 = 1 - i" />
3.  <InlineMath math="z_1 = -1 + i" /> dan <InlineMath math="z_2 = i + 1" />

**Kunci Jawaban:**

1.  <InlineMath math="z_1 = 4 - (-2i) = 4 + 2i" />.

    Jadi, <InlineMath math="z_1" /> **sama** dengan <InlineMath math="z_2 = 4 + 2i" />.

2.  <InlineMath math="z_1 = 0 + 1i" /> dan <InlineMath math="z_2 = 1 - 1i" />.

    Bagian real berbeda (<InlineMath math="0 \neq 1" />) dan bagian imajiner berbeda (<InlineMath math="1 \neq -1" />).

    Jadi, <InlineMath math="z_1" /> **berbeda** dengan <InlineMath math="z_2" />.

3.  <InlineMath math="z_1 = -1 + 1i" /> dan <InlineMath math="z_2 = 1 + 1i" />.

    Bagian real berbeda (<InlineMath math="-1 \neq 1" />).

    Jadi, <InlineMath math="z_1" /> **berbeda** dengan <InlineMath math="z_2" />.

## Latihan

1.  **Benar atau Salah.** Setiap bilangan real adalah bilangan kompleks.
2.  **Benar atau Salah.** Bilangan kompleks mempunyai 3 bentuk yakni bentuk kartesius, bentuk eksponen, dan bentuk logaritma.
3.  **Benar atau Salah.** Bilangan kompleks <InlineMath math="z = 1 - 3i" /> jika digambarkan pada bidang kompleks, maka berada di kuadran III.
4.  Nyatakan bilangan kompleks <InlineMath math="2+2i" /> dalam bentuk polar dan eksponen.
5.  Tentukan bilangan <InlineMath math="x" /> dan <InlineMath math="y" /> dengan <InlineMath math="z_1 = x + 3i" /> dan <InlineMath math="z_2 = 3 - yi" /> agar <InlineMath math="z_1 = z_2" />!
6.  Tentukan solusi dari persamaan kuadrat <InlineMath math="x^2 - 2x + 6 = 0" />!
7.  Tentukan persamaan kuadrat yang mempunyai solusi <InlineMath math="x_1 = 1 + i" /> dan <InlineMath math="x_2 = 1 - i" />!

### Kunci Jawaban

1.  **Benar.** Bilangan real <InlineMath math="a" /> dapat ditulis sebagai <InlineMath math="a + 0i" />.
2.  **Salah.** Bentuk umum bilangan kompleks adalah Kartesius, Polar, dan Eksponen. Bentuk logaritma kompleks ada, tapi biasanya tidak termasuk 3 bentuk utama yang dipelajari di level ini.
3.  **Salah.** <InlineMath math="z = 1 - 3i" /> memiliki bagian real positif (<InlineMath math="x=1" />) dan bagian imajiner negatif (<InlineMath math="y=-3" />). Titik <InlineMath math="(1, -3)" /> berada di **Kuadran IV**.
4.  Untuk <InlineMath math="z = 2 + 2i" />:

    - Hitung modulus <InlineMath math="r" />:

      <BlockMath math="r = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}" />

    - Hitung argumen <InlineMath math="\theta" />:

      <BlockMath math="\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{2}{2} = 1" />

      Karena <InlineMath math="x=2" /> dan <InlineMath math="y=2" /> (keduanya positif), titik berada di Kuadran I. Maka, <InlineMath math="\theta = 45^\circ" /> atau <InlineMath math="\pi/4" /> radian.

    - Bentuk Polar:

      <BlockMath math="z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = 2\sqrt{2}(\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ)" />

    - Bentuk Eksponen:

      <BlockMath math="z = r e^{i\theta} = 2\sqrt{2} e^{i \pi/4}" />

5.  Agar <InlineMath math="z_1 = x + 3i" /> sama dengan <InlineMath math="z_2 = 3 - yi" />, bagian real harus sama dan bagian imajiner harus sama:

    - Bagian Real: <InlineMath math="x = 3" />
    - Bagian Imajiner: <InlineMath math="3 = -y \implies y = -3" />

      Jadi, <InlineMath math="x=3" /> dan <InlineMath math="y=-3" />.

6.  Untuk menyelesaikan <InlineMath math="x^2 - 2x + 6 = 0" />, gunakan rumus kuadratik (rumus ABC):

    <BlockMath math="x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}" />

    dengan <InlineMath math="a=1, b=-2, c=6" />:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}" />
      <BlockMath math="x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24}}{2}" />
      <BlockMath math="x = \frac{2 \pm \sqrt{-20}}{2}" />
      <BlockMath math="x = \frac{2 \pm \sqrt{20}\sqrt{-1}}{2}" />
      <BlockMath math="x = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}i}{2}" />
      <BlockMath math="x = 1 \pm i\sqrt{5}" />
    </div>

    Solusinya adalah <InlineMath math="x_1 = 1 + i\sqrt{5}" /> dan <InlineMath math="x_2 = 1 - i\sqrt{5}" />.

7.  Jika akar-akar persamaan kuadrat adalah <InlineMath math="x_1 = 1 + i" /> dan <InlineMath math="x_2 = 1 - i" />, persamaan dapat dibentuk dari <InlineMath math="(x - x_1)(x - x_2) = 0" /> atau <InlineMath math="x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 x_2) = 0" />.

    - Hitung jumlah akar:

      <BlockMath math="x_1 + x_2 = (1+i) + (1-i) = 1 + i + 1 - i = 2" />

    - Hitung hasil kali akar:

      <BlockMath math="x_1 x_2 = (1+i)(1-i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2" />

    - Susun persamaan kuadrat:

      <div className="flex flex-col gap-4">
        <BlockMath math="x^2 - (2)x + (2) = 0" />
        <BlockMath math="x^2 - 2x + 2 = 0" />
      </div>
