# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/conjugate-complex-numbers
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/conjugate-complex-numbers/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
  title: "Konjugat Bilangan Kompleks",
  description: "Temukan konjugat bilangan kompleks dengan mengubah tanda imajiner. Jelajahi pencerminan geometris, sifat, dan mengapa z×z̄ menghasilkan real.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/01/2025",
  subject: "Bilangan Kompleks",
};

## Apa itu Konjugat Bilangan Kompleks?

Setiap bilangan kompleks <InlineMath math="z = x + iy" /> memiliki "pasangan" yang disebut **konjugat** (atau sekawan). Konjugat dari <InlineMath math="z" /> ditulis dengan simbol <InlineMath math="\bar{z}" />.

Cara mendapatkan konjugat sangat mudah: **ubah tanda bagian imajinernya saja**.

## Definisi Formal

Jika <InlineMath math="z = x + iy" /> adalah suatu bilangan kompleks, dengan <InlineMath math="x" /> sebagai bagian real dan <InlineMath math="y" /> sebagai bagian imajiner, maka konjugatnya adalah:

<BlockMath math="\bar{z} = x - iy" />

Artinya, bagian real (<InlineMath math="x" />) tetap, sedangkan tanda bagian imajiner (<InlineMath math="y" />) dibalik (positif menjadi negatif, negatif menjadi positif).

## Contoh Mencari Konjugat

Mari kita lihat beberapa contoh:

1.  **Jika** <InlineMath math="z = 2 + i" />

    Di sini, <InlineMath math="x=2" /> dan <InlineMath math="y=1" />.

    Maka konjugatnya <InlineMath math="\bar{z} = 2 - i" />. (Tanda bagian imajiner <InlineMath math="+1" /> menjadi <InlineMath math="-1" />)

2.  **Jika** <InlineMath math="z = 2" />

    Kita bisa tulis <InlineMath math="z = 2 + 0i" />. Di sini, <InlineMath math="x=2" /> dan <InlineMath math="y=0" />.

    Maka konjugatnya <InlineMath math="\bar{z} = 2 - 0i = 2" />. (Bagian imajiner 0, tandanya tidak berubah)

    Konjugat dari bilangan real adalah bilangan real itu sendiri.

3.  **Jika** <InlineMath math="z = 3 - 2i" />

    Di sini, <InlineMath math="x=3" /> dan <InlineMath math="y=-2" />.

    Maka konjugatnya <InlineMath math="\bar{z} = 3 - (-2i) = 3 + 2i" />. (Tanda bagian imajiner <InlineMath math="-2" /> menjadi <InlineMath math="+2" />)

4.  **Jika** <InlineMath math="z = 3i" />

    Kita bisa tulis <InlineMath math="z = 0 + 3i" />. Di sini, <InlineMath math="x=0" /> dan <InlineMath math="y=3" />.

    Maka konjugatnya <InlineMath math="\bar{z} = 0 - 3i = -3i" />. (Tanda bagian imajiner <InlineMath math="+3" /> menjadi <InlineMath math="-3" />)

    Konjugat dari bilangan imajiner murni adalah negatifnya.

## Visualisasi Konjugat

Secara geometris, konjugat <InlineMath math="\bar{z}" /> adalah **pencerminan** dari <InlineMath math="z" /> terhadap **sumbu real (sumbu X)** pada bidang kompleks.

<LineEquation
  title={
    <>
      Visualisasi <InlineMath math="z = 3+2i" /> dan Konjugatnya{" "}
      <InlineMath math="\bar{z} = 3-2i" />
    </>
  }
  description={
    <>
      Perhatikan bagaimana <InlineMath math="z" /> dan{" "}
      <InlineMath math="\bar{z}" /> seperti cermin terhadap sumbu real.
    </>
  }
  cameraPosition={[0, 0, 10]}
  showZAxis={false}
  data={[
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: 2, z: 0 },
      ],
      color: getColor("SKY"),
      labels: [{ text: "z = 3+2i", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
      cone: { position: "end" },
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: -2, z: 0 },
      ],
      color: getColor("LIME"),
      labels: [{ text: "z̄ = 3-2i", at: 1, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
      cone: { position: "end" },
    },
    // Garis Sumbu Real sebagai cermin (opsional)
    {
      points: [
        { x: -5, y: 0, z: 0 },
        { x: 5, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("AMBER"),
    },
  ]}
/>

## Kekongruenan Bilangan Kompleks

Mungkinkah sebuah bilangan kompleks <InlineMath math="z=x+iy" /> sama dengan konjugatnya <InlineMath math="\bar{z}=x-iy" />? Jika iya, apa syaratnya?

**Jawaban:**

Ya, mungkin. Agar <InlineMath math="z = \bar{z}" />, maka:

<BlockMath math="x+iy = x-iy" />

Ini hanya bisa terjadi jika <InlineMath math="iy = -iy" />, yang berarti <InlineMath math="2iy = 0" />.

Karena <InlineMath math="i \neq 0" />, maka haruslah <InlineMath math="y=0" />.

Jadi, suatu bilangan kompleks sama dengan konjugatnya **jika dan hanya jika bagian imajinernya adalah nol**, atau dengan kata lain, **jika bilangan kompleks tersebut adalah bilangan real**.

## Sifat-Sifat Operasi Konjugat

Operasi konjugat memiliki beberapa sifat menarik yang berguna dalam perhitungan. Misalkan <InlineMath math="z, z_1," /> dan <InlineMath math="z_2" /> adalah sembarang bilangan kompleks.

### Penjumlahan dan Pengurangan

Konjugat dari hasil penjumlahan (atau pengurangan) dua bilangan kompleks sama dengan penjumlahan (atau pengurangan) dari masing-masing konjugatnya.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\overline{z_1 + z_2} = \bar{z_1} + \bar{z_2}" />
  <BlockMath math="\overline{z_1 - z_2} = \bar{z_1} - \bar{z_2}" />
</div>

### Perkalian dan Pembagian

Konjugat dari hasil perkalian (atau pembagian) dua bilangan kompleks sama dengan perkalian (atau pembagian) dari masing-masing konjugatnya.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\overline{z_1 \times z_2} = \bar{z_1} \times \bar{z_2}" />
  <BlockMath math="\overline{\left( \frac{z_1}{z_2} \right)} = \frac{\bar{z_1}}{\bar{z_2}}, \quad \text{untuk } z_2 \neq 0" />
</div>

### Invers

Konjugat dari invers suatu bilangan kompleks sama dengan invers dari konjugatnya.

<BlockMath math="\overline{z^{-1}} = (\bar{z})^{-1}" />

### Ganda

Mengambil konjugat dua kali akan mengembalikan bilangan kompleks ke bentuk aslinya.

<BlockMath math="\overline{(\bar{z})} = z" />

### Hubungan dengan Bagian Real dan Imajiner

Penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dengan konjugatnya menghasilkan hubungan menarik dengan bagian real dan imajinernya:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="z + \bar{z} = 2 \text{Re}(z)" />
  <BlockMath math="z - \bar{z} = 2i \text{Im}(z)" />
</div>

### Perkalian dengan Konjugat

Perkalian suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya menghasilkan kuadrat dari modulusnya (sebuah bilangan real non-negatif).

<BlockMath math="z \times \bar{z} = (\text{Re}(z))^2 + (\text{Im}(z))^2 = |z|^2" />

## Latihan

Tentukan sekawan (konjugat) dari setiap bilangan kompleks berikut!

1. <InlineMath math="2+i^2" />
2. <InlineMath math="1+\frac{1}{i}" />
3. <InlineMath math="1+2i" />

### Kunci Jawaban

1. Pertama, sederhanakan bilangan kompleksnya:

   <InlineMath math="z = 2+i^2 = 2+(-1) = 1" />. Karena <InlineMath math="z=1" /> adalah
   bilangan real (<InlineMath math="1+0i" />
   ),

   maka konjugatnya adalah <InlineMath math="\bar{z} = 1" />.

2. Sederhanakan dulu:

   Ingat bahwa

   <BlockMath math="\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \times \frac{-i}{-i} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{-(-1)} = \frac{-i}{1} = -i" />

   Maka, <InlineMath math="z = 1 + \frac{1}{i} = 1 - i" />.

   Konjugatnya adalah <InlineMath math="\bar{z} = 1 - (-i) = 1 + i" />.

3. <InlineMath math="z = 1+2i" />.

   Langsung gunakan definisi: <InlineMath math="\bar{z} = 1 - 2i" />.
