# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/modulus-argument-complex-numbers
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/modulus-argument-complex-numbers/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
  title: "Modulus dan Argumen Bilangan Kompleks",
  description: "Hitung modulus |z| = √(x²+y²) dan argumen θ dengan aturan kuadran. Kuasai pengukuran jarak dan sudut untuk konversi bentuk polar.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/01/2025",
  subject: "Bilangan Kompleks",
};

## Apa itu Modulus dan Argumen?

Bilangan kompleks <InlineMath math="z = x + iy" /> dapat digambarkan sebagai titik <InlineMath math="(x, y)" /> pada bidang kompleks (mirip dengan bidang Kartesius). Selain sebagai titik, kita juga bisa melihatnya sebagai **vektor** yang berawal dari titik pangkal <InlineMath math="(0, 0)" /> menuju titik <InlineMath math="(x, y)" />.

Vektor ini memiliki **panjang** dan **arah**. Nah, panjang dan arah inilah yang kita sebut sebagai **Modulus** dan **Argumen**.

## Modulus Bilangan Kompleks

**Modulus** dari suatu bilangan kompleks <InlineMath math="z = x + iy" />, ditulis sebagai <InlineMath math="|z|" />, adalah **jarak** dari titik pangkal <InlineMath math="(0,0)" /> ke titik <InlineMath math="(x, y)" /> pada bidang kompleks. Ini sama saja dengan **panjang vektor** yang merepresentasikan <InlineMath math="z" />.

<LineEquation
  title="Visualisasi Modulus"
  description={
    <>
      Modulus <InlineMath math="|z|" /> adalah panjang vektor dari titik pangkal
      ke titik <InlineMath math="z" />. Kita bisa melihatnya sebagai sisi miring
      segitiga siku-siku.
    </>
  }
  cameraPosition={[0, 0, 12]}
  showZAxis={false}
  data={[
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: 4, z: 0 },
      ],
      color: getColor("SKY"),
      labels: [
        { text: "z = 3+4i", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] },
        {
          text: "|z|",
          at: 1,
          offset: [-2, -1.5, 0],
          color: getColor("AMBER"),
        },
      ],
      cone: { position: "end" },
    },
    // Garis bantu x dan y
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ROSE"),
      labels: [{ text: "x = 3", at: 1, offset: [-1.5, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 3, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: 4, z: 0 },
      ],
      color: getColor("EMERALD"),
      labels: [{ text: "y = 4", at: 1, offset: [1.5, -1.5, 0] }],
    },
  ]}
/>

Untuk menghitung modulus, kita bisa menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku yang dibentuk oleh bagian riil (<InlineMath math="x" />), bagian imajiner (<InlineMath math="y" />), dan modulus (<InlineMath math="|z|" />) sebagai sisi miringnya.

**Definisi Modulus:**

Modulus dari bilangan kompleks <InlineMath math="z = x + iy" /> adalah:

<BlockMath math="|z| = \sqrt{x^2 + y^2}" />

Modulus selalu bernilai **non-negatif** (tidak pernah negatif) karena merupakan jarak.

### Menghitung Modulus

1.  **Tentukan modulus dari <InlineMath math="z_1 = 3 + 4i" />**, dengan <InlineMath math="x=3, y=4" />

    <BlockMath math="|z_1| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5" />

2.  **Tentukan modulus dari <InlineMath math="z_2 = -1 - 2i" />**, dengan <InlineMath math="x=-1, y=-2" />

    <BlockMath math="|z_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}" />

3.  **Tentukan modulus dari <InlineMath math="z_3 = 5" />**, dengan <InlineMath math="x=5, y=0" />

    <BlockMath math="|z_3| = \sqrt{5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5" />

    (Modulus bilangan riil adalah nilai mutlaknya).

4.  **Tentukan modulus dari <InlineMath math="z_4 = -2i" />**, dengan <InlineMath math="x=0, y=-2" />

    <BlockMath math="|z_4| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2" />

## Argumen Bilangan Kompleks

**Argumen** dari bilangan kompleks <InlineMath math="z = x + iy" /> (yang tidak nol), ditulis sebagai <InlineMath math="\arg(z)" /> atau <InlineMath math="\theta" />, adalah **sudut** yang dibentuk oleh vektor <InlineMath math="z" /> dengan **sumbu riil positif** pada bidang kompleks. Sudut ini biasanya diukur dalam radian atau derajat.

Dari trigonometri dasar pada segitiga siku-siku yang sama seperti pada visualisasi modulus, kita tahu hubungan:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x = |z| \cos \theta" />
  <BlockMath math="y = |z| \sin \theta" />
  <BlockMath math="\tan \theta = \frac{y}{x} \quad (\text{jika } x \neq 0)" />
</div>

Untuk mencari <InlineMath math="\theta" />, kita bisa menggunakan fungsi arctangen (atau <InlineMath math="\tan^{-1}" />):

<BlockMath math="\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)" />

Kalkulator biasanya memberikan nilai <InlineMath math="\arctan" /> dalam rentang <InlineMath math="(-90^\circ, 90^\circ)" /> atau <InlineMath math="(-\pi/2, \pi/2)" />. Kita perlu **memperhatikan kuadran** di mana titik <InlineMath math="(x, y)" /> berada untuk menentukan argumen yang benar.

- **Kuadran <InlineMath math="I" />** (<InlineMath math="x>0, y>0" />):

  <BlockMath math="\theta = \arctan(y/x)" />

- **Kuadran <InlineMath math="II" />** (<InlineMath math="x<0, y>0" />):

  <BlockMath math="\theta = 180^\circ + \arctan(y/x) \text{ atau } \theta = \pi + \arctan(y/x)" />

- **Kuadran <InlineMath math="III" />** (<InlineMath math="x<0, y<0" />):

  <BlockMath math="\theta = 180^\circ + \arctan(y/x) \text{ atau } \theta = \pi + \arctan(y/x)" />

- **Kuadran <InlineMath math="IV" />** (<InlineMath math="x>0, y<0" />):

  <BlockMath math="\theta = 360^\circ + \arctan(y/x) \text{ atau } \theta = 2\pi + \arctan(y/x)" />

  atau cukup

  <BlockMath math="\theta = \arctan(y/x)" />

  jika menginginkan sudut negatif

Seringkali, kita tertarik pada **Argumen Utama** (ditulis <InlineMath math="\text{Arg}(z)" />), yaitu nilai argumen yang berada dalam interval <InlineMath math="(-180^\circ, 180^\circ]" /> atau <InlineMath math="(-\pi, \pi]" />.

### Menghitung Argumen

1.  **Tentukan argumen dari <InlineMath math="z_1 = 1 + i" />**

    Titik <InlineMath math="(1, 1)" /> berada di Kuadran <InlineMath math="I" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{1} = 1" />
      <BlockMath math="\theta = \arctan(1) = 45^\circ \text{ atau } \frac{\pi}{4} \text{ radian}" />
    </div>

2.  **Tentukan argumen dari <InlineMath math="z_2 = -\sqrt{3} + i" />**

    Titik <InlineMath math="(-\sqrt{3}, 1)" /> berada di Kuadran <InlineMath math="II" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{-\sqrt{3}}" />
      <BlockMath math="\text{Sudut dasar} = \arctan\left(\left|\frac{1}{-\sqrt{3}}\right|\right) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ" />
      <BlockMath math="\theta = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \text{ atau } \frac{5\pi}{6} \text{ radian}" />
    </div>

    (Karena di Kuadran <InlineMath math="II" />, kita gunakan <InlineMath math="180^\circ - \text{sudut dasar}" />)

3.  **Tentukan argumen dari <InlineMath math="z_3 = -1 - i\sqrt{3}" />**

    Titik <InlineMath math="(-1, -\sqrt{3})" /> berada di Kuadran <InlineMath math="III" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-\sqrt{3}}{-1} = \sqrt{3}" />
      <BlockMath math="\text{Sudut dasar} = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ" />
      <BlockMath math="\theta = 180^\circ + 60^\circ = 240^\circ \text{ atau } \frac{4\pi}{3} \text{ radian}" />
    </div>

    (Karena di Kuadran <InlineMath math="III" />, kita gunakan <InlineMath math="180^\circ + \text{sudut dasar}" />
    . Argumen Utama: <InlineMath math="-120^\circ" /> atau <InlineMath math="-2\pi/3" />
    ).

4.  **Tentukan argumen dari <InlineMath math="z_4 = 3 - 3i" />**

    Titik <InlineMath math="(3, -3)" /> berada di Kuadran <InlineMath math="IV" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-3}{3} = -1" />
      <BlockMath math="\text{Sudut dasar} = \arctan(|-1|) = \arctan(1) = 45^\circ" />
      <BlockMath math="\theta = 360^\circ - 45^\circ = 315^\circ \text{ atau } \frac{7\pi}{4} \text{ radian}" />
    </div>

    (Karena di Kuadran <InlineMath math="IV" />, kita gunakan <InlineMath math="360^\circ - \text{sudut dasar}" />
    . Argumen Utama: <InlineMath math="-45^\circ" /> atau <InlineMath math="-\pi/4" />
    ).

## Latihan

Tentukan modulus dan argumen (dalam derajat) dari bilangan kompleks berikut:

1.  <InlineMath math="z_a = 2 + 2i" />
2.  <InlineMath math="z_b = -4" />
3.  <InlineMath math="z_c = -i" />

### Kunci Jawaban

1.  **Untuk <InlineMath math="z_a = 2 + 2i" />:**

    <InlineMath math="x=2, y=2" /> (Kuadran <InlineMath math="I" />) Modulus:

    <BlockMath math="|z_a| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}" />

    Argumen:

    <BlockMath math="\tan \theta = \frac{2}{2} = 1 \implies \theta = \arctan(1) = 45^\circ" />

2.  **Untuk <InlineMath math="z_b = -4" />:**

    <InlineMath math="z_b = -4 + 0i" />. <InlineMath math="x=-4, y=0" /> (Sumbu
    riil negatif) Modulus:

    <BlockMath math="|z_b| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2} = \sqrt{16} = 4" />

    Argumen: Titik berada di sumbu riil negatif.

    <BlockMath math="\theta = 180^\circ" />

3.  **Untuk <InlineMath math="z_c = -i" />:**

    <InlineMath math="z_c = 0 - 1i" />. <InlineMath math="x=0, y=-1" /> (Sumbu
    imajiner negatif) Modulus:

    <BlockMath math="|z_c| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1" />

    Argumen: Titik berada di sumbu imajiner negatif.

    <BlockMath math="\theta = 270^\circ" />{" "}

    atau <InlineMath math="-90^\circ" /> (Argumen Utama).
