# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/principal-argument-complex-numbers
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/principal-argument-complex-numbers/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
  title: "Argumen Utama Bilangan Kompleks",
  description: "Temukan argumen utama Arg(z) unik dalam rentang [0°,360°). Ubah kemungkinan sudut tak hingga menjadi satu nilai standar untuk kesamaan kompleks.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/01/2025",
  subject: "Bilangan Kompleks",
};

## Memahami Argumen Utama

Argumen <InlineMath math="\theta" /> dari bilangan kompleks <InlineMath math="z = x + iy" /> adalah sudut yang dibentuk vektor <InlineMath math="z" /> terhadap sumbu riil positif.

Namun, ada satu hal penting, argumen bukanlah nilai tunggal!

Jika <InlineMath math="\theta" /> adalah argumen dari <InlineMath math="z" />, maka <InlineMath math="\theta + 2\pi k" /> (dengan <InlineMath math="k" /> bilangan bulat: <InlineMath math="0, \pm 1, \pm 2, \ldots" />) juga merupakan argumen dari <InlineMath math="z" />, karena menambahkan kelipatan <InlineMath math="360^\circ" /> atau <InlineMath math="2\pi" /> radian akan menghasilkan sudut yang sama pada bidang kompleks.

**Contohnya:**

sudut <InlineMath math="45^\circ" />, <InlineMath math="405^\circ" /> (<InlineMath math="45^\circ + 360^\circ" />), dan <InlineMath math="-315^\circ" /> (<InlineMath math="45^\circ - 360^\circ" />) semuanya menunjukkan arah yang sama.

Karena ada tak hingga banyaknya argumen untuk satu bilangan kompleks, kita seringkali membutuhkan satu nilai standar yang unik. Nilai inilah yang disebut **Argumen Utama**.

## Definisi Argumen Utama

Argumen Utama dari bilangan kompleks <InlineMath math="z = r(\cos \theta + i\sin \theta)" /> adalah nilai unik dari argumen <InlineMath math="\theta" /> yang memenuhi rentang tertentu.

**Argumen Utama** (dinotasikan <InlineMath math="\text{Arg}(z)" />) didefinisikan sebagai argumen <InlineMath math="\theta" /> yang memenuhi:

<BlockMath math="0 \leq \theta < 2\pi \quad \text{atau} \quad 0^\circ \leq \theta < 360^\circ" />

Definisi lain terkadang menggunakan rentang <InlineMath math="(-\pi, \pi]" /> atau <InlineMath math="(-180^\circ, 180^\circ]" />. Penting untuk selalu memeriksa definisi yang digunakan dalam konteks tertentu.

## Menentukan Argumen Utama

Cara menentukan Argumen Utama sama seperti mencari argumen biasa, namun kita perlu memastikan hasil akhirnya berada dalam rentang <InlineMath math="[0, 2\pi)" /> atau <InlineMath math="[0^\circ, 360^\circ)" />.

### Mencari Argumen Utama

1.  **Tentukan Argumen Utama dari <InlineMath math="z = 1 + i" />**

    Titik <InlineMath math="(1, 1)" /> berada di Kuadran <InlineMath math="I" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{1} = 1" />
      <BlockMath math="\theta = \arctan(1) = 45^\circ" />
    </div>

    Karena <InlineMath math="45^\circ" /> sudah berada dalam rentang <InlineMath math="[0^\circ, 360^\circ)" />, maka Argumen Utama adalah:

    <BlockMath math="\text{Arg}(z) = 45^\circ \text{ atau } \frac{\pi}{4} \text{ radian}" />

2.  **Tentukan Argumen Utama dari <InlineMath math="z = \sqrt{3} + i" />**

    Titik <InlineMath math="(\sqrt{3}, 1)" /> berada di Kuadran <InlineMath math="I" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{1}{\sqrt{3}}" />
      <BlockMath math="\theta = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 30^\circ" />
    </div>

    Karena <InlineMath math="30^\circ" /> sudah berada dalam rentang <InlineMath math="[0^\circ, 360^\circ)" />, maka Argumen Utama adalah:

    <BlockMath math="\text{Arg}(z) = 30^\circ \text{ atau } \frac{\pi}{6} \text{ radian}" />

<div className="mt-4">
  <LineEquation
    title="Visualisasi Argumen Utama"
    description={
      <>
        Menampilkan vektor untuk <InlineMath math="z_1=1+i" /> dan
        <InlineMath math="z_2=\sqrt{3}+i" />, beserta Argumen Utamanya (<InlineMath math="45^\circ" />
        dan <InlineMath math="30^\circ" />
        ).
      </>
    }
    cameraPosition={[0, 0, 8]}
    showZAxis={false}
    data={[
      {
        points: [
          { x: 0, y: 0, z: 0 },
          { x: 1, y: 1, z: 0 },
        ],
        color: getColor("SKY"),
        labels: [{ text: "z₁ = 1+i", at: 1, offset: [-1, 0.5, 0] }],
        cone: { position: "end" },
      },
      {
        points: [
          { x: 0, y: 0, z: 0 },
          { x: Math.sqrt(3), y: 1, z: 0 },
        ],
        color: getColor("LIME"),
        labels: [{ text: "z₂ = √3+i", at: 1, offset: [1.5, 0.5, 0] }],
        cone: { position: "end" },
      },
      // Garis sumbu x positif untuk referensi sudut
      {
        points: [
          { x: 0, y: 0, z: 0 },
          { x: 2, y: 0, z: 0 },
        ],
        color: getColor("AMBER"),
      },
    ]}
  />
</div>

## Kesamaan Dua Bilangan Kompleks dalam Bentuk Polar

Dua bilangan kompleks <InlineMath math="z_1 = r_1(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)" /> dan <InlineMath math="z_2 = r_2(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)" /> dikatakan **sama** jika dan hanya jika:

1.  Modulusnya sama:

    <InlineMath math="r_1 = r_2" /> (atau <InlineMath math="|z_1| = |z_2|" />)

2.  Argumennya sama atau berbeda kelipatan <InlineMath math="2\pi" /> (atau <InlineMath math="360^\circ" />):

    <InlineMath math="\theta_1 = \theta_2 + 2k\pi" /> atau <InlineMath math="\theta_1 - \theta_2 = 2k\pi" /> untuk
    suatu bilangan bulat <InlineMath math="k" />.

Jika kita menggunakan **Argumen Utama** (dengan rentang <InlineMath math="[0, 2\pi)" />), syarat kedua menjadi lebih sederhana: <InlineMath math="\text{Arg}(z_1) = \text{Arg}(z_2)" />.

### Pengecekan Kesamaan

Tentukan apakah pasangan bilangan kompleks berikut sama atau berbeda?

1.  <InlineMath math="z_1 = \sqrt{2}(\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)" /> dan <InlineMath math="z_2 = \sqrt{2}(\cos 95^\circ + i\sin 95^\circ)" />
2.  <InlineMath math="z_1 = \cos 30^\circ + i\sin 30^\circ" /> dan <InlineMath math="z_2 = \cos 390^\circ + i\sin 390^\circ" />

**Penyelesaian:**

1.  Perhatikan:

    - Modulus: <InlineMath math="|z_1| = \sqrt{2}" /> dan <InlineMath math="|z_2| = \sqrt{2}" />. (Sama)
    - Argumen Utama: <InlineMath math="\text{Arg}(z_1) = 45^\circ" /> dan <InlineMath math="\text{Arg}(z_2) = 95^\circ" />. (Berbeda)

    Karena argumen utamanya berbeda (<InlineMath math="45^\circ \neq 95^\circ" />), maka <InlineMath math="z_1 \neq z_2" />.

2.  Perhatikan:

    - Modulus: <InlineMath math="|z_1| = 1" /> dan <InlineMath math="|z_2| = 1" />. (Sama)
    - Argumen: <InlineMath math="\theta_1 = 30^\circ" /> dan <InlineMath math="\theta_2 = 390^\circ" />.
    - Selisih argumen: <InlineMath math="\theta_1 - \theta_2 = 30^\circ - 390^\circ = -360^\circ" />.

    Karena selisih argumennya adalah kelipatan <InlineMath math="360^\circ" /> (<InlineMath math="-360^\circ = -1 \times 360^\circ" />), maka <InlineMath math="z_1 = z_2" />.

    Atau, kita bisa lihat bahwa Argumen Utama <InlineMath math="z_2" /> adalah <InlineMath math="390^\circ - 360^\circ = 30^\circ" />, yang sama dengan Argumen Utama <InlineMath math="z_1" />.

## Latihan

Tentukan Argumen Utama (dalam derajat) untuk bilangan kompleks berikut:

1.  <InlineMath math="1 + \sqrt{3}i" />
2.  <InlineMath math="-i" />

### Kunci Jawaban

1.  **Untuk <InlineMath math="z = 1 + \sqrt{3}i" />:**

    Titik <InlineMath math="(1, \sqrt{3})" /> ada di Kuadran <InlineMath math="I" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="\tan \theta = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}" />
      <BlockMath math="\theta = \arctan(\sqrt{3}) = 60^\circ" />
    </div>

    Karena <InlineMath math="60^\circ \in [0^\circ, 360^\circ)" />, maka <InlineMath math="\text{Arg}(z) = 60^\circ" />.

2.  **Untuk <InlineMath math="z = -i" />:**

    Dapat ditulis <InlineMath math="z = 0 - 1i" />. Titik <InlineMath math="(0, -1)" /> berada pada sumbu imajiner negatif.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-1}{0} = \infty" />
      <BlockMath math="\theta = \arctan\left(\infty\right) = 90^\circ" />
    </div>

    Argumennya adalah <InlineMath math="270^\circ" /> (atau <InlineMath math="-90^\circ" />).

    Karena kita mencari Argumen Utama dalam rentang <InlineMath math="[0^\circ, 360^\circ)" />, maka <InlineMath math="\text{Arg}(z) = 270^\circ" />.