# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/properties-addition-complex-numbers
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/properties-addition-complex-numbers/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Sifat Penjumlahan Bilangan Kompleks",
  description: "Jelajahi sifat aljabar penjumlahan kompleks: komutatif, asosiatif, identitas, invers. Kuasai perkalian skalar dan buktikan ekspresi.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/01/2025",
  subject: "Bilangan Kompleks",
};

## Dasar Operasi

Operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada bilangan kompleks ternyata punya sifat-sifat menarik, mirip seperti pada bilangan real lho. Sifat-sifat ini membantu kita dalam melakukan perhitungan.

Misalkan <InlineMath math="z_1" />, <InlineMath math="z_2" />, dan <InlineMath math="z_3" /> adalah bilangan kompleks sembarang, serta <InlineMath math="c" /> dan <InlineMath math="d" /> adalah skalar (bilangan real) sembarang.

## Penjumlahan

### Komutatif

Urutan penjumlahan tidak penting, hasilnya tetap sama.

<BlockMath math="z_1 + z_2 = z_2 + z_1" />

Contoh: <InlineMath math="(2+i) + (1-3i) = (1-3i) + (2+i) = 3-2i" />

### Asosiatif Penjumlahan

Saat menjumlahkan tiga bilangan kompleks, pengelompokan penjumlahannya tidak memengaruhi hasil.

<BlockMath math="(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)" />

### Elemen Identitas

Ada bilangan kompleks <InlineMath math="0 = 0 + 0i" /> (nol) yang jika dijumlahkan dengan bilangan kompleks <InlineMath math="z_1" /> mana pun, hasilnya adalah <InlineMath math="z_1" /> itu sendiri.

<BlockMath math="z_1 + 0 = z_1" />

### Elemen Invers

Setiap bilangan kompleks <InlineMath math="z_1 = x + iy" /> punya invers penjumlahan (lawan), yaitu <InlineMath math="-z_1 = -x - iy" />, sehingga jika dijumlahkan hasilnya adalah elemen nol (0).

<BlockMath math="z_1 + (-z_1) = 0" />

Contoh:

Jika <InlineMath math="z_1 = 5-2i" />, maka <InlineMath math="-z_1 = -5+2i" />.

Maka <InlineMath math="(5-2i) + (-5+2i) = (5-5) + i(-2+2) = 0 + 0i = 0" />.

## Perkalian Skalar

### Asosiatif Perkalian

Pengelompokan perkalian skalar tidak memengaruhi hasil.

<BlockMath math="c(dz_1) = (cd)z_1" />

### Distributif Skalar

Skalar bisa didistribusikan terhadap penjumlahan skalar.

<BlockMath math="(c + d)z_1 = cz_1 + dz_1" />

### Distributif Kompleks

Skalar bisa didistribusikan terhadap penjumlahan bilangan kompleks.

<BlockMath math="c(z_1 + z_2) = cz_1 + cz_2" />

### Identitas Skalar

Mengalikan bilangan kompleks dengan skalar 1 tidak mengubah bilangan kompleks tersebut.

<BlockMath math="1 z_1 = z_1" />

### Skalar Nol

Mengalikan bilangan kompleks dengan skalar 0 menghasilkan bilangan kompleks nol.

<BlockMath math="0 z_1 = 0" />

## Penerapan Sifat

Sifat-sifat ini bisa kita gunakan untuk menyederhanakan atau membuktikan ekspresi yang melibatkan bilangan kompleks.

### Contoh Penerapan

Tunjukkan bahwa untuk sembarang bilangan kompleks <InlineMath math="z" />, berlaku <InlineMath math="4z + (-4)z = 0" />.

**Penyelesaian:**

Kita bisa gunakan sifat distributif skalar terhadap penjumlahan skalar (sifat f) dan sifat perkalian dengan skalar nol (sifat i).

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="4z + (-4)z = (4 + (-4))z \quad \text{(Sifat Distributif)}" />
  <BlockMath math="= (0)z \quad \text{(Penjumlahan skalar)}" />
  <BlockMath math="= 0 \quad \text{(Sifat Perkalian Skalar Nol)}" />
</div>

Jadi, terbukti bahwa <InlineMath math="4z + (-4)z = 0" />.

## Latihan

Dengan menggunakan sifat-sifat di atas, buktikan bahwa <InlineMath math="3z - \frac{1}{2}(2z) = 2z" /> untuk sembarang bilangan kompleks <InlineMath math="z" />.

### Kunci Jawaban

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="3z - \frac{1}{2}(2z) = 3z + (-\frac{1}{2})(2z) \quad \text{(Definisi pengurangan)}" />
  <BlockMath math="= 3z + ((-\frac{1}{2}) \times 2)z \quad \text{(Sifat Asosiatif Perkalian Skalar)}" />
  <BlockMath math="= 3z + (-1)z \quad \text{(Perkalian skalar)}" />
  <BlockMath math="= (3 + (-1))z \quad \text{(Sifat Distributif)}" />
  <BlockMath math="= (2)z \quad \text{(Penjumlahan skalar)}" />
  <BlockMath math="= 2z" />
</div>

Jadi, terbukti bahwa <InlineMath math="3z - \frac{1}{2}(2z) = 2z" />.
