# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/properties-multiplication-complex-numbers
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/properties-multiplication-complex-numbers/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Sifat Perkalian Bilangan Kompleks",
  description: "Pelajari sifat komutatif, asosiatif, distributif dan invers perkalian bilangan kompleks dengan contoh langkah demi langkah dan pembuktian aljabar.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/01/2025",
  subject: "Bilangan Kompleks",
};

## Sifat-Sifat Operasi Perkalian

Sama seperti operasi hitung pada bilangan real, operasi perkalian pada bilangan kompleks juga memiliki beberapa sifat penting. Misalkan <InlineMath math="z_1, z_2," /> dan <InlineMath math="z_3" /> adalah sembarang bilangan kompleks.

### Komutatif

Sifat komutatif berarti urutan dalam perkalian dua bilangan kompleks tidak mempengaruhi hasilnya.

<BlockMath math="z_1 \times z_2 = z_2 \times z_1" />

**Contoh:**

Misal <InlineMath math="z_1 = 1+2i" /> dan <InlineMath math="z_2 = 3-i" />.

<MathContainer>
  <BlockMath math="z_1 \times z_2 = (1+2i)(3-i) = 1(3-i) + 2i(3-i) = 3-i+6i-2i^2 = 3+5i-2(-1) = 5+5i" />
  <BlockMath math="z_2 \times z_1 = (3-i)(1+2i) = 3(1+2i) - i(1+2i) = 3+6i-i-2i^2 = 3+5i-2(-1) = 5+5i" />
</MathContainer>

Terbukti hasilnya sama.

### Asosiatif

Sifat asosiatif menyatakan bahwa saat mengalikan tiga bilangan kompleks atau lebih, pengelompokan perkalian tidak mengubah hasil.

<BlockMath math="(z_1 \times z_2) \times z_3 = z_1 \times (z_2 \times z_3)" />

**Contoh:**

Misal <InlineMath math="z_1 = i" />, <InlineMath math="z_2 = 2" />, dan <InlineMath math="z_3 = 3-i" />.

<MathContainer>
  <BlockMath math="(z_1 \times z_2) \times z_3 = (i \times 2) \times (3-i) = 2i(3-i) = 6i - 2i^2 = 6i - 2(-1) = 2+6i" />
  <BlockMath math="z_1 \times (z_2 \times z_3) = i \times (2 \times (3-i)) = i \times (6-2i) = 6i - 2i^2 = 6i - 2(-1) = 2+6i" />
</MathContainer>

Terbukti hasilnya sama.

### Identitas Perkalian

Bilangan kompleks <InlineMath math="1 = 1+0i" /> adalah elemen identitas untuk perkalian. Artinya, bilangan kompleks apapun yang dikalikan dengan 1 hasilnya adalah bilangan kompleks itu sendiri.

<BlockMath math="z \times 1 = z = 1 \times z" />

**Contoh:**

Misal <InlineMath math="z = 4-7i" />.

<MathContainer>
  <BlockMath math="z \times 1 = (4-7i)(1+0i) = 4(1) - (-7)(0) + i(4(0) + (-7)(1)) = 4 - 7i = z" />
  <BlockMath math="1 \times z = (1+0i)(4-7i) = 1(4) - (0)(-7) + i(1(-7) + 0(4)) = 4 - 7i = z" />
</MathContainer>

### Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan

Sifat ini menghubungkan operasi perkalian dan penjumlahan bilangan kompleks.

<BlockMath math="z_1 \times (z_2 + z_3) = (z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3)" />

**Contoh:**

Misal <InlineMath math="z_1=2" />, <InlineMath math="z_2 = 1+i" />, <InlineMath math="z_3 = 3-2i" />.

**Ruas kiri:** <InlineMath math="z_1 \times (z_2 + z_3)" />

<MathContainer>
  <BlockMath math="z_1 \times (z_2 + z_3) = 2 \times ((1+i) + (3-2i))" />
  <BlockMath math="= 2 \times (1+3 + i-2i)" />
  <BlockMath math="= 2 \times (4-i)" />
  <BlockMath math="= 8-2i" />
</MathContainer>

**Ruas kanan:** <InlineMath math="(z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3)" />

<MathContainer>
  <BlockMath math="(z_1 \times z_2) + (z_1 \times z_3) = (2(1+i)) + (2(3-2i))" />
  <BlockMath math="= (2+2i) + (6-4i)" />
  <BlockMath math="= (2+6) + (2i-4i)" />
  <BlockMath math="= 8-2i" />
</MathContainer>

Terbukti hasilnya sama.

## Contoh Pembuktian Menggunakan Sifat

Kita bisa membuktikan beberapa identitas aljabar menggunakan sifat-sifat ini. Mari kita buktikan bahwa <InlineMath math="(z_1 + z_2)^2 = z_1^2 + 2z_1z_2 + z_2^2" /> untuk sembarang <InlineMath math="z_1, z_2" />.

<MathContainer>
  <BlockMath math="(z_1 + z_2)^2 = (z_1 + z_2)(z_1 + z_2) \quad \text{(Definisi kuadrat)}" />
  <BlockMath math="= z_1(z_1 + z_2) + z_2(z_1 + z_2) \quad \text{(Sifat Distributif)}" />
  <BlockMath math="= (z_1z_1 + z_1z_2) + (z_2z_1 + z_2z_2) \quad \text{(Sifat Distributif)}" />
  <BlockMath math="= z_1^2 + z_1z_2 + z_2z_1 + z_2^2 \quad \text{(Definisi kuadrat)}" />
  <BlockMath math="= z_1^2 + z_1z_2 + z_1z_2 + z_2^2 \quad \text{(Sifat Komutatif: } z_2z_1 = z_1z_2)" />
  <BlockMath math="= z_1^2 + 2z_1z_2 + z_2^2 \quad \text{(Penggabungan suku sejenis)}" />
</MathContainer>

## Invers Perkalian

Setiap bilangan kompleks <InlineMath math="z = x + iy \neq 0" /> memiliki invers perkalian, dinotasikan sebagai <InlineMath math="z^{-1}" /> atau <InlineMath math="1/z" />, sedemikian sehingga <InlineMath math="z \times z^{-1} = 1" />.

Misalkan <InlineMath math="z^{-1} = u + iv" />. Maka:

<MathContainer>
  <BlockMath math="z \times z^{-1} = 1" />
  <BlockMath math="(x+iy)(u+iv) = 1 + 0i" />
  <BlockMath math="(xu - yv) + i(xv + uy) = 1 + 0i" />
</MathContainer>

Berdasarkan kesamaan dua bilangan kompleks, kita peroleh sistem persamaan:

1.  <InlineMath math="xu - yv = 1" />
2.  <InlineMath math="xv + uy = 0" />

Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini (misalnya dengan mengalikan persamaan 1 dengan <InlineMath math="x" />, persamaan 2 dengan <InlineMath math="y" />, lalu menjumlahkannya, dan metode substitusi), kita akan dapatkan:

<MathContainer>
  <BlockMath math="u = \frac{x}{x^2+y^2}" />
  <BlockMath math="v = -\frac{y}{x^2+y^2}" />
</MathContainer>

Jadi, invers perkalian dari <InlineMath math="z = x+iy" /> adalah:

<BlockMath math="z^{-1} = \frac{x}{x^2+y^2} - i\frac{y}{x^2+y^2}" />

Perhatikan bahwa <InlineMath math="x^2+y^2 = |z|^2" /> dan <InlineMath math="x-iy = \bar{z}" />. Maka rumus invers bisa juga ditulis sebagai:

<BlockMath math="z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}" />