# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/scalar-multiplication-complex-numbers
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/complex-number/scalar-multiplication-complex-numbers/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
  title: "Perkalian Skalar Bilangan Kompleks",
  description: "Jelajahi efek perkalian skalar pada vektor kompleks dengan visualisasi 3D interaktif yang menunjukkan perpanjangan, perpendekkan, dan pembalikan arah.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/01/2025",
  subject: "Bilangan Kompleks",
};

## Apa itu Perkalian Skalar?

Perkalian skalar adalah mengalikan bilangan kompleks dengan bilangan real (skalar).

<LineEquation
  title="Visualisasi Perkalian Skalar"
  description={
    <>
      Perhatikan bagaimana vektor <InlineMath math="z = 1+2i" /> berubah ketika
      dikalikan skalar <InlineMath math="c=2" /> dan{" "}
      <InlineMath math="c=-0.5" />.
    </>
  }
  cameraPosition={[0, 0, 12]}
  showZAxis={false}
  data={[
    // Vektor z asli
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 1, y: 2, z: 0 },
      ],
      color: getColor("SKY"),
      labels: [{ text: "z", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
      cone: { position: "end" },
    },
    // Vektor 2z
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 2, y: 4, z: 0 }, // 2 * (1+2i) = 2+4i
      ],
      color: getColor("EMERALD"),
      labels: [{ text: "2z", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
      cone: { position: "end" },
    },
    // Vektor -0.5z
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: -0.5, y: -1, z: 0 }, // -0.5 * (1+2i) = -0.5 - i
      ],
      color: getColor("ROSE"),
      labels: [{ text: "-0.5z", at: 1, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
      cone: { position: "end" },
    },
  ]}
/>

Dari visualisasi di atas, kita bisa lihat:

- Mengalikan <InlineMath math="z" /> dengan skalar <InlineMath math="c > 1" /> (seperti 2) akan **memperpanjang** vektor <InlineMath math="z" /> searah.
- Mengalikan <InlineMath math="z" /> dengan skalar <InlineMath math="0 < c < 1" /> akan **memperpendek** vektor <InlineMath math="z" /> searah.
- Mengalikan <InlineMath math="z" /> dengan skalar <InlineMath math="c < 0" /> (seperti -0.5) akan **membalikkan arah** vektor <InlineMath math="z" /> (180 derajat) dan mengubah panjangnya sesuai nilai <InlineMath math="|c|" />.

## Definisi Matematis

Jika <InlineMath math="z = x + iy" /> adalah bilangan kompleks dan <InlineMath math="c" /> adalah skalar (bilangan real), maka perkalian skalarnya adalah:

<BlockMath math="cz = c(x + iy) = (cx) + i(cy)" />

Artinya, kita cukup kalikan skalar <InlineMath math="c" /> ke bagian real (<InlineMath math="x" />) dan bagian imajiner (<InlineMath math="y" />) secara terpisah.

### Contoh Perhitungan

Jika <InlineMath math="z = -3 + 4i" /> dan <InlineMath math="c = 3" />, maka:

<BlockMath math="cz = 3(-3 + 4i) = 3(-3) + i(3 \times 4) = -9 + 12i" />

Jika <InlineMath math="z = 5 - i" /> dan <InlineMath math="c = -2" />, maka:

<BlockMath math="cz = -2(5 - i) = -2(5) + i(-2 \times -1) = -10 + 2i" />

## Contoh Visualisasi

Mari kita lihat beberapa contoh lagi untuk memperjelas efek perkalian skalar.

### Skalar Positif (> 1)

<LineEquation
  title={
    <>
      Perkalian dengan Skalar <InlineMath math="c = 1.5" />
    </>
  }
  description={
    <>
      Vektor <InlineMath math="z = -2 + i" /> diperpanjang searah saat dikalikan{" "}
      <InlineMath math="c = 1.5" />, menjadi{" "}
      <InlineMath math="1.5z = -3 + 1.5i" />.
    </>
  }
  cameraPosition={[0, 0, 8]}
  showZAxis={false}
  data={[
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: -2, y: 1, z: 0 },
      ],
      color: getColor("VIOLET"),
      labels: [{ text: "z", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
      cone: { position: "end" },
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: -3, y: 1.5, z: 0 }, // 1.5 * (-2+i)
      ],
      color: getColor("LIME"),
      labels: [{ text: "1.5z", at: 1, offset: [-0.5, 0.5, 0] }],
      cone: { position: "end" },
    },
  ]}
/>

### Skalar Positif (0 < c < 1)

<LineEquation
  title={
    <>
      Perkalian dengan Skalar <InlineMath math="c = 0.75" />
    </>
  }
  description={
    <>
      Vektor <InlineMath math="z = 3 - 2i" /> diperpendek searah saat dikalikan{" "}
      <InlineMath math="c = 0.75" />, menjadi{" "}
      <InlineMath math="0.75z = 2.25 - 1.5i" />.
    </>
  }
  cameraPosition={[0, 0, 8]}
  showZAxis={false}
  data={[
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: -2, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      labels: [{ text: "z", at: 1, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
      cone: { position: "end" },
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 2.25, y: -1.5, z: 0 }, // 0.75 * (3-2i)
      ],
      color: getColor("TEAL"),
      labels: [{ text: "0.75z", at: 1, offset: [0.5, 1, 0] }],
      cone: { position: "end" },
    },
  ]}
/>

### Skalar Negatif (c = -1)

Perkalian dengan -1 menghasilkan invers aditif (negatif) dari bilangan kompleks.

<LineEquation
  title={
    <>
      Perkalian dengan Skalar <InlineMath math="c = -1" /> (Invers Aditif)
    </>
  }
  description={
    <>
      Vektor <InlineMath math="z = -1 - 3i" /> dibalik arahnya (180°) saat
      dikalikan <InlineMath math="c = -1" />, menjadi{" "}
      <InlineMath math="-z = 1 + 3i" />.
    </>
  }
  cameraPosition={[0, 0, 10]}
  showZAxis={false}
  data={[
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: -1, y: -3, z: 0 },
      ],
      color: getColor("FUCHSIA"),
      labels: [{ text: "z", at: 1, offset: [-0.5, -0.5, 0] }],
      cone: { position: "end" },
    },
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 1, y: 3, z: 0 }, // -1 * (-1-3i)
      ],
      color: getColor("YELLOW"),
      labels: [{ text: "-z", at: 1, offset: [0.5, 0.5, 0] }],
      cone: { position: "end" },
    },
  ]}
/>