# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/function-composition-inverse-function/inverse-function
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/function-composition-inverse-function/inverse-function/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { FunctionIllustration } from "./illustration";
import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
  title: "Fungsi Invers",
  description: "Pelajari fungsi invers langkah demi langkah: definisi, syarat bijektif, mencari rumus, dan refleksi grafik. Kuasai f⁻¹(x) dengan contoh jelas.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "04/27/2025",
  subject: "Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers",
};

## Memahami Fungsi Invers

Kalian pasti sering menerjemahkan kata atau kalimat dari Bahasa Inggris ke Bahasa Indonesia, misalnya saat menonton film atau membaca berita. Proses menerjemahkan ini mirip dengan cara kerja sebuah fungsi: ada masukan (kata Bahasa Inggris) dan keluaran (kata Bahasa Indonesia).

Perhatikan ilustrasi berikut:

<FunctionIllustration
  title="Mesin Penerjemah"
  description="Mesin penerjemah mengubah kata atau kalimat dari Bahasa Inggris ke Bahasa Indonesia."
  machineLabel="Mesin Penerjemah"
  content={{ input: "Mathematics", output: "Matematika" }}
/>

Di sini, "Mesin Penerjemah" bertindak seperti fungsi yang mengubah "Mathematics" (masukan) menjadi "Matematika" (keluaran).

Sekarang, bagaimana jika kita ingin melakukan kebalikannya? Menerjemahkan "Matematika" kembali menjadi "Mathematics"?

Proses kebalikan inilah yang menjadi dasar konsep **fungsi invers**.

## Definisi Fungsi Invers

Fungsi invers, atau fungsi kebalikan, adalah fungsi yang "membalikkan" operasi dari suatu fungsi awal. Jika fungsi <InlineMath math="f" /> memetakan elemen <InlineMath math="x" /> dari domain <InlineMath math="A" /> ke elemen <InlineMath math="y" /> di kodomain <InlineMath math="B" />, maka fungsi inversnya, yang dinotasikan sebagai <InlineMath math="f^{-1}" /> (dibaca "f invers"), akan memetakan elemen <InlineMath math="y" /> dari <InlineMath math="B" /> kembali ke elemen <InlineMath math="x" /> di <InlineMath math="A" />.

Secara matematis:

<BlockMath math="y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)" />

Dengan kata lain, jika <InlineMath math="f" /> mengubah <InlineMath math="x" /> menjadi <InlineMath math="y" />, maka <InlineMath math="f^{-1}" /> mengubah <InlineMath math="y" /> kembali menjadi <InlineMath math="x" />. Fungsi invers "membatalkan" efek dari fungsi aslinya.

**Penting:** Notasi <InlineMath math="f^{-1}(x)" /> **bukan** berarti <InlineMath math="\frac{1}{f(x)}" /> (kebalikan perkalian atau resiprokal). Ini adalah notasi khusus untuk fungsi invers.

## Syarat Fungsi Memiliki Invers

Tidak semua fungsi memiliki fungsi invers. Agar suatu fungsi <InlineMath math="f" /> memiliki fungsi invers <InlineMath math="f^{-1}" />, fungsi <InlineMath math="f" /> tersebut haruslah **fungsi bijektif**. Fungsi bijektif adalah fungsi yang bersifat **injektif** (satu-ke-satu) dan **surjektif** (pada) sekaligus.

- **Injektif (Satu-ke-satu):** Setiap elemen berbeda di domain dipetakan ke elemen yang berbeda di kodomain. Tidak ada dua input berbeda yang menghasilkan output yang sama.
- **Surjektif (Pada):** Setiap elemen di kodomain merupakan hasil pemetaan dari setidaknya satu elemen di domain. Semua output mungkin terjadi.

Jika fungsi <InlineMath math="f" /> bukan bijektif, maka relasi kebalikannya mungkin ada, tetapi relasi tersebut bukanlah sebuah fungsi.

## Menentukan Rumus Fungsi Invers

Untuk mencari rumus fungsi invers <InlineMath math="f^{-1}(x)" /> dari suatu fungsi <InlineMath math="f(x)" />, kita bisa mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  Ganti <InlineMath math="f(x)" /> dengan <InlineMath math="y" />.
2.  Tukar posisi variabel <InlineMath math="x" /> dan <InlineMath math="y" /> dalam persamaan.
3.  Selesaikan persamaan tersebut untuk mendapatkan <InlineMath math="y" /> dalam bentuk <InlineMath math="x" />.
4.  Ganti <InlineMath math="y" /> dengan <InlineMath math="f^{-1}(x)" /> untuk mendapatkan rumus fungsi invers.

**Contoh:**

Tentukan fungsi invers dari <InlineMath math="f(x) = 2x + 3" />.

1.  Ganti <InlineMath math="f(x)" /> dengan <InlineMath math="y" />:

    <BlockMath math="y = 2x + 3" />

2.  Tukar <InlineMath math="x" /> dan <InlineMath math="y" />:

    <BlockMath math="x = 2y + 3" />

3.  Selesaikan untuk <InlineMath math="y" />:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="x - 3 = 2y" />
      <BlockMath math="\frac{x - 3}{2} = y" />
    </div>

4.  Ganti <InlineMath math="y" /> dengan <InlineMath math="f^{-1}(x)" />:

    <BlockMath math="f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}" />

Jadi, fungsi invers dari <InlineMath math="f(x) = 2x + 3" /> adalah <InlineMath math="f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}" />.

## Grafik Fungsi dan Inversnya

Grafik fungsi invers <InlineMath math="f^{-1}(x)" /> merupakan pencerminan (refleksi) dari grafik fungsi aslinya <InlineMath math="f(x)" /> terhadap garis <InlineMath math="y = x" />.

Sebagai contoh, mari kita lihat grafik dari <InlineMath math="f(x) = 2x + 3" />, inversnya <InlineMath math="f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}" />, dan garis identitas <InlineMath math="y=x" />.

<LineEquation
  title={
    <>
      Grafik <InlineMath math="f(x)" /> dan Inversnya
    </>
  }
  description={
    <>
      Grafik menunjukkan fungsi <InlineMath math="f(x)" />, inversnya{" "}
      <InlineMath math="f^{-1}(x)" />, dan garis <InlineMath math="y=x" />{" "}
      sebagai garis cermin.
    </>
  }
  data={[
    {
      // f(x) = 2x + 3
      points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
        const x = i - 5;
        return { x, y: 2 * x + 3, z: 0 };
      }),
      color: getColor("ORANGE"),
      labels: [
        {
          text: "f(x) = 2x + 3",
          at: 5,
          offset: [-2.5, 0, 0],
        },
      ],
    },
    {
      // f⁻¹(x) = (x - 3) / 2
      points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
        const x = i - 5;
        return { x, y: (x - 3) / 2, z: 0 };
      }),
      color: getColor("EMERALD"),
      labels: [
        {
          text: "f^{-1}(x) = (x-3)/2",
          at: 10,
          offset: [0.5, 0.5, 0],
        },
      ],
    },
    {
      // y = x (Garis Identitas)
      points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
        const x = i - 5;
        return { x, y: x, z: 0 };
      }),
      color: getColor("PINK"),
      labels: [
        {
          text: "y = x",
          at: 10,
          offset: [0.5, 0.5, 0],
        },
      ],
    },
  ]}
/>
