# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/function-composition-inverse-function/multiplication-division-function
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/function-composition-inverse-function/multiplication-division-function/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";
import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";

export const metadata = {
  title: "Perkalian dan Pembagian Fungsi",
  description: "Kuasai perkalian dan pembagian fungsi: aturan domain, batasan nol, dan contoh praktis. Selesaikan (f·g)(x) dan (f/g)(x) dengan mudah.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "04/27/2025",
  subject: "Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers",
};

## Perkalian Dua Fungsi

Mengalikan dua fungsi, <InlineMath math="f" /> dan <InlineMath math="g" />, sama mudahnya seperti mengalikan dua bilangan. Kita tinggal kalikan saja hasil <InlineMath math="f(x)" /> dengan <InlineMath math="g(x)" /> untuk nilai <InlineMath math="x" /> yang sama. Hasilnya adalah fungsi baru <InlineMath math="(f \cdot g)" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <LineEquation
    title="Visualisasi Perkalian Fungsi"
    description={
      <>
        Perhatikan bagaimana garis <InlineMath math="f(x)=x" /> dan{" "}
        <InlineMath math="g(x)=2" /> dikalikan menjadi{" "}
        <InlineMath math="(f \cdot g)(x)=2x" />.
      </>
    }
    data={[
      {
        points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({
          x: i - 5,
          y: i - 5,
          z: 0,
        })),
        color: getColor("ORANGE"),
        labels: [{ text: "f(x)=x", at: 6, offset: [1, -0.5, 0] }],
      },
      {
        points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({ x: i - 5, y: 2, z: 0 })),
        color: getColor("SKY"),
        labels: [{ text: "g(x)=2", at: 8, offset: [1, 0.5, 0] }],
      },
      {
        points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => ({
          x: i - 5,
          y: 2 * (i - 5),
          z: 0,
        })),
        color: getColor("ROSE"),
        labels: [{ text: "(f⋅g)(x)=2x", at: 7, offset: [-1.5, 1, 0] }],
      },
    ]}
  />

  <BlockMath math="(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)" />
</div>

Sama seperti penjumlahan dan pengurangan, mesin perkalian <InlineMath math="(f \cdot g)" /> ini hanya bisa mengolah bahan baku (nilai <InlineMath math="x" />) yang bisa diolah oleh _kedua_ mesin asli, <InlineMath math="f" /> dan <InlineMath math="g" />. Jadi, domainnya adalah irisan dari domain <InlineMath math="f" /> dan domain <InlineMath math="g" />.

<BlockMath math="D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g" />

### Contoh Perkalian

Mari kita pakai fungsi yang sedikit berbeda kali ini:

1.  <InlineMath math="f(x) = x^2" />, dengan domain <InlineMath math="D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}" /> (semua
    bilangan real).
2.  <InlineMath math="g(x) = x - 1" />, dengan domain <InlineMath math="D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}" /> (semua
    bilangan real).

**Langkah 1: Tentukan fungsi hasil perkalian**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)" />
  <BlockMath math="= (x^2) \cdot (x - 1)" />
  <BlockMath math="= x^3 - x^2" />
</div>

**Langkah 2: Tentukan domain fungsi hasil perkalian**

Kita cari irisan dari <InlineMath math="D_f" /> dan <InlineMath math="D_g" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g" />
  <BlockMath math="= \{x | x \in \mathbb{R}\} \cap \{x | x \in \mathbb{R}\}" />
  <BlockMath math="= \{x | x \in \mathbb{R}\}" />
</div>

Jadi, fungsi hasil perkaliannya adalah <InlineMath math="(f \cdot g)(x) = x^3 - x^2" /> dengan domain semua bilangan real.

## Pembagian Dua Fungsi

Pembagian fungsi <InlineMath math="f" /> oleh fungsi <InlineMath math="g" /> juga mirip: kita bagi hasil <InlineMath math="f(x)" /> dengan <InlineMath math="g(x)" />. Hasilnya adalah fungsi baru <InlineMath math="(\frac{f}{g})" />.

<BlockMath math="\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}" />

Nah, di sini ada **aturan tambahan yang sangat penting!** Kita tahu bahwa pembagian dengan nol itu tidak boleh. Jadi, selain nilai <InlineMath math="x" /> harus ada di domain <InlineMath math="f" /> dan <InlineMath math="g" />, nilai <InlineMath math="g(x)" /> (fungsi pembagi) **tidak boleh sama dengan nol**.

Oleh karena itu, domain dari fungsi pembagian <InlineMath math="(\frac{f}{g})" /> adalah irisan domain <InlineMath math="D_f" /> dan <InlineMath math="D_g" />, tetapi kita harus _membuang_ semua nilai <InlineMath math="x" /> yang menyebabkan <InlineMath math="g(x) = 0" />.

<BlockMath math="D_{\frac{f}{g}} = D_f \cap D_g - \{x | g(x) = 0\}" />

Tanda <InlineMath math="-" /> di sini artinya "dikurangi" atau "dikecualikan".

### Contoh Pembagian

Kita pakai fungsi yang sama seperti contoh perkalian:

1.  <InlineMath math="f(x) = x^2" />, <InlineMath math="D_f = \{x | x \in \mathbb{R}\}" />
2.  <InlineMath math="g(x) = x - 1" />, <InlineMath math="D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}" />

**Langkah 1: Tentukan fungsi hasil pembagian**

<BlockMath math="\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2}{x-1}" />

**Langkah 2: Tentukan domain fungsi hasil pembagian**

Pertama, kita cari irisan <InlineMath math="D_f" /> dan <InlineMath math="D_g" />:

<BlockMath math="D_f \cap D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}" />

Kedua, kita cari nilai <InlineMath math="x" /> yang membuat <InlineMath math="g(x) = 0" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="g(x) = 0" />
  <BlockMath math="x - 1 = 0" />
  <BlockMath math="x = 1" />
</div>

Ketiga, kita kecualikan nilai <InlineMath math="x=1" /> dari irisan domain:

<BlockMath math="D_{\frac{f}{g}} = \{x | x \in \mathbb{R}\} - \{1\}" />

Atau bisa ditulis juga sebagai:

<BlockMath math="D_{\frac{f}{g}} = \{x | x \in \mathbb{R}, x \neq 1\}" />

Jadi, fungsi hasil pembagiannya adalah <InlineMath math="(\frac{f}{g})(x) = \frac{x^2}{x-1}" /> dengan domain semua bilangan real kecuali <InlineMath math="x=1" />.

## Latihan Soal

Diketahui fungsi <InlineMath math="f(x) = \sqrt{x+4}" /> dengan <InlineMath math="D_f = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}" /> dan fungsi <InlineMath math="g(x) = x^2 - 9" /> dengan <InlineMath math="D_g = \{x | x \in \mathbb{R}\}" />.

1.  Tentukan <InlineMath math="(f \cdot g)(x)" /> dan domainnya <InlineMath math="D_{f \cdot g}" />.
2.  Tentukan <InlineMath math="(\frac{f}{g})(x)" /> dan domainnya <InlineMath math="D_{\frac{f}{g}}" />.
3.  Hitung nilai <InlineMath math="(f \cdot g)(5)" />.
4.  Apakah <InlineMath math="(\frac{f}{g})(3)" /> terdefinisi? Jelaskan.

### Kunci Jawaban

1.  **Mencari <InlineMath math="(f \cdot g)(x)" />:**

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)" />
      <BlockMath math="= (\sqrt{x+4}) \cdot (x^2 - 9)" />
      <BlockMath math="= (x^2 - 9)\sqrt{x+4}" />
    </div>

    **Mencari Domain <InlineMath math="D_{f \cdot g}" />:**

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="D_{f \cdot g} = D_f \cap D_g" />
      <BlockMath math="= \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\} \cap \{x | x \in \mathbb{R}\}" />
      <BlockMath math="= \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}" />
    </div>

    Jadi, <InlineMath math="(f \cdot g)(x) = (x^2 - 9)\sqrt{x+4}" /> dengan domain <InlineMath math="\{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}" />.

2.  **Mencari <InlineMath math="(\frac{f}{g})(x)" />:**

    <BlockMath math="\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\sqrt{x+4}}{x^2 - 9}" />

    **Mencari Domain <InlineMath math="D_{\frac{f}{g}}" />:**

    Irisan domain: <InlineMath math="D_f \cap D_g = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\}" />.

    Cari <InlineMath math="x" /> yang membuat <InlineMath math="g(x)=0" />:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="g(x) = 0" />
      <BlockMath math="x^2 - 9 = 0" />
      <BlockMath math="(x-3)(x+3) = 0" />
      <BlockMath math="x = 3 \text{ atau } x = -3" />
    </div>

    Kecualikan <InlineMath math="x=3" /> dan <InlineMath math="x=-3" /> dari irisan domain:

    <BlockMath math="D_{\frac{f}{g}} = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}\} - \{-3, 3\}" />

    Atau bisa ditulis:

    <BlockMath math="D_{\frac{f}{g}} = \{x | x \ge -4, x \in \mathbb{R}, x \neq -3, x \neq 3\}" />

    Jadi, <InlineMath math="(\frac{f}{g})(x) = \frac{\sqrt{x+4}}{x^2 - 9}" /> dengan domain <InlineMath math="\{x | x \ge -4, x \neq -3, x \neq 3\}" />.

3.  **Menghitung <InlineMath math="(f \cdot g)(5)" />:**

    Kita gunakan hasil dari nomor 1: <InlineMath math="(f \cdot g)(x) = (x^2 - 9)\sqrt{x+4}" />.

    Karena <InlineMath math="5 \ge -4" />, <InlineMath math="x=5" /> ada di dalam domain <InlineMath math="D_{f \cdot g}" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="(f \cdot g)(5) = (5^2 - 9)\sqrt{5+4}" />
      <BlockMath math="= (25 - 9)\sqrt{9}" />
      <BlockMath math="= (16)(3)" />
      <BlockMath math="= 48" />
    </div>

4.  **Apakah <InlineMath math="(\frac{f}{g})(3)" /> terdefinisi?**

    Tidak terdefinisi. Kita lihat domain dari <InlineMath math="(\frac{f}{g})(x)" /> pada nomor 2, yaitu <InlineMath math="\{x | x \ge -4, x \neq -3, x \neq 3\}" />. Nilai <InlineMath math="x=3" /> secara eksplisit dikecualikan dari domain karena akan menyebabkan penyebut <InlineMath math="g(x) = x^2 - 9" /> menjadi nol (<InlineMath math="3^2 - 9 = 0" />). Pembagian dengan nol tidak diperbolehkan dalam matematika.
