# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/function-modeling/asymptote
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/function-modeling/asymptote/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
  title: "Asimtot",
  description: "Temukan asimtot vertikal, horizontal, dan miring dengan contoh langkah demi langkah dan visualisasi interaktif. Kuasai teknik grafik fungsi rasional.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/18/2025",
  subject: "Fungsi dan Pemodelannya",
};

## Apa itu Asimtot?

Pernahkah kamu memperhatikan grafik fungsi yang mendekati suatu garis tapi tidak pernah menyentuhnya? Nah, garis tersebut disebut **asimtot**!

Asimtot adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi ketika nilai variabelnya menuju tak hingga atau mendekati nilai tertentu. Bayangkan seperti kamu berjalan mendekati tembok tapi tidak pernah benar-benar menyentuhnya, itulah konsep asimtot.

## Jenis-jenis Asimtot

Ada tiga jenis asimtot yang perlu kamu ketahui:

### Asimtot Vertikal

Asimtot vertikal adalah garis vertikal yang didekati grafik ketika nilai fungsi menuju positif atau negatif tak hingga.

**Definisi:** Garis <InlineMath math="x = a" /> adalah asimtot vertikal jika:

- Ketika <InlineMath math="x" /> mendekati <InlineMath math="a" /> dari kiri, <InlineMath math="f(x) \to \pm\infty" />
- Ketika <InlineMath math="x" /> mendekati <InlineMath math="a" /> dari kanan, <InlineMath math="f(x) \to \pm\infty" />

**Cara mencari:** Untuk fungsi rasional, asimtot vertikal terjadi saat penyebut = 0 (dan pembilang ≠ 0), atau ketika <InlineMath math="Q(x) = 0" /> dan <InlineMath math="P(x) \neq 0" />.

### Asimtot Horizontal

Asimtot horizontal adalah garis horizontal yang didekati grafik ketika <InlineMath math="x" /> menuju positif atau negatif tak hingga.

**Definisi:** Garis <InlineMath math="y = b" /> adalah asimtot horizontal jika:

- <InlineMath math="\lim_{x \to \infty} f(x) = b" />
- <InlineMath math="\lim_{x \to -\infty} f(x) = b" />

### Asimtot Miring (Oblique)

Asimtot miring adalah garis miring yang didekati grafik ketika <InlineMath math="x" /> menuju tak hingga.

**Definisi:** Garis <InlineMath math="y = mx + c" /> adalah asimtot miring jika:

<BlockMath math="\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (mx + c)] = 0" />

## Asimtot pada Fungsi Rasional

Mari kita fokus pada fungsi rasional <InlineMath math="f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}" /> di mana <InlineMath math="P(x)" /> dan <InlineMath math="Q(x)" /> adalah polinomial.

### Mencari Asimtot Vertikal

**Langkah-langkah:**

1. Cari nilai <InlineMath math="x" /> yang membuat <InlineMath math="Q(x) = 0" />
2. Periksa apakah <InlineMath math="P(x) \neq 0" /> pada nilai tersebut
3. Jika ya, maka ada asimtot vertikal di <InlineMath math="x = a" />

**Contoh:** Tentukan asimtot vertikal dari <InlineMath math="f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}" />

**Penyelesaian:**

- Penyebut nol ketika: <InlineMath math="x - 2 = 0" />, jadi <InlineMath math="x = 2" />
- Saat <InlineMath math="x = 2" />, pembilang = <InlineMath math="2 + 3 = 5 \neq 0" />
- Jadi, asimtot vertikal: <InlineMath math="x = 2" />

Mari kita lihat perilaku fungsi di sekitar asimtot vertikal:

| <InlineMath math="x" />    | <InlineMath math="f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}" />                       | Keterangan                              |
| -------------------------- | ---------------------------------------------------------------------- | --------------------------------------- |
| <InlineMath math="1.9" />  | <InlineMath math="\frac{1.9 + 3}{1.9 - 2} = \frac{4.9}{-0.1} = -49" /> | Mendekati <InlineMath math="-\infty" /> |
| <InlineMath math="1.99" /> | <InlineMath math="\frac{4.99}{-0.01} = -499" />                        | Semakin negatif                         |
| <InlineMath math="2.01" /> | <InlineMath math="\frac{5.01}{0.01} = 501" />                          | Mendekati <InlineMath math="+\infty" /> |
| <InlineMath math="2.1" />  | <InlineMath math="\frac{5.1}{0.1} = 51" />                             | Semakin positif                         |

<LineEquation
  title={
    <>
      Grafik <InlineMath math="f(x) = \frac{x + 3}{x - 2}" /> dengan Asimtot
      Vertikal
    </>
  }
  description={
    <>
      Perhatikan bagaimana grafik mendekati garis vertikal{" "}
      <InlineMath math="x = 2" /> tanpa pernah menyentuhnya.
    </>
  }
  data={[
    {
      points: [
        { x: -2, y: 0.25, z: 0 },
        { x: -1, y: 0.67, z: 0 },
        { x: 0, y: 1.5, z: 0 },
        { x: 1, y: 4, z: 0 },
        { x: 1.5, y: 9, z: 0 },
        { x: 1.8, y: 29, z: 0 },
        { x: 1.9, y: 49, z: 0 },
      ],
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "x → 2^{-}", at: 1, offset: [-1, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 2.1, y: 51, z: 0 },
        { x: 2.2, y: 31, z: 0 },
        { x: 2.5, y: 11, z: 0 },
        { x: 3, y: 6, z: 0 },
        { x: 4, y: 3.5, z: 0 },
        { x: 5, y: 2.67, z: 0 },
        { x: 6, y: 2.25, z: 0 },
      ],
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "x → 2^{+}", at: 6, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 2, y: -50, z: 0 },
        { x: 2, y: 0, z: 0 },
        { x: 2, y: 50, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "x = 2", at: 1, offset: [1, -0.5, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[10, 6, 10]}
  showZAxis={false}
/>

### Mencari Asimtot Horizontal

**Aturan untuk fungsi rasional:**

Misalkan derajat pembilang = <InlineMath math="m" /> dan derajat penyebut = <InlineMath math="n" />

1. Jika <InlineMath math="m < n" />: Asimtot horizontal adalah <InlineMath math="y = 0" />
2. Jika <InlineMath math="m = n" />: Asimtot horizontal adalah <InlineMath math="y = \frac{a}{b}" /> (rasio koefisien utama)
3. Jika <InlineMath math="m > n" />: Tidak ada asimtot horizontal (tapi mungkin ada asimtot miring)

**Contoh:** Tentukan asimtot horizontal dari:

1. <InlineMath math="f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 4}" />

   **Penyelesaian:**

   - Derajat pembilang = 1, derajat penyebut = 2
   - Karena 1 < 2, asimtot horizontal: <InlineMath math="y = 0" />

2. <InlineMath math="g(x) = \frac{3x^2 - 1}{2x^2 + 5}" />

   **Penyelesaian:**

   - Derajat pembilang = 2, derajat penyebut = 2
   - Karena derajat sama, asimtot horizontal: <InlineMath math="y = \frac{3}{2}" />

Mari kita lihat bagaimana fungsi mendekati asimtot horizontal:

| <InlineMath math="x" />    | <InlineMath math="g(x) = \frac{3x^2 - 1}{2x^2 + 5}" />                              | Mendekati                 |
| -------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------- |
| <InlineMath math="10" />   | <InlineMath math="\frac{3(100) - 1}{2(100) + 5} = \frac{299}{205} \approx 1.459" /> | <InlineMath math="1.5" /> |
| <InlineMath math="100" />  | <InlineMath math="\frac{29999}{20005} \approx 1.4997" />                            | <InlineMath math="1.5" /> |
| <InlineMath math="1000" /> | <InlineMath math="\frac{2999999}{2000005} \approx 1.49997" />                       | <InlineMath math="1.5" /> |

<LineEquation
  title={
    <>
      Grafik <InlineMath math="g(x) = \frac{3x^2 - 1}{2x^2 + 5}" /> dengan
      Asimtot Horizontal
    </>
  }
  description={
    <>
      Grafik mendekati <InlineMath math="y = 1.5" /> ketika{" "}
      <InlineMath math="x \to \pm\infty" />.
    </>
  }
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 40 }, (_, i) => {
        const x = -10 + i * 0.5;
        const y = (3 * x * x - 1) / (2 * x * x + 5);
        return { x, y, z: 0 };
      }),
      color: getColor("TEAL"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: -10, y: 1.5, z: 0 },
        { x: 0, y: 1.5, z: 0 },
        { x: 10, y: 1.5, z: 0 },
      ],
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "y = 1.5", at: 1, offset: [2, 0.5, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[10, 6, 10]}
  showZAxis={false}
/>

### Mencari Asimtot Miring

Asimtot miring muncul ketika derajat pembilang = derajat penyebut + 1.

**Cara mencari:** Lakukan pembagian polinomial.

**Contoh:** Tentukan asimtot miring dari <InlineMath math="f(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}" />

**Penyelesaian:**
Dengan pembagian polinomial:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="f(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1} = x + 3 + \frac{2}{x - 1}" />
</div>

Ketika <InlineMath math="x \to \pm\infty" />, suku <InlineMath math="\frac{2}{x - 1} \to 0" />

Jadi, asimtot miring: <InlineMath math="y = x + 3" />

<LineEquation
  title={
    <>
      Grafik <InlineMath math="f(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{x - 1}" /> dengan
      Asimtot Miring
    </>
  }
  description={
    <>
      Grafik mendekati garis <InlineMath math="y = x + 3" /> ketika{" "}
      <InlineMath math="x \to \pm\infty" />.
    </>
  }
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 30 }, (_, i) => {
        const x = -8 + i * 0.3;
        if (Math.abs(x - 1) < 0.1) return null;
        const y = (x * x + 2 * x - 1) / (x - 1);
        return { x, y, z: 0 };
      }).filter((p) => p !== null),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 30 }, (_, i) => {
        const x = 1.3 + i * 0.3;
        const y = (x * x + 2 * x - 1) / (x - 1);
        return { x, y, z: 0 };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: -8, y: -5, z: 0 },
        { x: 0, y: 3, z: 0 },
        { x: 10, y: 13, z: 0 },
      ],
      color: getColor("PINK"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "y = x + 3", at: 1, offset: [3, 1.5, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 1, y: -10, z: 0 },
        { x: 1, y: 0, z: 0 },
        { x: 1, y: 15, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "x = 1", at: 1, offset: [1, -0.5, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[10, 6, 10]}
  showZAxis={false}
/>

## Menggambar Grafik dengan Asimtot

Asimtot sangat membantu dalam menggambar grafik fungsi. Berikut langkah-langkahnya:

1. **Tentukan semua asimtot** (vertikal, horizontal, atau miring)
2. **Gambar asimtot dengan garis putus-putus**
3. **Cari titik potong** dengan sumbu-sumbu
4. **Tentukan beberapa titik tambahan**
5. **Gambar kurva** yang mendekati asimtot

**Contoh Lengkap:** Gambar grafik <InlineMath math="f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}" />

**Langkah 1:** Cari asimtot

- Asimtot vertikal: <InlineMath math="x = 2" /> (penyebut = 0)
- Asimtot horizontal: <InlineMath math="y = 1" /> (derajat sama, rasio koefisien = 1/1)

**Langkah 2:** Titik potong

- Sumbu-y: <InlineMath math="f(0) = \frac{0 + 1}{0 - 2} = -\frac{1}{2}" />
- Sumbu-x: <InlineMath math="0 = \frac{x + 1}{x - 2}" />, maka <InlineMath math="x = -1" />

**Langkah 3:** Perilaku di sekitar asimtot

- Saat <InlineMath math="x \to 2^-" />: <InlineMath math="f(x) \to -\infty" />
- Saat <InlineMath math="x \to 2^+" />: <InlineMath math="f(x) \to +\infty" />
- Saat <InlineMath math="x \to \pm\infty" />: <InlineMath math="f(x) \to 1" />

**Langkah 4:** Tabel nilai untuk membantu menggambar

| <InlineMath math="x" />  | <InlineMath math="f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}" />                  | Keterangan                   |
| ------------------------ | ----------------------------------------------------------------- | ---------------------------- |
| <InlineMath math="-3" /> | <InlineMath math="\frac{-3 + 1}{-3 - 2} = \frac{-2}{-5} = 0.4" /> | Titik di kuadran I           |
| <InlineMath math="-1" /> | <InlineMath math="\frac{-1 + 1}{-1 - 2} = \frac{0}{-3} = 0" />    | Titik potong sumbu-x         |
| <InlineMath math="0" />  | <InlineMath math="\frac{0 + 1}{0 - 2} = \frac{1}{-2} = -0.5" />   | Titik potong sumbu-y         |
| <InlineMath math="1" />  | <InlineMath math="\frac{1 + 1}{1 - 2} = \frac{2}{-1} = -2" />     | Mendekati asimtot vertikal   |
| <InlineMath math="3" />  | <InlineMath math="\frac{3 + 1}{3 - 2} = \frac{4}{1} = 4" />       | Di sebelah kanan asimtot     |
| <InlineMath math="5" />  | <InlineMath math="\frac{5 + 1}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2" />       | Mendekati asimtot horizontal |

<LineEquation
  title={
    <>
      Grafik Lengkap <InlineMath math="f(x) = \frac{x + 1}{x - 2}" />
    </>
  }
  description={
    <>
      Grafik dengan asimtot vertikal <InlineMath math="x = 2" /> dan asimtot
      horizontal <InlineMath math="y = 1" />.
    </>
  }
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 40 }, (_, i) => {
        const x = -5 + i * 0.175;
        if (Math.abs(x - 2) < 0.05) return null;
        const y = (x + 1) / (x - 2);
        if (Math.abs(y) > 20) return null;
        return { x, y, z: 0 };
      }).filter((p) => p !== null),
      color: getColor("SKY"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 40 }, (_, i) => {
        const x = 2.05 + i * 0.175;
        const y = (x + 1) / (x - 2);
        if (Math.abs(y) > 20) return null;
        return { x, y, z: 0 };
      }).filter((p) => p !== null),
      color: getColor("SKY"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: 2, y: -20, z: 0 },
        { x: 2, y: 0, z: 0 },
        { x: 2, y: 20, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "x = 2", at: 1, offset: [2, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: -5, y: 1, z: 0 },
        { x: 0, y: 1, z: 0 },
        { x: 9, y: 1, z: 0 },
      ],
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "y = 1", at: 1, offset: [1, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [{ x: -1, y: 0, z: 0 }],
      color: getColor("TEAL"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "(-1, 0)", at: 0, offset: [-1, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [{ x: 0, y: -0.5, z: 0 }],
      color: getColor("TEAL"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "(0, -0.5)", at: 0, offset: [-1.5, -1, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[10, 6, 10]}
  showZAxis={false}
/>

## Latihan

1. Tentukan semua asimtot dari <InlineMath math="f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 3}" />

2. Tentukan asimtot dari <InlineMath math="g(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 9}" />

3. Fungsi biaya rata-rata suatu produk adalah <InlineMath math="C(x) = \frac{500 + 3x}{x}" />. Tentukan biaya minimum per unit yang dapat dicapai.

4. Gambar sketsa grafik <InlineMath math="h(x) = \frac{x}{x^2 - 1}" /> lengkap dengan asimtotnya.

### Kunci Jawaban

**Jawaban 1:**

- Derajat pembilang (2) = derajat penyebut (1) + 1
- Ada asimtot miring. Dengan pembagian: <InlineMath math="f(x) = 2x + 3 + \frac{10}{x - 3}" />
- Asimtot vertikal: <InlineMath math="x = 3" />
- Asimtot miring: <InlineMath math="y = 2x + 3" />

**Jawaban 2:**

- Asimtot vertikal: <InlineMath math="x^2 - 9 = 0" />, jadi <InlineMath math="x = 3" /> dan <InlineMath math="x = -3" />
- Tapi saat <InlineMath math="x = 2" />, pembilang = 0, jadi <InlineMath math="x = 2" /> bukan asimtot
- Saat <InlineMath math="x = -2" />, pembilang = 0, jadi <InlineMath math="x = -2" /> bukan asimtot
- Asimtot horizontal: <InlineMath math="y = 1" /> (derajat sama, rasio = 1/1)

**Jawaban 3:**

<BlockMath math="C(x) = \frac{500 + 3x}{x} = \frac{500}{x} + 3" />
Ketika <InlineMath math="x \to \infty" />, <InlineMath math="\frac{500}{x} \to 0" />
Jadi biaya minimum per unit = 3

**Jawaban 4:**

- Asimtot vertikal: <InlineMath math="x = 1" /> dan <InlineMath math="x = -1" />
- Asimtot horizontal: <InlineMath math="y = 0" /> (derajat pembilang < derajat penyebut)
- Grafik memiliki tiga bagian terpisah karena dua asimtot vertikal

Tabel nilai untuk <InlineMath math="h(x) = \frac{x}{x^2 - 1}" />:

| <InlineMath math="x" />    | <InlineMath math="h(x)" />                              | Keterangan    |
| -------------------------- | ------------------------------------------------------- | ------------- |
| <InlineMath math="-2" />   | <InlineMath math="\frac{-2}{4-1} = -\frac{2}{3}" />     | Bagian kiri   |
| <InlineMath math="-0.5" /> | <InlineMath math="\frac{-0.5}{0.25-1} = \frac{2}{3}" /> | Bagian tengah |
| <InlineMath math="0" />    | <InlineMath math="\frac{0}{0-1} = 0" />                 | Titik potong  |
| <InlineMath math="0.5" />  | <InlineMath math="\frac{0.5}{0.25-1} = -\frac{2}{3}" /> | Bagian tengah |
| <InlineMath math="2" />    | <InlineMath math="\frac{2}{4-1} = \frac{2}{3}" />       | Bagian kanan  |

<LineEquation
  title={
    <>
      Grafik <InlineMath math="h(x) = \frac{x}{x^2 - 1}" /> dengan Dua Asimtot
      Vertikal
    </>
  }
  description={
    <>
      Grafik dengan asimtot vertikal di <InlineMath math="x = -1" /> dan{" "}
      <InlineMath math="x = 1" />, serta asimtot horizontal{" "}
      <InlineMath math="y = 0" />.
    </>
  }
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 20 }, (_, i) => {
        const x = -3 + i * 0.095;
        const y = x / (x * x - 1);
        if (Math.abs(y) > 10) return null;
        return { x, y, z: 0 };
      }).filter((p) => p !== null),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 20 }, (_, i) => {
        const x = -0.95 + i * 0.09;
        const y = x / (x * x - 1);
        if (Math.abs(y) > 10) return null;
        return { x, y, z: 0 };
      }).filter((p) => p !== null),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 20 }, (_, i) => {
        const x = 1.05 + i * 0.095;
        const y = x / (x * x - 1);
        if (Math.abs(y) > 10) return null;
        return { x, y, z: 0 };
      }).filter((p) => p !== null),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: [
        { x: -1, y: -10, z: 0 },
        { x: -1, y: 0, z: 0 },
        { x: -1, y: 10, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "x = -1", at: 1, offset: [-2, 1, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 1, y: -10, z: 0 },
        { x: 1, y: 0, z: 0 },
        { x: 1, y: 10, z: 0 },
      ],
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "x = 1", at: 1, offset: [2, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: -3, y: 0, z: 0 },
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 3, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "y = 0", at: 1, offset: [1, 0.5, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[10, 6, 10]}
  showZAxis={false}
/>