# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/function-modeling/exponential-function
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/function-modeling/exponential-function/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";
import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";

export const metadata = {
  title: "Fungsi Eksponensial",
  description: "Jelajahi pertumbuhan dan peluruhan eksponensial dengan aplikasi nyata: dinamika populasi, peluruhan radioaktif, dan bunga majemuk. Selesaikan persamaan.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/18/2025",
  subject: "Fungsi dan Pemodelannya",
};

## Pengertian Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial adalah fungsi matematika yang memiliki variabel sebagai pangkat dari suatu bilangan konstan. Bentuk umum fungsi eksponensial adalah <InlineMath math="f(x) = a \cdot b^x" /> dengan <InlineMath math="a \neq 0" />, <InlineMath math="b > 0" />, dan <InlineMath math="b \neq 1" />.

**Komponen fungsi eksponensial:**

Dalam fungsi <InlineMath math="f(x) = a \cdot b^x" />:

- <InlineMath math="a" /> adalah konstanta pengali yang menentukan nilai awal fungsi
- <InlineMath math="b" /> adalah basis eksponensial yang menentukan laju pertumbuhan
  atau peluruhan
- <InlineMath math="x" /> adalah variabel bebas (eksponen)

## Karakteristik Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial memiliki beberapa sifat khusus yang membedakannya dari fungsi lain:

### Sifat-sifat Dasar

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="f(0) = a \cdot b^0 = a \cdot 1 = a" />
  <BlockMath math="f(x_1 + x_2) = a \cdot b^{x_1 + x_2} = a \cdot b^{x_1} \cdot b^{x_2}" />
  <BlockMath math="f(x_1 - x_2) = a \cdot b^{x_1 - x_2} = \frac{a \cdot b^{x_1}}{b^{x_2}}" />
</div>

### Jenis Fungsi Eksponensial

**Fungsi Pertumbuhan Eksponensial** (<InlineMath math="b > 1" />):

- Nilai fungsi meningkat seiring bertambahnya <InlineMath math="x" />
- Grafik naik dari kiri ke kanan
- Contoh: <InlineMath math="f(x) = 2^x" />

**Fungsi Peluruhan Eksponensial** (<InlineMath math="0 < b < 1" />):

- Nilai fungsi menurun seiring bertambahnya <InlineMath math="x" />
- Grafik turun dari kiri ke kanan
- Contoh: <InlineMath math="f(x) = (0.5)^x" />

## Grafik Fungsi Eksponensial

Berikut adalah visualisasi berbagai fungsi eksponensial:

<LineEquation
  title={<>Perbandingan Fungsi Eksponensial</>}
  description={
    <>
      Grafik menunjukkan fungsi pertumbuhan <InlineMath math="f(x) = 2^x" /> dan
      peluruhan <InlineMath math="g(x) = (0.5)^x" />.
    </>
  }
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const x = i * 0.2 - 2;
        return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "f(x) = 2^x", at: 15, offset: [2, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const x = i * 0.2 - 2;
        return { x, y: Math.pow(0.5, x), z: 0 };
      }),
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "g(x) = (0.5)^x", at: 5, offset: [-2, -0.5, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 10]}
  showZAxis={false}
/>

Perbandingan nilai fungsi <InlineMath math="f(x) = 2^x" /> dan <InlineMath math="g(x) = (0.5)^x" />:

| <InlineMath math="x" />                                    | <InlineMath math="-2" />   | <InlineMath math="-1" />  | <InlineMath math="0" />   | <InlineMath math="1" />   | <InlineMath math="2" />    | <InlineMath math="3" />     |
| ------------------------------------ | ---- | --- | --- | --- | ---- | ----- |
| <InlineMath math="f(x) = 2^x" />     | <InlineMath math="0.25" /> | <InlineMath math="0.5" /> | <InlineMath math="1" />   | <InlineMath math="2" />   | <InlineMath math="4" />    | <InlineMath math="8" />     |
| <InlineMath math="g(x) = (0.5)^x" /> | <InlineMath math="4" />    | <InlineMath math="2" />   | <InlineMath math="1" />   | <InlineMath math="0.5" /> | <InlineMath math="0.25" /> | <InlineMath math="0.125" /> |

## Transformasi Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial dapat ditransformasi dengan berbagai cara:

### Translasi Vertikal

Fungsi <InlineMath math="f(x) = a \cdot b^x + c" /> menggeser grafik ke atas (jika <InlineMath math="c > 0" />) atau ke bawah (jika <InlineMath math="c < 0" />).

<LineEquation
  title={<>Translasi Vertikal</>}
  description={
    <>
      Perbandingan <InlineMath math="f(x) = 2^x" /> dengan{" "}
      <InlineMath math="g(x) = 2^x + 2" />.
    </>
  }
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const x = i * 0.2 - 2;
        return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
      }),
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "f(x) = 2^x", at: 15, offset: [1.5, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const x = i * 0.2 - 2;
        return { x, y: Math.pow(2, x) + 2, z: 0 };
      }),
      color: getColor("PINK"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "g(x) = 2^x + 2", at: 15, offset: [0, 0.5, 0] }],
    },
  ]}
  cameraPosition={[8, 5, 8]}
  showZAxis={false}
/>

### Translasi Horizontal

Fungsi <InlineMath math="f(x) = a \cdot b^{x-h}" /> menggeser grafik ke kanan (jika <InlineMath math="h > 0" />) atau ke kiri (jika <InlineMath math="h < 0" />).

## Aplikasi Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari:

### Pertumbuhan Populasi

Populasi makhluk hidup sering mengikuti pola pertumbuhan eksponensial. Jika populasi awal adalah <InlineMath math="P_0" /> dan laju pertumbuhan adalah <InlineMath math="r" /> per periode waktu, maka:

<BlockMath math="P(t) = P_0 \cdot (1 + r)^t" />

**Contoh:** Populasi bakteri yang berkembang biak setiap jam dengan laju 20%:

- Populasi awal: 1000 bakteri
- Laju pertumbuhan: <InlineMath math="r = 0.2" />
- Fungsi: <InlineMath math="P(t) = 1000 \cdot (1.2)^t" />

### Tabel Pertumbuhan Bakteri

| Waktu (jam) | 0    | 1    | 2    | 3    | 4    | 5    |
| ----------- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| Populasi    | 1000 | 1200 | 1440 | 1728 | 2074 | 2488 |

### Peluruhan Radioaktif

Zat radioaktif meluruh mengikuti fungsi eksponensial. Jika massa awal adalah <InlineMath math="M_0" /> dan waktu paruh adalah <InlineMath math="t_{1/2}" />, maka:

<BlockMath math="M(t) = M_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}" />

### Bunga Majemuk

Investasi dengan bunga majemuk tumbuh secara eksponensial. Jika modal awal <InlineMath math="P" />, suku bunga <InlineMath math="r" /> per tahun, dan waktu <InlineMath math="t" /> tahun:

<BlockMath math="A = P \cdot \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}" />

dengan <InlineMath math="n" /> adalah frekuensi penggabungan bunga per tahun.

## Persamaan Eksponensial

Persamaan eksponensial adalah persamaan yang memuat variabel pada eksponen. Bentuk umum:

<BlockMath math="b^x = c" />

**Metode 1: Menyamakan Basis**

Jika <InlineMath math="b^{f(x)} = b^{g(x)}" />, maka <InlineMath math="f(x) = g(x)" />

**Contoh:** Selesaikan <InlineMath math="2^{x+1} = 8" />

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="2^{x+1} = 8" />
  <BlockMath math="2^{x+1} = 2^3" />
  <BlockMath math="x + 1 = 3" />
  <BlockMath math="x = 2" />
</div>

**Metode 2: Menggunakan Logaritma**

Untuk menyelesaikan <InlineMath math="b^x = c" />, gunakan logaritma:

<BlockMath math="x = \log_b c = \frac{\log c}{\log b}" />

## Latihan

1. Tentukan nilai dari <InlineMath math="f(3)" /> jika <InlineMath math="f(x) = 5 \cdot 2^x" />

2. Selesaikan persamaan <InlineMath math="3^{2x-1} = 27" />

3. Populasi suatu kota adalah 50.000 jiwa dan tumbuh 3% per tahun. Berapa populasinya setelah 10 tahun?

4. Suatu zat radioaktif memiliki waktu paruh 5 tahun. Jika massa awalnya 100 gram, berapa massa yang tersisa setelah 15 tahun?

### Kunci Jawaban

1. <InlineMath math="f(3) = 5 \cdot 2^3 = 5 \cdot 8 = 40" />

2. <InlineMath math="3^{2x-1} = 27 = 3^3" />, maka <InlineMath math="2x - 1 = 3" />
   , sehingga <InlineMath math="x = 2" />

3. <InlineMath math="P(10) = 50000 \cdot (1.03)^{10} = 50000 \cdot 1.344 = 67.195" /> jiwa

4. <InlineMath math="M(15) = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{15/5} = 100 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 100 \cdot \frac{1}{8} = 12.5" /> gram