# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/function-modeling/logarithmic-function-concept
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/function-modeling/logarithmic-function-concept/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";
import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";

export const metadata = {
  title: "Konsep Fungsi Logaritma",
  description: "Pelajari fungsi logaritma lengkap dengan grafik, sifat-sifat, dan aplikasi nyata. Pahami kebalikan dari eksponensial melalui contoh dan latihan soal.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/18/2025",
  subject: "Fungsi dan Pemodelannya",
};

## Apa itu Fungsi Logaritma?

Pernahkah kalian bertanya-tanya berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk investasi kalian menjadi dua kali lipat? Jawabannya ada pada fungsi logaritma! Logaritma adalah "kebalikan" dari eksponensial. Jika eksponensial menjawab "berapa hasilnya?", maka logaritma menjawab "berapa pangkatnya?".

Mari kita mulai dengan contoh sederhana. Jika kita memiliki:

<BlockMath math="2^3 = 8" />

Pertanyaan: "Berapa pangkat dari 2 yang menghasilkan 8?" Jawabannya adalah 3. Inilah yang dijawab oleh logaritma:

<BlockMath math="\log_2 8 = 3" />

Secara umum, hubungan antara eksponensial dan logaritma:

<BlockMath math="y = b^x \quad \Leftrightarrow \quad x = \log_b y" />

## Definisi dan Jenis Logaritma

Fungsi logaritma dengan basis <InlineMath math="b" /> (dimana <InlineMath math="b > 0" /> dan <InlineMath math="b \neq 1" />) dinyatakan sebagai:

<BlockMath math="f(x) = \log_b x \quad \text{untuk setiap } x > 0" />

**Jenis-jenis logaritma yang sering digunakan:**

1. **Logaritma Umum** (basis 10): <InlineMath math="f(x) = \log x" />

   Contoh: <InlineMath math="\log 100 = 2" /> karena <InlineMath math="10^2 = 100" />

2. **Logaritma Natural** (basis <InlineMath math="e \approx 2.7183" />): <InlineMath math="f(x) = \ln x" />

   Contoh: <InlineMath math="\ln e = 1" /> karena <InlineMath math="e^1 = e" />

3. **Logaritma Biner** (basis 2): <InlineMath math="f(x) = \log_2 x" />

   Contoh: <InlineMath math="\log_2 8 = 3" /> karena <InlineMath math="2^3 = 8" />

## Grafik Fungsi Logaritma

<LineEquation
  title="Perbandingan Fungsi Eksponensial dan Logaritma"
  description={
    <>
      Grafik <InlineMath math="y = \log_2 x" /> adalah pencerminan dari{" "}
      <InlineMath math="y = 2^x" /> terhadap garis <InlineMath math="y = x" />.
    </>
  }
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
        const x = (i / 99) * 4 - 1;
        return { x, y: Math.pow(2, x), z: 0 };
      }),
      color: getColor("SKY"),
      labels: [{ text: "y = 2^x", at: 80, offset: [1.5, 1, 0] }],
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 100 }, (_, i) => {
        const x = (i / 99) * 8 + 0.1;
        return { x, y: Math.log2(x), z: 0 };
      }),
      color: getColor("ROSE"),
      labels: [{ text: "y = log₂ x", at: 80, offset: [0.5, -1, 0] }],
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 50 }, (_, i) => {
        const x = (i / 49) * 4 - 1;
        return { x, y: x, z: 0 };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      labels: [{ text: "y = x", at: 40, offset: [1, 1, 0] }],
      showPoints: false,
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 15]}
  showZAxis={false}
/>

**Karakteristik grafik** <InlineMath math="f(x) = \log_b x" /> dengan <InlineMath math="b > 1" />:

- Domain: <InlineMath math="x > 0" /> (hanya bilangan positif)
- Range: Semua bilangan real
- Titik potong sumbu x: <InlineMath math="(1, 0)" />
- Asimtot vertikal: Sumbu y (<InlineMath math="x = 0" />)
- Fungsi naik untuk <InlineMath math="b > 1" />

## Sifat-sifat Logaritma

### Sifat Dasar

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\log_b 1 = 0" />
  <BlockMath math="\log_b b = 1" />
  <BlockMath math="\log_b b^n = n" />
  <BlockMath math="b^{\log_b x} = x" />
</div>

### Sifat Operasi

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\log_b (xy) = \log_b x + \log_b y" />
  <BlockMath math="\log_b \left(\frac{x}{y}\right) = \log_b x - \log_b y" />
  <BlockMath math="\log_b x^n = n \cdot \log_b x" />
  <BlockMath math="\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b} \quad \text{(perubahan basis)}" />
</div>

## Model Penyebaran COVID-19

Pada awal pandemi, penyebaran COVID-19 di Indonesia dapat dimodelkan dengan fungsi eksponensial. Jika pada 2 Maret 2020 ada 2 kasus dan dalam 60 hari mencapai 10.118 kasus, maka:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="P(t) = 2e^{\frac{1}{60}\ln(5059)t}" />
  <LineEquation
    title="Model Penyebaran COVID-19"
    description="Pertumbuhan eksponensial kasus COVID-19"
    data={[
      {
        points: Array.from({ length: 61 }, (_, i) => {
          const t = i;
          const P = 2 * Math.exp((1 / 60) * Math.log(5059) * t);
          return { x: t, y: P, z: 0 };
        }),
        color: getColor("RED"),
        labels: [{ text: "P(t)", at: 3, offset: [2, -0.5, 0] }],
        showPoints: false,
      },
    ]}
    cameraPosition={[15, 10, 15]}
    showZAxis={false}
  />
</div>

**Menggunakan logaritma**, kita dapat menghitung kapan akan ada 50.000 kasus:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="50000 = 2e^{\frac{1}{60}\ln(5059)t}" />
  <BlockMath math="t = \frac{60 \cdot \ln(25000)}{\ln(5059)} \approx 81.4 \text{ hari}" />
</div>

## Latihan

1. Tentukan nilai dari:

   - <InlineMath math="\log_3 27" />
   - <InlineMath math="\log_5 \frac{1}{125}" />
   - <InlineMath math="\ln e^3" />

2. Jika <InlineMath math="\log_2 x = 4" />, tentukan nilai <InlineMath math="x" />.

3. Sederhanakan: <InlineMath math="\log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 2" />

4. Sebuah investasi tumbuh mengikuti rumus <InlineMath math="A = 1000 \cdot 2^t" /> (dalam juta rupiah). Berapa tahun yang dibutuhkan agar investasi menjadi 8 miliar rupiah?

### Kunci Jawaban

1. - <InlineMath math="\log_3 27 = 3" />
   - <InlineMath math="\log_5 \frac{1}{125} = -3" />
   - <InlineMath math="\ln e^3 = 3" />

2. <InlineMath math="x = 2^4 = 16" />

3. <InlineMath math="\log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 2 = 3 + 2 - 1 = 4" />

4. <InlineMath math="8000 = 1000 \cdot 2^t \Rightarrow 8 = 2^t \Rightarrow t = 3" /> tahun
