# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/function-modeling/logarithmic-function-identity
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/function-modeling/logarithmic-function-identity/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Identitas Fungsi Logaritma",
  description: "Kuasai identitas logaritma meliputi rumus perkalian, pembagian, perpangkatan, dan perubahan basis. Selesaikan persamaan dengan contoh aplikasi nyata.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/18/2025",
  subject: "Fungsi dan Pemodelannya",
};

## Pengertian Identitas Logaritma

Identitas logaritma adalah sifat-sifat khusus yang berlaku untuk semua fungsi logaritma. Sifat-sifat ini sangat membantu kita dalam menyederhanakan perhitungan dan menyelesaikan persamaan logaritma yang rumit.

Sebelum membahas identitas logaritma, mari ingat kembali bahwa logaritma adalah kebalikan dari eksponen. Jika <InlineMath math="b^x = a" />, maka <InlineMath math="^b\log a = x" />.

## Identitas Dasar Logaritma

### Identitas Perkalian

<BlockMath math="^b\log(MN) = {^b\log M} + {^b\log N}" />

Logaritma dari perkalian sama dengan penjumlahan logaritma masing-masing bilangan.

**Contoh:**

<BlockMath math="^2\log(8 \times 4) = {^2\log 8} + {^2\log 4} = 3 + 2 = 5" />

### Identitas Pembagian

<BlockMath math="^b\log\left(\frac{M}{N}\right) = {^b\log M} - {^b\log N}" />

Logaritma dari pembagian sama dengan pengurangan logaritma pembilang dengan logaritma penyebut.

**Contoh:**

<BlockMath math="^3\log\left(\frac{81}{9}\right) = {^3\log 81} - {^3\log 9} = 4 - 2 = 2" />

### Identitas Perpangkatan

<BlockMath math="^b\log(M^p) = p \cdot {^b\log M}" />

Logaritma dari suatu bilangan berpangkat sama dengan pangkat dikali logaritma bilangan tersebut.

**Contoh:**

<BlockMath math="^2\log(4^3) = 3 \cdot {^2\log 4} = 3 \times 2 = 6" />

## Identitas Khusus Logaritma

### Perubahan Basis

<BlockMath math="^b\log M = \frac{^a\log M}{^a\log b}" />

Identitas ini memungkinkan kita mengubah basis logaritma sesuai kebutuhan.

**Contoh:**

<BlockMath math="^3\log 9 = \frac{^{10}\log 9}{^{10}\log 3} = \frac{0,954}{0,477} = 2" />

### Identitas Kesamaan

Jika <InlineMath math="^b\log M = {^b\log N}" />, maka <InlineMath math="M = N" />

Dua bilangan yang memiliki nilai logaritma sama (dengan basis sama) pasti merupakan bilangan yang sama.

### Identitas Ketaksamaan

- Jika <InlineMath math="b > 1" /> dan <InlineMath math="^b\log M < {^b\log N}" />, maka <InlineMath math="M < N" />
- Jika <InlineMath math="0 < b < 1" /> dan <InlineMath math="^b\log M < {^b\log N}" />, maka <InlineMath math="M > N" />

## Penerapan Identitas Logaritma

### Menyederhanakan Ekspresi

Sederhanakan <InlineMath math="^2\log 32 + {^2\log 8} - {^2\log 4}" />

**Penyelesaian:**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="^2\log 32 + {^2\log 8} - {^2\log 4}" />
  <BlockMath math="= {^2\log(32 \times 8)} - {^2\log 4}" />
  <BlockMath math="= {^2\log 256} - {^2\log 4}" />
  <BlockMath math="= {^2\log\left(\frac{256}{4}\right)}" />
  <BlockMath math="= {^2\log 64} = 6" />
</div>

### Menyelesaikan Persamaan

Tentukan nilai <InlineMath math="x" /> jika <InlineMath math="^3\log x + {^3\log 9} = {^3\log 81}" />

**Penyelesaian:**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="^3\log x + {^3\log 9} = {^3\log 81}" />
  <BlockMath math="^3\log(x \times 9) = {^3\log 81}" />
  <BlockMath math="x \times 9 = 81" />
  <BlockMath math="x = \frac{81}{9} = 9" />
</div>

## Aplikasi dalam Kehidupan Nyata

### Skala Richter

Kekuatan gempa bumi diukur menggunakan skala Richter yang berbasis logaritma:

<BlockMath math="R = \log\left(\frac{I}{I_0}\right)" />

Di mana:

- <InlineMath math="R" /> = nilai skala Richter
- <InlineMath math="I" /> = intensitas gempa
- <InlineMath math="I_0" /> = intensitas referensi (tingkat nol)

**Contoh:** Gempa bumi yang terjadi di Haiti pada tahun 2010 memiliki intensitas <InlineMath math="10^7" /> kali dibandingkan gempa bumi tingkat nol. Berapa skala Richter kekuatan gempa tersebut?

**Penyelesaian:**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="R = \log\left(\frac{I}{I_0}\right)" />
  <BlockMath math="= \log\left(\frac{10^7 I_0}{I_0}\right)" />
  <BlockMath math="= \log(10^7)" />
  <BlockMath math="= 7" />
</div>

Jadi, gempa bumi di Haiti pada tahun 2010 tersebut memiliki kekuatan 7 skala Richter.

### Pengisian Baterai

Waktu pengisian baterai dapat dihitung dengan rumus logaritma:

<BlockMath math="t = -\frac{1}{k}\ln\left(1 - \frac{C}{C_0}\right)" />

Di mana:

- <InlineMath math="t" /> = waktu pengisian (dalam menit)
- <InlineMath math="k" /> = konstanta pengisian
- <InlineMath math="C" /> = kapasitas yang diinginkan
- <InlineMath math="C_0" /> = kapasitas maksimum

**Contoh:** Tentukan waktu yang diperlukan untuk mengisi daya baterai yang dayanya kosong menjadi 90% penuh. Anggap <InlineMath math="k = 0,02" />.

**Penyelesaian:**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="t = -\frac{1}{k}\ln\left(1 - \frac{C}{C_0}\right)" />
  <BlockMath math="= -\frac{1}{0,02}\ln\left(1 - \frac{0,9C_0}{C_0}\right)" />
  <BlockMath math="= -50\ln(1 - 0,9)" />
  <BlockMath math="= -50\ln(0,1)" />
  <BlockMath math="\approx 115,13" />
</div>

Jadi, waktu pengisian daya tersebut ialah sekitar 115 menit.

### Depresiasi Harga Mobil

Fungsi logaritma juga digunakan untuk pemodelan peluruhan/penurunan nilai dengan formula:

<BlockMath math="H(t) = ce^{kt}" />

dengan <InlineMath math="H(t)" /> adalah nilai pada saat waktu <InlineMath math="t" />.

**Contoh:** Pada setiap saat, harga sebuah mobil setelah digunakan tidak sebanding dengan harga saat itu. Jika harga mobil baru adalah 200 juta rupiah dan setelah 5 tahun menjadi 100 juta rupiah, tentukan harga mobil setelah 10 tahun digunakan.

**Penyelesaian:**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="H(0) = 200 \text{ juta, maka } 200 = ce^0 = c" />
  <BlockMath math="H(5) = 100 \text{ juta, maka } 100 = 200e^{5k}" />
  <BlockMath math="e^{5k} = \frac{1}{2} \text{, sehingga } 5k = \ln\left(\frac{1}{2}\right)" />
  <BlockMath math="k = \frac{1}{5}\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -0,1386" />
</div>

Dari hasil tersebut, diperoleh harga mobil setiap saat <InlineMath math="t" /> adalah:

<BlockMath math="H(t) = 200e^{-0,1386t}" />

Jadi, harga mobil setelah 10 tahun digunakan adalah:

<BlockMath math="H(10) = 200e^{-0,1386(10)} = 200e^{-1,386} \approx 50 \text{ juta rupiah}" />

## Latihan

**Soal 1**

Sederhanakan: <InlineMath math="^5\log 125 + {^5\log 25} - {^5\log 5}" />

**Soal 2**

Jika <InlineMath math="^2\log x = 3" /> dan <InlineMath math="^2\log y = 5" />, tentukan nilai <InlineMath math="^2\log(xy)" />

**Soal 3**

Tentukan nilai <InlineMath math="x" /> jika <InlineMath math="^4\log(x-1) = {^4\log 16} - {^4\log 2}" />

### Kunci Jawaban

**Jawaban 1**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="^5\log 125 + {^5\log 25} - {^5\log 5}" />
  <BlockMath math="= 3 + 2 - 1 = 4" />
</div>

**Jawaban 2**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="^2\log(xy) = {^2\log x} + {^2\log y}" />
  <BlockMath math="= 3 + 5 = 8" />
</div>

**Jawaban 3**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="^4\log(x-1) = {^4\log 16} - {^4\log 2}" />
  <BlockMath math="^4\log(x-1) = {^4\log\left(\frac{16}{2}\right)}" />
  <BlockMath math="^4\log(x-1) = {^4\log 8}" />
  <BlockMath math="x - 1 = 8" />
  <BlockMath math="x = 9" />
</div>