# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/function-modeling/rational-function
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/function-modeling/rational-function/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Fungsi Rasional",
  description: "Pelajari fungsi rasional dengan contoh nyata, cara mencari domain, teknik penyederhanaan, dan operasi. Pahami melalui masalah praktis seperti desain kandang ayam.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/18/2025",
  subject: "Fungsi dan Pemodelannya",
};

## Apa itu Fungsi Rasional?

Pernahkah kamu melihat pecahan dalam matematika? Nah, fungsi rasional itu mirip dengan pecahan, tapi lebih menarik karena melibatkan variabel!

Fungsi rasional adalah fungsi yang berbentuk pecahan, di mana pembilang dan penyebutnya adalah fungsi polinomial. Secara sederhana, fungsi rasional bisa ditulis sebagai:

<BlockMath math="f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}" />

Di mana:

- <InlineMath math="P(x)" /> adalah polinomial di pembilang
- <InlineMath math="Q(x)" /> adalah polinomial di penyebut
- <InlineMath math="Q(x) \neq 0" /> (penyebut tidak boleh nol)

## Contoh Fungsi Rasional dalam Kehidupan

Mari kita lihat contoh nyata untuk memahami fungsi rasional lebih baik.

**Masalah Kandang Ayam:**

Pak Budi ingin membuat kandang ayam berbentuk persegi panjang dengan luas 100 m². Dia ingin tahu hubungan antara panjang dan lebar kandang.

Jika panjang kandang adalah <InlineMath math="x" /> meter, maka:

- Luas = panjang × lebar = 100
- <InlineMath math="x \times \text{lebar} = 100" />
- Lebar = <InlineMath math="\frac{100}{x}" />

Fungsi <InlineMath math="f(x) = \frac{100}{x}" /> adalah contoh fungsi rasional!

## Bentuk-bentuk Fungsi Rasional

### Fungsi Rasional Sederhana

Bentuk paling sederhana dari fungsi rasional:

<BlockMath math="f(x) = \frac{k}{x}" />

Di mana <InlineMath math="k" /> adalah konstanta. Contoh: <InlineMath math="f(x) = \frac{5}{x}" />

### Fungsi Rasional Linear

Pembilang dan penyebutnya adalah fungsi linear:

<BlockMath math="f(x) = \frac{ax + b}{cx + d}" />

Contoh: <InlineMath math="f(x) = \frac{2x + 3}{x - 1}" />

### Fungsi Rasional Kuadrat

Melibatkan fungsi kuadrat di pembilang atau penyebut:

<BlockMath math="f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1}{x - 3}" />

## Domain Fungsi Rasional

Domain fungsi rasional adalah semua nilai <InlineMath math="x" /> yang membuat fungsi terdefinisi. Ingat, penyebut tidak boleh nol!

**Cara mencari domain:**

1. Cari nilai <InlineMath math="x" /> yang membuat penyebut = 0
2. Domain adalah semua bilangan real kecuali nilai-nilai tersebut

**Contoh:** Tentukan domain dari <InlineMath math="f(x) = \frac{x + 2}{x - 3}" />

**Penyelesaian:**

- Penyebut nol ketika: <InlineMath math="x - 3 = 0" />
- Jadi: <InlineMath math="x = 3" />
- Domain: <InlineMath math="D_f = \{x | x \neq 3, x \in \mathbb{R}\}" />

## Menyederhanakan Fungsi Rasional

Fungsi rasional bisa disederhanakan dengan mencari faktor persekutuan pembilang dan penyebut.

### Tanpa Pemfaktoran

Sederhanakan: <InlineMath math="f(x) = \frac{6x^2}{3x}" />

**Penyelesaian:**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="f(x) = \frac{6x^2}{3x}" />
  <BlockMath math="= \frac{6x \cdot x}{3x}" />
  <BlockMath math="= \frac{6x}{3} \cdot \frac{x}{x}" />
  <BlockMath math="= 2x" />
</div>

### Dengan Pemfaktoran

Sederhanakan: <InlineMath math="f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}" />

**Penyelesaian:**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}" />
  <BlockMath math="= \frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}" />
  <BlockMath math="= x + 2" />
</div>

Catatan: <InlineMath math="x \neq 2" /> (dari domain awal)

## Operasi pada Fungsi Rasional

### Penjumlahan dan Pengurangan

Sama seperti pecahan biasa, kita perlu samakan penyebutnya dulu!

**Contoh:** <InlineMath math="\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}" />

**Penyelesaian:**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1}" />
  <BlockMath math="= \frac{2(x + 1)}{x(x + 1)} + \frac{3x}{x(x + 1)}" />
  <BlockMath math="= \frac{2(x + 1) + 3x}{x(x + 1)}" />
  <BlockMath math="= \frac{2x + 2 + 3x}{x(x + 1)}" />
  <BlockMath math="= \frac{5x + 2}{x(x + 1)}" />
</div>

### Perkalian

Kalikan pembilang dengan pembilang, penyebut dengan penyebut:

<BlockMath math="\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}" />

**Contoh:** <InlineMath math="\frac{x + 1}{x} \times \frac{2x}{x - 1}" />

**Penyelesaian:**

<BlockMath math="\frac{x + 1}{x} \times \frac{2x}{x - 1} = \frac{2x(x + 1)}{x(x - 1)} = \frac{2(x + 1)}{x - 1}" />

### Pembagian

Ingat, membagi = mengalikan dengan kebalikannya:

<BlockMath math="\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}" />

## Latihan

1. Tentukan domain dari <InlineMath math="f(x) = \frac{x + 3}{x^2 - 9}" />

2. Sederhanakan <InlineMath math="f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}" />

3. Hitung <InlineMath math="\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x + 1}" />

4. Sebuah mobil menempuh jarak 300 km. Jika kecepatan rata-rata <InlineMath math="v" /> km/jam, tuliskan fungsi waktu tempuh dalam <InlineMath math="v" />.

### Kunci Jawaban

**Jawaban 1:**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x^2 - 9 = 0" />
  <BlockMath math="(x + 3)(x - 3) = 0" />
  <BlockMath math="x = -3 \text{ atau } x = 3" />
</div>

Domain: <InlineMath math="D_f = \{x | x \neq -3, x \neq 3, x \in \mathbb{R}\}" />

**Jawaban 2:**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1}" />
  <BlockMath math="= \frac{(x + 1)(x - 1)}{x + 1}" />
  <BlockMath math="= x - 1" />
</div>

Dengan syarat <InlineMath math="x \neq -1" />

**Jawaban 3:**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\frac{1}{x - 1} - \frac{2}{x + 1}" />
  <BlockMath math="= \frac{(x + 1) - 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)}" />
  <BlockMath math="= \frac{x + 1 - 2x + 2}{(x - 1)(x + 1)}" />
  <BlockMath math="= \frac{-x + 3}{(x - 1)(x + 1)}" />
</div>

**Jawaban 4:**

Waktu = Jarak ÷ Kecepatan

<BlockMath math="t(v) = \frac{300}{v}" />