# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/function-modeling/square-root-function
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/function-modeling/square-root-function/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
  title: "Fungsi Akar",
  description: "Jelajahi fungsi akar dengan grafik interaktif, analisis domain/range, transformasi, dan persamaan. Kuasai teknik penggambaran melalui masalah ketinggian roket.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/18/2025",
  subject: "Fungsi dan Pemodelannya",
};

## Pengertian Fungsi Akar

Fungsi akar merupakan salah satu jenis fungsi yang melibatkan operasi akar kuadrat. Fungsi ini memiliki bentuk umum <InlineMath math="f(x) = \sqrt{g(x)}" /> di mana <InlineMath math="g(x)" /> adalah fungsi di dalam tanda akar.

Bentuk paling sederhana dari fungsi akar adalah <InlineMath math="f(x) = \sqrt{x}" />. Fungsi ini mengambil nilai input <InlineMath math="x" /> dan menghasilkan akar kuadrat dari nilai tersebut.

### Karakteristik Fungsi Akar

Fungsi akar memiliki beberapa karakteristik khusus yang membedakannya dari fungsi lainnya:

1. **Domain terbatas**: Karena akar kuadrat dari bilangan negatif tidak terdefinisi dalam bilangan real, domain fungsi akar terbatas pada nilai-nilai yang membuat ekspresi di dalam akar bernilai non-negatif.

2. **Grafik berbentuk kurva**: Grafik fungsi akar berbentuk kurva yang dimulai dari suatu titik dan terus naik dengan kecepatan yang semakin lambat.

3. **Nilai selalu non-negatif**: Hasil dari fungsi akar selalu bernilai non-negatif (≥ 0).

## Domain dan Range Fungsi Akar

Untuk memahami fungsi akar dengan baik, penting untuk menentukan domain dan range-nya.

### Menentukan Domain

Domain fungsi akar <InlineMath math="f(x) = \sqrt{g(x)}" /> adalah semua nilai <InlineMath math="x" /> yang membuat <InlineMath math="g(x) \geq 0" />.

**Langkah-langkah menentukan domain:**

| Langkah | Penjelasan                                            | Contoh: <InlineMath math="f(x) = \sqrt{x-2}" />                   |
| ------- | ----------------------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------- |
| 1       | Identifikasi ekspresi dalam akar                      | <InlineMath math="g(x) = x-2" />                                  |
| 2       | Buat pertidaksamaan <InlineMath math="g(x) \geq 0" /> | <InlineMath math="x-2 \geq 0" />                                  |
| 3       | Selesaikan pertidaksamaan                             | <InlineMath math="x \geq 2" />                                    |
| 4       | Tuliskan domain                                       | <InlineMath math="D_f = \{x \mid x \geq 2, x \in \mathbb{R}\}" /> |

### Menentukan Range

Range fungsi akar adalah semua nilai output yang mungkin dihasilkan oleh fungsi tersebut.

Untuk fungsi <InlineMath math="f(x) = \sqrt{x-2}" />, karena akar kuadrat selalu menghasilkan nilai non-negatif, maka:

<BlockMath math="R_f = \{y \mid y \geq 0, y \in \mathbb{R}\}" />

## Grafik Fungsi Akar Dasar

Mari kita visualisasikan fungsi akar dasar <InlineMath math="f(x) = \sqrt{x}" />.

<LineEquation
  title={
    <>
      Fungsi Akar Dasar: <InlineMath math="f(x) = \sqrt{x}" />
    </>
  }
  description="Grafik fungsi akar dasar dimulai dari titik (0,0) dan naik dengan kecepatan yang semakin lambat."
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const x = i * 0.5;
        return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "f(x) = √x", at: 5, offset: [0, 1, 0] }],
    },
  ]}
  showZAxis={false}
  cameraPosition={[10, 6, 10]}
/>

## Transformasi Fungsi Akar

Fungsi akar dapat mengalami berbagai transformasi yang mengubah bentuk dan posisi grafiknya.

### Translasi Horizontal

Fungsi <InlineMath math="f(x) = \sqrt{x-h}" /> menggeser grafik fungsi akar dasar sejauh <InlineMath math="h" /> satuan ke kanan (jika <InlineMath math="h > 0" />) atau ke kiri (jika <InlineMath math="h < 0" />).

<LineEquation
  title="Translasi Horizontal Fungsi Akar"
  description={
    <>
      Perbandingan <InlineMath math="f(x) = \sqrt{x}" />,{" "}
      <InlineMath math="g(x) = \sqrt{x-2}" />, dan{" "}
      <InlineMath math="h(x) = \sqrt{x+2}" />.
    </>
  }
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const x = i * 0.5;
        return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "√x", at: 5, offset: [0, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const x = 2 + i * 0.5;
        return { x, y: Math.sqrt(x - 2), z: 0 };
      }),
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "√(x-2)", at: 10, offset: [0, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const x = -2 + i * 0.5;
        return { x, y: Math.sqrt(x + 2), z: 0 };
      }),
      color: getColor("CYAN"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "√(x+2)", at: 10, offset: [0, 0.5, 0] }],
    },
  ]}
  showZAxis={false}
  cameraPosition={[10, 6, 10]}
/>

### Translasi Vertikal

Fungsi <InlineMath math="f(x) = \sqrt{x} + k" /> menggeser grafik fungsi akar dasar sejauh <InlineMath math="k" /> satuan ke atas (jika <InlineMath math="k > 0" />) atau ke bawah (jika <InlineMath math="k < 0" />).

| Fungsi                                    | Transformasi            | Domain                         | Range                           |
| ----------------------------------------- | ----------------------- | ------------------------------ | ------------------------------- |
| <InlineMath math="f(x) = \sqrt{x}" />     | Fungsi dasar            | <InlineMath math="x \geq 0" /> | <InlineMath math="y \geq 0" />  |
| <InlineMath math="f(x) = \sqrt{x} + 2" /> | Geser 2 satuan ke atas  | <InlineMath math="x \geq 0" /> | <InlineMath math="y \geq 2" />  |
| <InlineMath math="f(x) = \sqrt{x} - 3" /> | Geser 3 satuan ke bawah | <InlineMath math="x \geq 0" /> | <InlineMath math="y \geq -3" /> |

### Dilatasi

Fungsi <InlineMath math="f(x) = a\sqrt{x}" /> dengan <InlineMath math="a > 0" /> menyebabkan dilatasi vertikal pada grafik fungsi akar.

<LineEquation
  title="Dilatasi Vertikal Fungsi Akar"
  description={
    <>
      Perbandingan <InlineMath math="f(x) = \sqrt{x}" />,{" "}
      <InlineMath math="g(x) = 2\sqrt{x}" />, dan{" "}
      <InlineMath math="h(x) = \frac{1}{2}\sqrt{x}" />.
    </>
  }
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const x = i * 0.5;
        return { x, y: Math.sqrt(x), z: 0 };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "√x", at: 5, offset: [0, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const x = i * 0.5;
        return { x, y: 2 * Math.sqrt(x), z: 0 };
      }),
      color: getColor("EMERALD"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "2√x", at: 10, offset: [0, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
        const x = i * 0.5;
        return { x, y: 0.5 * Math.sqrt(x), z: 0 };
      }),
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "½√x", at: 10, offset: [0, 0.5, 0] }],
    },
  ]}
  showZAxis={false}
  cameraPosition={[10, 6, 10]}
/>

## Fungsi Akar Bentuk Umum

Bentuk umum fungsi akar yang mengalami transformasi adalah:

<BlockMath math="f(x) = a\sqrt{b(x-h)} + k" />

Di mana:

- <InlineMath math="a" /> menentukan dilatasi vertikal dan refleksi (jika <InlineMath math="a < 0" />
  )
- <InlineMath math="b" /> menentukan dilatasi horizontal
- <InlineMath math="h" /> menentukan translasi horizontal
- <InlineMath math="k" /> menentukan translasi vertikal

**Langkah-langkah menggambar grafik:**

| Langkah | Tindakan            | Contoh: <InlineMath math="f(x) = 2\sqrt{x-1} + 3" />                                           |
| ------- | ------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------- |
| 1       | Tentukan titik awal | <InlineMath math="x-1 = 0 \Rightarrow x = 1" />, <InlineMath math="f(1) = 3" />, Titik: (1, 3) |
| 2       | Tentukan domain     | <InlineMath math="x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1" />                                          |
| 3       | Buat tabel nilai    | Pilih beberapa nilai <InlineMath math="x \geq 1" />                                            |
| 4       | Hitung nilai fungsi | Untuk <InlineMath math="x = 2" />: <InlineMath math="f(2) = 2\sqrt{1} + 3 = 5" />              |
| 5       | Plot titik-titik    | Plot (1,3), (2,5), (5,7), dst.                                                                 |
| 6       | Hubungkan titik     | Buat kurva mulus melalui titik-titik                                                           |

## Persamaan Fungsi Akar

Untuk menyelesaikan persamaan yang melibatkan fungsi akar, ikuti langkah-langkah berikut:

| Langkah | Penjelasan            | Contoh: <InlineMath math="\sqrt{2x+3} = 5" />          |
| ------- | --------------------- | ------------------------------------------------------ |
| 1       | Isolasi akar          | Sudah terisolasi                                       |
| 2       | Kuadratkan kedua ruas | <InlineMath math="(\sqrt{2x+3})^2 = 5^2" />            |
| 3       | Sederhanakan          | <InlineMath math="2x+3 = 25" />                        |
| 4       | Selesaikan            | <InlineMath math="2x = 22 \Rightarrow x = 11" />       |
| 5       | Verifikasi            | <InlineMath math="\sqrt{2(11)+3} = \sqrt{25} = 5" /> ✓ |

## Pertidaksamaan Fungsi Akar

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan fungsi akar, perhatikan domain dan sifat fungsi akar.

**Contoh:** Selesaikan <InlineMath math="\sqrt{x-1} < 3" />

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\text{Syarat: } x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1" />
  <BlockMath math="\sqrt{x-1} < 3" />
  <BlockMath math="x-1 < 9" />
  <BlockMath math="x < 10" />
</div>

Dengan menggabungkan syarat domain: <InlineMath math="1 \leq x < 10" />

## Latihan Soal

1. Tentukan domain dan range dari fungsi <InlineMath math="f(x) = \sqrt{3x-6}" />

2. Gambarkan grafik fungsi <InlineMath math="g(x) = -\sqrt{x+4} + 2" />

3. Selesaikan persamaan <InlineMath math="\sqrt{x+5} + \sqrt{x} = 5" />

4. Sebuah roket diluncurkan vertikal. Ketinggiannya setelah <InlineMath math="t" /> detik diberikan oleh <InlineMath math="h(t) = 100\sqrt{t}" /> meter. Berapa ketinggian roket setelah 9 detik?

5. Tentukan nilai <InlineMath math="x" /> yang memenuhi <InlineMath math="2\sqrt{x-3} \geq 6" />

### Kunci Jawaban

1. Domain: <InlineMath math="D_f = \{x \mid x \geq 2, x \in \mathbb{R}\}" />

   Range: <InlineMath math="R_f = \{y \mid y \geq 0, y \in \mathbb{R}\}" />

2. **Menggambar grafik** <InlineMath math="g(x) = -\sqrt{x+4} + 2" />

   **Langkah-langkah menggambar:**

   | Langkah | Penjelasan                | Detail untuk <InlineMath math="g(x) = -\sqrt{x+4} + 2" />                                                                                                             |
   | ------- | ------------------------- | --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
   | 1       | Identifikasi transformasi | <InlineMath math="a = -1" /> (refleksi terhadap sumbu x), <InlineMath math="h = -4" /> (geser 4 satuan ke kiri), <InlineMath math="k = 2" /> (geser 2 satuan ke atas) |
   | 2       | Tentukan titik awal       | <InlineMath math="x+4 = 0 \Rightarrow x = -4" />, <InlineMath math="g(-4) = 0 + 2 = 2" />, Titik awal: (-4, 2)                                                        |
   | 3       | Tentukan domain           | <InlineMath math="x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4" />                                                                                                                |
   | 4       | Tentukan range            | Karena <InlineMath math="a = -1 < 0" />, grafik turun dari titik awal, sehingga <InlineMath math="y \leq 2" />                                                        |
   | 5       | Buat tabel nilai          | Pilih nilai <InlineMath math="x \geq -4" />                                                                                                                           |

   **Tabel nilai:**

   | <InlineMath math="x" /> | <InlineMath math="x+4" /> | <InlineMath math="\sqrt{x+4}" /> | <InlineMath math="-\sqrt{x+4}" /> | <InlineMath math="g(x) = -\sqrt{x+4} + 2" /> |
   | ----------------------- | ------------------------- | -------------------------------- | --------------------------------- | -------------------------------------------- |
   | -4                      | 0                         | 0                                | 0                                 | 2                                            |
   | -3                      | 1                         | 1                                | -1                                | 1                                            |
   | 0                       | 4                         | 2                                | -2                                | 0                                            |
   | 5                       | 9                         | 3                                | -3                                | -1                                           |
   | 12                      | 16                        | 4                                | -4                                | -2                                           |

   <LineEquation
     title={
       <>
         Grafik <InlineMath math="g(x) = -\sqrt{x+4} + 2" />
       </>
     }
     description="Grafik fungsi akar yang mengalami refleksi terhadap sumbu x dan translasi."
     data={[
       {
         points: Array.from({ length: 21 }, (_, i) => {
           const x = -4 + i * 0.8;
           const y = -Math.sqrt(x + 4) + 2;
           return { x, y, z: 0 };
         }),
         color: getColor("VIOLET"),
         showPoints: false,
         labels: [
           { text: "g(x) = -√(x+4) + 2", at: 8, offset: [0, -1, 0] },
           { text: "(-4, 2)", at: 0, offset: [0.5, 0.5, 0] },
         ],
       },
     ]}
     showZAxis={false}
     cameraPosition={[10, 6, 10]}
   />

3. <InlineMath math="x = 4" /> (Misalkan <InlineMath math="u = \sqrt{x}" /> dan <InlineMath math="v = \sqrt{x+5}" />
   )

4. <InlineMath math="h(9) = 100\sqrt{9} = 100 \times 3 = 300" /> meter

5. <InlineMath math="x \geq 12" /> (dari <InlineMath math="\sqrt{x-3} \geq 3" /> dan
   syarat <InlineMath math="x \geq 3" />)
