# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/function-modeling/trigonometric-identity
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/function-modeling/trigonometric-identity/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { UnitCircle } from "@repo/design-system/components/contents/unit-circle";
import { Triangle } from "@repo/design-system/components/contents/triangle";

export const metadata = {
  title: "Identitas Trigonometri",
  description: "Pelajari identitas trigonometri dengan pembuktian langkah demi langkah. Kuasai identitas Pythagoras, kebalikan & hasil bagi untuk menyelesaikan soal.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/18/2025",
  subject: "Fungsi dan Pemodelannya",
};

## Mengenal Identitas Trigonometri

Pernahkah kalian memperhatikan bahwa beberapa persamaan matematika selalu benar untuk setiap nilai variabelnya? Misalnya, <InlineMath math="(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2" /> selalu benar untuk sembarang nilai a dan b. Persamaan seperti ini disebut identitas.

Dalam trigonometri, kita juga memiliki persamaan-persamaan yang selalu benar untuk setiap nilai sudutnya. Inilah yang disebut **identitas trigonometri**. Identitas ini sangat berguna untuk menyederhanakan ekspresi trigonometri dan menyelesaikan persamaan.

## Identitas Trigonometri Dasar

### Identitas Pythagoras

Mari kita mulai dengan identitas paling fundamental. Perhatikan lingkaran satuan dengan titik <InlineMath math="P(x, y)" /> yang membentuk sudut <InlineMath math="\theta" /> dengan sumbu x positif.

<UnitCircle
  title="Lingkaran Satuan dan Identitas Pythagoras"
  description="Perhatikan bagaimana koordinat titik P berubah saat sudut berubah. Koordinat ini adalah nilai cos θ dan sin θ."
  angle={45}
/>

Pada lingkaran satuan:

- Jari-jari = 1
- Koordinat x = <InlineMath math="\cos \theta" />
- Koordinat y = <InlineMath math="\sin \theta" />

Menggunakan teorema Pythagoras untuk titik P:

<BlockMath math="x^2 + y^2 = 1^2" />

Substitusi nilai x dan y:

<BlockMath math="(\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2 = 1" />

Atau dapat ditulis:

<BlockMath math="\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1" />

Inilah **identitas Pythagoras**, identitas paling mendasar dalam trigonometri.

**Bentuk Lain Identitas Pythagoras:**

Dari identitas dasar di atas, kita dapat menurunkan dua bentuk lain:

**Bentuk kedua:** Bagi kedua ruas dengan <InlineMath math="\cos^2 \theta" /> (untuk <InlineMath math="\cos \theta \neq 0" />)

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}" />
  <BlockMath math="\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta" />
</div>

**Bentuk ketiga:** Bagi kedua ruas dengan <InlineMath math="\sin^2 \theta" /> (untuk <InlineMath math="\sin \theta \neq 0" />)

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}" />
  <BlockMath math="1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta" />
</div>

### Identitas Kebalikan

Setiap fungsi trigonometri memiliki kebalikannya. Hubungan ini membentuk identitas kebalikan:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\sin \theta = \frac{1}{\csc \theta}" />
  <BlockMath math="\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}" />
  <BlockMath math="\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta}" />
</div>

Atau dalam bentuk sebaliknya:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta}" />
  <BlockMath math="\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}" />
  <BlockMath math="\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}" />
</div>

### Identitas Hasil Bagi

Identitas hasil bagi menghubungkan tangen dan kotangen dengan sinus dan kosinus:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}" />
  <BlockMath math="\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}" />
  <Triangle
    title="Visualisasi Fungsi Trigonometri"
    description="Amati bagaimana perbandingan sisi-sisi segitiga memberikan nilai sin, cos, dan tan. Perhatikan juga bagaimana nilai-nilai ini berubah saat sudut berubah."
    angle={30}
    labels={{
      opposite: "Sisi Depan",
      adjacent: "Sisi Samping",
      hypotenuse: "Sisi Miring",
    }}
  />
</div>

Kedua identitas ini dapat dibuktikan langsung dari definisi fungsi trigonometri pada lingkaran satuan.

### Identitas Fungsi Genap dan Ganjil

Ketika sudut bernilai negatif, fungsi trigonometri memiliki sifat khusus:

**Fungsi genap (simetri terhadap sumbu y):**

<BlockMath math="\cos(-\theta) = \cos \theta" />

**Fungsi ganjil (simetri terhadap titik asal):**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\sin(-\theta) = -\sin \theta" />
  <BlockMath math="\tan(-\theta) = -\tan \theta" />
  <UnitCircle
    title="Eksplorasi Sifat Genap dan Ganjil"
    description="Coba geser sudut ke nilai negatif dan positif. Perhatikan bagaimana nilai cos, sin, dan tan berubah untuk sudut yang berlawanan."
    angle={60}
  />
</div>

## Menggunakan Identitas dalam Pembuktian

Mari kita lihat bagaimana identitas trigonometri digunakan untuk membuktikan persamaan lain.

### Menyederhanakan Ekspresi

Sederhanakan <InlineMath math="\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta" />

**Penyelesaian:**

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \cos \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta}" />
  <BlockMath math="= \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\cos \theta}" />
  <BlockMath math="= \frac{1}{\cos \theta} \quad \text{(menggunakan identitas Pythagoras)}" />
  <BlockMath math="= \sec \theta" />
</div>

### Membuktikan Identitas

Buktikan bahwa <InlineMath math="\frac{1 + \tan^2 \theta}{\sec \theta} = \sec \theta" />

**Penyelesaian:**

Kita mulai dari ruas kiri:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\frac{1 + \tan^2 \theta}{\sec \theta} = \frac{\sec^2 \theta}{\sec \theta} \quad \text{(menggunakan } 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \text{)}" />
  <BlockMath math="= \sec \theta" />
</div>

Terbukti bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan.

## Menentukan Nilai Fungsi Trigonometri

Identitas trigonometri sangat berguna untuk menentukan nilai semua fungsi trigonometri jika diketahui salah satunya.

### Aplikasi Identitas

Jika <InlineMath math="\sin \theta = \frac{3}{5}" /> dan <InlineMath math="90° < \theta < 180°" /> (kuadran II), tentukan nilai fungsi trigonometri lainnya.

**Penyelesaian:**

Gunakan identitas Pythagoras untuk mencari <InlineMath math="\cos \theta" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1" />
  <BlockMath math="\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 \theta = 1" />
  <BlockMath math="\frac{9}{25} + \cos^2 \theta = 1" />
  <BlockMath math="\cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}" />
  <BlockMath math="\cos \theta = \pm \frac{4}{5}" />
</div>

Karena <InlineMath math="\theta" /> di kuadran II, maka <InlineMath math="\cos \theta < 0" />.
Jadi, <InlineMath math="\cos \theta = -\frac{4}{5}" />

Selanjutnya, hitung fungsi trigonometri lainnya:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}" />
  <BlockMath math="\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{5}{3}" />
  <BlockMath math="\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = -\frac{5}{4}" />
  <BlockMath math="\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = -\frac{4}{3}" />
</div>

## Latihan

1. Sederhanakan ekspresi <InlineMath math="\frac{\tan \theta \cdot \cos \theta}{\sin \theta}" />

2. Buktikan identitas <InlineMath math="\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}" />

3. Jika <InlineMath math="\cos \theta = \frac{5}{13}" /> dan <InlineMath math="270° < \theta < 360°" />, tentukan nilai semua fungsi trigonometri.

4. Sederhanakan <InlineMath math="\sin^4 \theta - \cos^4 \theta" />

5. Jika <InlineMath math="\tan \theta = \frac{4}{3}" /> dan <InlineMath math="\sin \theta < 0" />, tentukan nilai <InlineMath math="\sin \theta" /> dan <InlineMath math="\cos \theta" />.

### Kunci Jawaban

1. Mari sederhanakan langkah demi langkah:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="\frac{\tan \theta \cdot \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \cdot \cos \theta}{\sin \theta}" />
     <BlockMath math="= \frac{\sin \theta}{\sin \theta} = 1" />
   </div>

2. Untuk membuktikan identitas, kita akan mengubah ruas kiri:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="\frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \cdot \frac{1 - \cos \theta}{1 - \cos \theta}" />
     <BlockMath math="= \frac{\sin \theta (1 - \cos \theta)}{(1 + \cos \theta)(1 - \cos \theta)}" />
     <BlockMath math="= \frac{\sin \theta (1 - \cos \theta)}{1 - \cos^2 \theta}" />
     <BlockMath math="= \frac{\sin \theta (1 - \cos \theta)}{\sin^2 \theta}" />
     <BlockMath math="= \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}" />
   </div>

3. Diketahui <InlineMath math="\cos \theta = \frac{5}{13}" /> di kuadran IV.

   Mencari <InlineMath math="\sin \theta" />:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}" />
     <BlockMath math="\sin \theta = -\frac{12}{13} \text{ (negatif di kuadran IV)}" />
   </div>

   Fungsi trigonometri lainnya:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="\tan \theta = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5}" />
     <BlockMath math="\csc \theta = -\frac{13}{12}" />
     <BlockMath math="\sec \theta = \frac{13}{5}" />
     <BlockMath math="\cot \theta = -\frac{5}{12}" />
   </div>

4. Gunakan pemfaktoran selisih kuadrat:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="\sin^4 \theta - \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta)^2 - (\cos^2 \theta)^2" />
     <BlockMath math="= (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)" />
     <BlockMath math="= 1 \cdot (\sin^2 \theta - \cos^2 \theta)" />
     <BlockMath math="= \sin^2 \theta - \cos^2 \theta" />
   </div>

5. Diketahui <InlineMath math="\tan \theta = \frac{4}{3}" /> dan <InlineMath math="\sin \theta < 0" />.

   Karena <InlineMath math="\tan \theta > 0" /> dan <InlineMath math="\sin \theta < 0" />, maka <InlineMath math="\cos \theta < 0" /> (kuadran III).

   Gunakan identitas <InlineMath math="1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta" />:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="1 + \frac{16}{9} = \sec^2 \theta" />
     <BlockMath math="\sec^2 \theta = \frac{25}{9}" />
     <BlockMath math="\sec \theta = -\frac{5}{3} \text{ (negatif di kuadran III)}" />
     <BlockMath math="\cos \theta = -\frac{3}{5}" />
   </div>

   Untuk <InlineMath math="\sin \theta" />:

   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}" />
     <BlockMath math="\frac{4}{3} = \frac{\sin \theta}{-3/5}" />
     <BlockMath math="\sin \theta = \frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{4}{5}" />
   </div>
