# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/geometric-transformation/composite-transformation-matrix
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/geometric-transformation/composite-transformation-matrix/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Matriks Transformasi Komposisi",
  description: "Pelajari cara menggabungkan transformasi geometri menggunakan matriks. Panduan lengkap refleksi, rotasi, dan dilatasi dengan contoh perhitungan detail.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/10/2025",
  subject: "Transformasi Geometri",
};

## Komposisi Transformasi dengan Menggunakan Matriks

Dalam geometri, transformasi adalah operasi yang memindahkan atau mengubah bentuk objek. Ketika beberapa transformasi diterapkan secara berurutan pada sebuah objek, ini disebut sebagai komposisi transformasi.

Kita dapat menggunakan matriks untuk merepresentasikan banyak transformasi geometri dan juga untuk mencari hasil dari komposisi transformasi tersebut.

Kita akan fokus pada transformasi-transformasi yang dapat direpresentasikan dengan matriks berordo <InlineMath math="2 \times 2" />. Sebagai contoh, pencerminan terhadap sumbu X dapat direpresentasikan oleh matriks <InlineMath math="\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}" />. Jika titik <InlineMath math="(x,y)" /> dicerminkan terhadap sumbu X, petanya dapat ditemukan dengan mengalikan matriks ini dengan vektor posisi titik: <InlineMath math="\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}" />.

Berikut adalah beberapa transformasi dasar beserta matriksnya yang sering digunakan dalam komposisi transformasi:

1.  Pencerminan terhadap sumbu X: <InlineMath math="\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}" />
2.  Pencerminan terhadap sumbu Y: <InlineMath math="\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}" />
3.  Pencerminan terhadap garis <InlineMath math="y=x" />: <InlineMath math="\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}" />
4.  Pencerminan terhadap garis <InlineMath math="y=-x" />: <InlineMath math="\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}" />
5.  Pencerminan terhadap titik pusat <InlineMath math="O(0,0)" /> (setara dengan rotasi <InlineMath math="180^\circ" />): <InlineMath math="\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}" />
6.  Rotasi terhadap titik asal <InlineMath math="(0,0)" /> sebesar sudut <InlineMath math="\theta" />: <InlineMath math="\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}" />
7.  Dilatasi terhadap titik asal <InlineMath math="(0,0)" /> dengan faktor skala <InlineMath math="k" />: <InlineMath math="\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}" />

### Mengoperasikan Komposisi Transformasi dengan Menggunakan Matriks

Komposisi transformasi berarti melakukan beberapa transformasi secara berurutan. Jika transformasi <InlineMath math="T_1" /> diikuti oleh transformasi <InlineMath math="T_2" />, kita menotasikannya sebagai <InlineMath math="T_2 \circ T_1" />. Artinya, <InlineMath math="T_1" /> diterapkan terlebih dahulu, kemudian hasilnya ditransformasikan oleh <InlineMath math="T_2" />.

Misalkan matriks yang bersesuaian dengan <InlineMath math="T_1" /> adalah <InlineMath math="M_1" />, dan matriks yang bersesuaian dengan <InlineMath math="T_2" /> adalah <InlineMath math="M_2" />. Untuk mencari peta dari titik <InlineMath math="P(x,y)" /> oleh komposisi <InlineMath math="T_2 \circ T_1" />, ada dua cara yang ekuivalen:

1.  **Menerapkan Transformasi secara Berurutan pada Titik:**

    - Hitung peta <InlineMath math="P'(x',y')" /> dari <InlineMath math="P(x,y)" /> oleh <InlineMath math="T_1" />: <InlineMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}" />.
    - Kemudian, hitung peta <InlineMath math="P''(x'',y'')" /> dari <InlineMath math="P'(x',y')" /> oleh <InlineMath math="T_2" />: <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M_2 \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}" />.

    Jika kita substitusikan langkah (a) ke (b), kita dapatkan: <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M_2 \left( M_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right)" />.

2.  **Mencari Matriks Komposisi Terlebih Dahulu:**

    - Tentukan matriks <InlineMath math="M" /> yang merepresentasikan komposisi transformasi <InlineMath math="T_2 \circ T_1" />. Matriks ini adalah hasil perkalian <InlineMath math="M_2 M_1" />.

      **Perhatikan urutannya:** matriks transformasi kedua (<InlineMath math="M_2" />) dikalikan dari kiri dengan matriks transformasi pertama (<InlineMath math="M_1" />).

    - Hitung peta <InlineMath math="P''(x'',y'')" /> dari <InlineMath math="P(x,y)" /> menggunakan matriks komposisi <InlineMath math="M" />: <InlineMath math="\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = (M_2 M_1) \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}" />.

Kedua cara ini menghasilkan peta akhir yang sama karena sifat asosiatif perkalian matriks, yaitu <InlineMath math="M_2 (M_1 P) = (M_2 M_1) P" />, di mana <InlineMath math="P" /> adalah vektor kolom <InlineMath math="\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}" />.

**Contoh Ilustratif:**

Misalkan <InlineMath math="T_1" /> adalah pencerminan terhadap sumbu Y, dan <InlineMath math="T_2" /> adalah rotasi terhadap titik asal <InlineMath math="O" /> sebesar <InlineMath math="\frac{1}{2}\pi" /> radian (<InlineMath math="90^\circ" />). Kita ingin mencari peta titik <InlineMath math="P(x,y)" /> oleh <InlineMath math="T_2 \circ T_1" />.

Matriks untuk <InlineMath math="T_1" /> (pencerminan sumbu Y) adalah <InlineMath math="M_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}" />.

Matriks untuk <InlineMath math="T_2" /> (rotasi <InlineMath math="90^\circ" />) adalah <InlineMath math="M_2 = \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}" />.

**Cara 1: Transformasi Berurutan pada Titik**

- Peta <InlineMath math="P(x,y)" /> oleh <InlineMath math="T_1" />:

  <BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M_1 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix}" />

  Jadi <InlineMath math="P'(-x,y)" />.

- Peta <InlineMath math="P'(-x,y)" /> oleh <InlineMath math="T_2" />:

  <BlockMath math="\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M_2 \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(-x)+(-1)(y) \\ (1)(-x)+(0)(y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}" />

- Peta akhirnya adalah <InlineMath math="P''(-y,-x)" />.

**Cara 2: Matriks Komposisi Terlebih Dahulu**

- Matriks komposisi <InlineMath math="M = M_2 M_1" />:

  <BlockMath math="M = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(-1)+(-1)(0) & (0)(0)+(-1)(1) \\ (1)(-1)+(0)(0) & (1)(0)+(0)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}" />

- Peta <InlineMath math="P(x,y)" /> oleh <InlineMath math="M" />:

  <BlockMath math="\begin{pmatrix} x'' \\ y'' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(x)+(-1)(y) \\ (-1)(x)+(0)(y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ -x \end{pmatrix}" />

- Peta akhirnya adalah <InlineMath math="P''(-y,-x)" />.

Kedua cara memberikan hasil yang sama. Menggunakan matriks komposisi (<InlineMath math="M_2 M_1" />) seringkali lebih efisien jika kita perlu mentransformasikan banyak titik dengan komposisi yang sama.

## Aturan Matriks Komposisi

Misal, matriks yang berkaitan dengan transformasi <InlineMath math="T_1" /> dan <InlineMath math="T_2" /> berturut-turut adalah <InlineMath math="M_1 = \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}" /> dan <InlineMath math="M_2 = \begin{pmatrix} t & u \\ v & w \end{pmatrix}" />.

Maka, matriks yang terkait dengan komposisi transformasi <InlineMath math="T_2 \circ T_1" /> (Transformasi <InlineMath math="T_1" /> dilanjutkan dengan <InlineMath math="T_2" />) adalah <InlineMath math="M_2 M_1 = \begin{pmatrix} t & u \\ v & w \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}" />.

Ingat bahwa urutan perkalian matriks penting. Matriks untuk transformasi yang dilakukan lebih dulu (<InlineMath math="M_1" />) ditulis di sebelah kanan.

## Contoh Penerapan

### Komposisi Dua Pencerminan

Tentukan peta dari titik <InlineMath math="(2,5)" /> yang dicerminkan terhadap sumbu X dan kemudian dicerminkan terhadap sumbu Y.

**Alternatif Penyelesaian:**

Misalkan <InlineMath math="T_1" /> adalah pencerminan terhadap sumbu X, dan <InlineMath math="T_2" /> adalah pencerminan terhadap sumbu Y.

Matriks <InlineMath math="T_1" /> (<InlineMath math="M_1" />) adalah <InlineMath math="\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}" />.

Matriks <InlineMath math="T_2" /> (<InlineMath math="M_2" />) adalah <InlineMath math="\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}" />.

Komposisi transformasi <InlineMath math="T_2 \circ T_1" /> memiliki matriks <InlineMath math="M = M_2 M_1" />.

<BlockMath math="M = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(1)+(0)(0) & (-1)(0)+(0)(-1) \\ (0)(1)+(1)(0) & (0)(0)+(1)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}" />

Peta dari titik <InlineMath math="(2,5)" /> adalah:

<BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(2)+(0)(5) \\ (0)(2)+(-1)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix}" />

Jadi, peta titiknya adalah <InlineMath math="(-2,-5)" />.

### Komposisi Refleksi dan Rotasi

Tentukan peta dari titik <InlineMath math="(-2,3)" /> yang ditransformasikan oleh komposisi dari refleksi sumbu Y yang dilanjutkan dengan rotasi <InlineMath math="180^\circ" /> terhadap titik asal.

**Alternatif Penyelesaian:**

Misalkan <InlineMath math="T_1" /> adalah refleksi sumbu Y, dan <InlineMath math="T_2" /> adalah rotasi <InlineMath math="180^\circ" /> terhadap titik asal.

Matriks <InlineMath math="T_1" /> (<InlineMath math="M_1" />) adalah <InlineMath math="\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}" />.

Matriks <InlineMath math="T_2" /> (<InlineMath math="M_2" />) adalah <InlineMath math="\begin{pmatrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}" />.

Komposisi transformasi <InlineMath math="T_2 \circ T_1" /> memiliki matriks <InlineMath math="M = M_2 M_1" />.

<BlockMath math="M = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1)+(0)(0) & (-1)(0)+(0)(1) \\ (0)(-1)+(-1)(0) & (0)(0)+(-1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}" />

Peta dari titik <InlineMath math="(-2,3)" /> adalah:

<BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(-2)+(0)(3) \\ (0)(-2)+(-1)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -3 \end{pmatrix}" />

Jadi, peta titiknya adalah <InlineMath math="(-2,-3)" />.

### Komposisi Tiga Transformasi

Misalkan, kalian ingin melakukan tiga buah transformasi pada sebuah titik <InlineMath math="P(2,5)" />, yakni refleksi terhadap sumbu X, rotasi <InlineMath math="90^\circ" /> terhadap titik asal, dan setengah putar (<InlineMath math="180^\circ" /> rotasi terhadap titik asal). Tentukan petanya!

**Alternatif Penyelesaian:**

Misalkan:

- <InlineMath math="T_1" />: Refleksi terhadap sumbu X.

  Matriks <InlineMath math="M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}" />

- <InlineMath math="T_2" />: Rotasi <InlineMath math="90^\circ" /> terhadap
  titik asal.

  Matriks <InlineMath math="M_2 = \begin{pmatrix} \cos 90^\circ & -\sin 90^\circ \\ \sin 90^\circ & \cos 90^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}" />

- <InlineMath math="T_3" />: Setengah putar (<InlineMath math="180^\circ" /> rotasi
  terhadap titik asal).

  Matriks <InlineMath math="M_3 = \begin{pmatrix} \cos 180^\circ & -\sin 180^\circ \\ \sin 180^\circ & \cos 180^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}" />

Komposisi transformasi adalah <InlineMath math="T_3 \circ T_2 \circ T_1" />. Matriksnya adalah <InlineMath math="M = M_3 M_2 M_1" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="M_2 M_1 = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(1)+(-1)(0) & (0)(0)+(-1)(-1) \\ (1)(1)+(0)(0) & (1)(0)+(0)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}" />
  <BlockMath math="M = M_3 (M_2 M_1) = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(0)+(0)(1) & (-1)(1)+(0)(0) \\ (0)(0)+(-1)(1) & (0)(1)+(-1)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}" />
</div>

Peta dari <InlineMath math="P(2,5)" /> adalah:

<BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(2)+(-1)(5) \\ (-1)(2)+(0)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \end{pmatrix}" />

Jadi, peta titiknya adalah <InlineMath math="(-5,-2)" />.

## Latihan

Misalkan, kita ingin melakukan tiga buah transformasi pada sebuah titik <InlineMath math="P(2,5)" />, yakni refleksi terhadap sumbu Y, rotasi <InlineMath math="180^\circ" /> terhadap titik asal, dan pencerminan terhadap garis <InlineMath math="y=x" />. Tentukan petanya!

### Kunci Jawaban

Misalkan:

- <InlineMath math="T_1" />: Refleksi terhadap sumbu Y.

  Matriks <InlineMath math="M_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}" />.

- <InlineMath math="T_2" />: Rotasi <InlineMath math="180^\circ" /> terhadap
  titik asal.

  Matriks <InlineMath math="M_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}" />.

- <InlineMath math="T_3" />: Pencerminan terhadap garis <InlineMath math="y=x" />
  .

  Matriks <InlineMath math="M_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}" />

Komposisi transformasi adalah <InlineMath math="T_3 \circ T_2 \circ T_1" />. Matriksnya adalah <InlineMath math="M = M_3 M_2 M_1" />.

**Langkah 1:** Hitung <InlineMath math="M_2 M_1" />.

<BlockMath math="M_2 M_1 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)(-1)+(0)(0) & (-1)(0)+(0)(1) \\ (0)(-1)+(-1)(0) & (0)(0)+(-1)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}" />

**Langkah 2:** Hitung <InlineMath math="M = M_3 (M_2 M_1)" />.

<BlockMath math="M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(1)+(1)(0) & (0)(0)+(1)(-1) \\ (1)(1)+(0)(0) & (1)(0)+(0)(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}" />

Peta dari <InlineMath math="P(2,5)" /> adalah:

<BlockMath math="\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (0)(2)+(-1)(5) \\ (1)(2)+(0)(5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}" />

Jadi, peta titiknya adalah <InlineMath math="(-5,2)" />.
