# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/geometric-transformation/reflection-over-point
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/geometric-transformation/reflection-over-point/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";
import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";

export const metadata = {
  title: "Pencerminan terhadap Titik",
  description: "Kuasai pencerminan titik (rotasi 180°). Pelajari transformasi setengah putar menggunakan rumus koordinat dengan contoh dan visualisasi lengkap.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/10/2025",
  subject: "Transformasi Geometri",
};

## Memahami Pencerminan terhadap Titik

Pencerminan terhadap titik, sering juga disebut rotasi setengah putar (<InlineMath math="180^\circ" />), adalah transformasi geometri di mana setiap titik pada objek dipetakan ke posisi baru sedemikian rupa sehingga titik pusat pencerminan menjadi titik tengah antara titik asli dan bayangannya.

Misalkan titik pusat pencerminan adalah <InlineMath math="P(a,b)" />. Jika sebuah titik <InlineMath math="Q(x,y)" /> dicerminkan terhadap titik <InlineMath math="P" />, maka bayangannya <InlineMath math="Q'(x',y')" /> akan berada pada garis yang melalui <InlineMath math="Q" /> dan <InlineMath math="P" />, dengan <InlineMath math="P" /> sebagai titik tengah segmen <InlineMath math="QQ'" />.

### Aturan Pencerminan terhadap Titik

Jika sebuah titik <InlineMath math="Q(x, y)" /> dicerminkan terhadap titik <InlineMath math="P(a, b)" />, maka koordinat bayangannya, <InlineMath math="Q'(x', y')" />, ditentukan oleh rumus:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x' = 2a - x" />
  <BlockMath math="y' = 2b - y" />
</div>

Atau bisa juga ditulis:

<BlockMath math="Q'(-x + 2a, -y + 2b)" />

Ini berarti koordinat x bayangan adalah dua kali koordinat x pusat dikurangi koordinat x asli, dan hal yang sama berlaku untuk koordinat y.

## Mencerminkan Titik terhadap Titik Lain

Tentukan titik peta dari setengah putar <InlineMath math="\sigma_{(2,3)}" /> untuk titik <InlineMath math="(5, 4)" />.

Ini berarti kita mencerminkan titik <InlineMath math="Q(5,4)" /> terhadap titik pusat <InlineMath math="P(2,3)" />.

Di sini, <InlineMath math="x=5" />, <InlineMath math="y=4" />, <InlineMath math="a=2" />, dan <InlineMath math="b=3" />.

Menggunakan rumus:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x' = 2a - x = 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1" />
  <BlockMath math="y' = 2b - y = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2" />
</div>

Jadi, bayangan titik <InlineMath math="(5,4)" /> adalah <InlineMath math="(-1,2)" />.

<LineEquation
  title={
    <>
      Peta Titik <InlineMath math="Q(5,4)" /> terhadap Titik{" "}
      <InlineMath math="P(2,3)" />
    </>
  }
  description={
    <>
      Visualisasi pencerminan titik <InlineMath math="Q(5,4)" /> terhadap titik
      pusat <InlineMath math="P(2,3)" /> menghasilkan{" "}
      <InlineMath math="Q'(-1,2)" />.
    </>
  }
  data={[
    {
      points: [{ x: 2, y: 3, z: 0 }],
      color: getColor("ROSE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "P(2,3) - Pusat", at: 0, offset: [1.5, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [{ x: 5, y: 4, z: 0 }],
      color: getColor("SKY"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "Q(5,4) - Asli", at: 0, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [{ x: -1, y: 2, z: 0 }],
      color: getColor("EMERALD"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "Q'(-1,2) - Bayangan", at: 0, offset: [-0.7, -0.5, 0] }],
    },
    {
      points: [
        { x: 5, y: 4, z: 0 },
        { x: -1, y: 2, z: 0 },
      ],
      color: getColor("PINK"),
    }, // Garis penghubung Q ke Q'
  ]}
  showZAxis={false}
/>

## Mencerminkan Garis terhadap Titik

Tentukan titik peta dari setengah putar <InlineMath math="\sigma_{(1,3)}" /> untuk garis <InlineMath math="l" /> dengan persamaan <InlineMath math="2x - y + 3 = 0" />.

Ambil sembarang titik <InlineMath math="(x,y)" /> pada garis <InlineMath math="l" />. Bayangannya, <InlineMath math="(x',y')" />, setelah dicerminkan terhadap titik <InlineMath math="P(1,3)" /> adalah:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x' = 2(1) - x = 2 - x \implies x = 2 - x'" />
  <BlockMath math="y' = 2(3) - y = 6 - y \implies y = 6 - y'" />
</div>

Substitusikan <InlineMath math="x = 2 - x'" /> dan <InlineMath math="y = 6 - y'" /> ke dalam persamaan garis <InlineMath math="l" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="2(2 - x') - (6 - y') + 3 = 0" />
  <BlockMath math="4 - 2x' - 6 + y' + 3 = 0" />
  <BlockMath math="-2x' + y' + 1 = 0" />
</div>

Mengganti <InlineMath math="x'" /> dan <InlineMath math="y'" /> kembali ke <InlineMath math="x" /> dan <InlineMath math="y" />, persamaan garis bayangan <InlineMath math="l'" /> adalah:

<BlockMath math="-2x + y + 1 = 0" />

Atau bisa ditulis sebagai <InlineMath math="2x - y - 1 = 0" />.

<LineEquation
  title={
    <>
      Peta Garis <InlineMath math="2x-y+3=0" /> terhadap Titik{" "}
      <InlineMath math="P(1,3)" />
    </>
  }
  description={
    <>
      Garis asli <InlineMath math="2x-y+3=0" /> dicerminkan terhadap titik{" "}
      <InlineMath math="P(1,3)" /> menghasilkan garis bayangan{" "}
      <InlineMath math="2x-y-1=0" />.
    </>
  }
  data={[
    {
      points: [{ x: 1, y: 3, z: 0 }],
      color: getColor("ROSE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "P(1,3) - Pusat", at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
    },
    {
      // Garis Asli: 2x - y + 3 = 0  => y = 2x + 3
      points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
        const xVal = i - 5;
        return { x: xVal, y: 2 * xVal + 3, z: 0 };
      }),
      color: getColor("SKY"),
      labels: [{ text: "2x-y+3=0", at: 5, offset: [-2, 0.5, 0] }],
    },
    {
      // Garis Bayangan: 2x - y - 1 = 0 => y = 2x - 1
      points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
        const xVal = i - 5;
        return { x: xVal, y: 2 * xVal - 1, z: 0 };
      }),
      color: getColor("EMERALD"),
      labels: [{ text: "2x-y-1=0", at: 5, offset: [2, -0.5, 0] }],
    },
  ]}
  showZAxis={false}
  cameraPosition={[1, 2, 15]}
/>

## Latihan

1.  Tentukan titik peta dari setengah putar <InlineMath math="\sigma_{(-2,3)}" /> untuk titik <InlineMath math="(3, -4)" />.
2.  Titik <InlineMath math="K(-5, 1)" /> dicerminkan terhadap titik asal <InlineMath math="O(0,0)" />. Tentukan koordinat bayangannya!
3.  Tentukan titik peta dari setengah putar <InlineMath math="\sigma_{(1,-3)}" /> untuk garis <InlineMath math="l" /> dengan persamaan <InlineMath math="2x + 5y + 6 = 0" />.

### Kunci Jawaban

1.  Pusat <InlineMath math="P(-2,3)" />, titik <InlineMath math="Q(3,-4)" />. Maka <InlineMath math="a=-2, b=3, x=3, y=-4" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="x' = 2a - x = 2(-2) - 3 = -4 - 3 = -7" />
      <BlockMath math="y' = 2b - y = 2(3) - (-4) = 6 + 4 = 10" />
    </div>

    Jadi, bayangan titik <InlineMath math="Q(3,-4)" /> adalah <InlineMath math="(-7,10)" />.

2.  Pusat <InlineMath math="O(0,0)" />, titik <InlineMath math="K(-5,1)" />. Maka <InlineMath math="a=0, b=0, x=-5, y=1" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="x' = 2(0) - (-5) = 0 + 5 = 5" />
      <BlockMath math="y' = 2(0) - 1 = 0 - 1 = -1" />
    </div>

    Jadi, bayangan titik <InlineMath math="K(-5,1)" /> adalah <InlineMath math="K'(5,-1)" />.

3.  Pusat <InlineMath math="P(1,-3)" />. Garis <InlineMath math="2x + 5y + 6 = 0" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="x' = 2(1) - x = 2 - x \implies x = 2 - x'" />
      <BlockMath math="y' = 2(-3) - y = -6 - y \implies y = -6 - y'" />
    </div>

    Substitusi ke persamaan garis:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="2(2 - x') + 5(-6 - y') + 6 = 0" />
      <BlockMath math="4 - 2x' - 30 - 5y' + 6 = 0" />
      <BlockMath math="-2x' - 5y' - 20 = 0" />
    </div>

    Persamaan garis bayangan: <InlineMath math="-2x - 5y - 20 = 0" /> atau <InlineMath math="2x + 5y + 20 = 0" />.
