# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/geometric-transformation/rotation
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/geometric-transformation/rotation/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";
import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";

export const metadata = {
  title: "Rotasi",
  description: "Pelajari transformasi rotasi geometri dengan rumus lengkap, contoh soal, dan visualisasi interaktif. Kuasai rotasi titik dan garis terhadap titik asal.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/10/2025",
  subject: "Transformasi Geometri",
};

## Memahami Rotasi

Rotasi, atau perputaran, adalah transformasi geometri yang memutar setiap titik suatu objek mengelilingi titik pusat tertentu sejauh sudut tertentu. Transformasi ini mempertahankan kongruensi (bentuk dan ukuran) objek, tetapi orientasinya dapat berubah.

Hal penting yang perlu diperhatikan dalam rotasi:

- **Titik Pusat Rotasi (C):** Titik tetap yang menjadi pusat perputaran.
- **Sudut Rotasi (<InlineMath math="\theta" />):** Besarnya perputaran. Jika sudut bernilai positif, rotasi dilakukan berlawanan arah jarum jam. Jika sudut bernilai negatif, rotasi dilakukan searah dengan jarum jam.

### Definisi Rotasi

Diketahui titik pusat <InlineMath math="C" /> dan sudut berarah <InlineMath math="\theta" />. Rotasi dengan titik pusat <InlineMath math="C" /> sebesar <InlineMath math="\theta" />, dinotasikan dengan <InlineMath math="\rho_{C,\theta}" /> atau <InlineMath math="R(C,\theta)" />, didefinisikan sebagai transformasi yang memetakan:

1. Titik <InlineMath math="C" /> ke dirinya sendiri (<InlineMath math="C'=C" />).
2. Sembarang titik <InlineMath math="P" /> ke titik <InlineMath math="P'" /> sedemikian sehingga <InlineMath math="CP = CP'" /> (jarak dari pusat ke titik sama dengan jarak dari pusat ke bayangan) dan sudut yang terbentuk oleh sinar <InlineMath math="\vec{CP}" /> dan <InlineMath math="\vec{CP'}" /> adalah <InlineMath math="\theta" />.

## Rotasi terhadap Titik Asal

Kasus khusus yang sering dibahas adalah rotasi terhadap titik asal <InlineMath math="O(0,0)" />.

Jika titik <InlineMath math="P(x,y)" /> dirotasikan terhadap titik asal <InlineMath math="O(0,0)" /> sebesar sudut <InlineMath math="\theta" />, maka koordinat bayangannya <InlineMath math="P'(x',y')" /> dapat dihitung menggunakan rumus berikut:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x' = x \cos \theta - y \sin \theta" />
  <BlockMath math="y' = x \sin \theta + y \cos \theta" />
</div>

## Merotasikan Sebuah Titik sebesar 90°

Sebuah titik <InlineMath math="B(0,4)" /> dirotasikan terhadap titik asal <InlineMath math="(0,0)" /> sebesar <InlineMath math="90^\circ" />. Tentukan titik bayangannya.

Di sini, <InlineMath math="x=0" />, <InlineMath math="y=4" />, dan <InlineMath math="\theta = 90^\circ" />.

Kita tahu <InlineMath math="\cos 90^\circ = 0" /> dan <InlineMath math="\sin 90^\circ = 1" />.

Menggunakan rumus:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x' = (0) \cos 90^\circ - (4) \sin 90^\circ = 0 \cdot 0 - 4 \cdot 1 = -4" />
  <BlockMath math="y' = (0) \sin 90^\circ + (4) \cos 90^\circ = 0 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 0" />
</div>

Jadi, bayangan titik <InlineMath math="B(0,4)" /> adalah <InlineMath math="B'(-4,0)" />.

<LineEquation
  title={
    <>
      Rotasi Titik <InlineMath math="B(0,4)" /> sebesar{" "}
      <InlineMath math="90^\circ" /> terhadap Titik Asal
    </>
  }
  description={
    <>
      Visualisasi rotasi titik <InlineMath math="B(0,4)" /> menjadi{" "}
      <InlineMath math="B'(-4,0)" /> sebesar <InlineMath math="90^\circ" />{" "}
      berlawanan arah jarum jam mengelilingi titik asal{" "}
      <InlineMath math="O(0,0)" />.
    </>
  }
  data={[
    {
      points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
      color: getColor("ROSE"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "O(0,0)", at: 0, offset: [0.3, -0.3, 0] }],
    }, // Titik Pusat Rotasi
    {
      points: [{ x: 0, y: 4, z: 0 }],
      color: getColor("SKY"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "B(0,4) - Asli", at: 0, offset: [0.3, 0.3, 0] }],
    }, // Titik Asli
    {
      points: [{ x: -4, y: 0, z: 0 }],
      color: getColor("EMERALD"),
      showPoints: true,
      labels: [{ text: "B'(-4,0) - Peta", at: 0, offset: [-0.7, 0.3, 0] }],
    }, // Titik Peta
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: 0, y: 4, z: 0 },
      ],
      color: getColor("PURPLE"),
    }, // Garis OB
    {
      points: [
        { x: 0, y: 0, z: 0 },
        { x: -4, y: 0, z: 0 },
      ],
      color: getColor("PURPLE"),
    }, // Garis OB'
  ]}
  showZAxis={false}
  cameraPosition={[2, 2, 15]}
/>

## Merotasikan Sebuah Garis sebesar 90°

Tentukan peta dari garis <InlineMath math="y=2x" /> yang dirotasikan terhadap titik asal <InlineMath math="(0,0)" /> sebesar <InlineMath math="90^\circ" />.

Ambil sembarang titik <InlineMath math="P(x,y)" /> pada garis <InlineMath math="y=2x" />. Bayangannya, <InlineMath math="P'(x',y')" />, setelah rotasi <InlineMath math="90^\circ" /> terhadap titik asal adalah:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x' = x \cos 90^\circ - y \sin 90^\circ = x(0) - y(1) = -y" />
  <BlockMath math="y' = x \sin 90^\circ + y \cos 90^\circ = x(1) + y(0) = x" />
</div>

Dari sini kita peroleh <InlineMath math="y = -x'" /> dan <InlineMath math="x = y'" />.

Substitusikan <InlineMath math="x = y'" /> dan <InlineMath math="y = -x'" /> ke dalam persamaan garis asli <InlineMath math="y=2x" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="(-x') = 2(y')" />
  <BlockMath math="-x' = 2y'" />
</div>

Mengganti <InlineMath math="x'" /> dan <InlineMath math="y'" /> kembali ke <InlineMath math="x" /> dan <InlineMath math="y" />, persamaan garis bayangan adalah <InlineMath math="-x = 2y" /> atau <InlineMath math="y = -\frac{1}{2}x" />.

<LineEquation
  title={
    <>
      Rotasi Garis <InlineMath math="y=2x" /> sebesar{" "}
      <InlineMath math="90^\circ" /> terhadap Titik Asal
    </>
  }
  description={
    <>
      Garis asli <InlineMath math="y=2x" /> dirotasikan{" "}
      <InlineMath math="90^\circ" /> menghasilkan garis bayangan{" "}
      <InlineMath math="y = -\frac{1}{2}x" />.
    </>
  }
  data={[
    {
      points: [{ x: 0, y: 0, z: 0 }],
      color: getColor("ROSE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "O(0,0)", at: 0, offset: [0.5, -0.5, 0] }],
    }, // Titik Pusat Rotasi
    {
      // Garis Asli: y = 2x
      points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
        const xVal = (i - 5) * 0.5; // range from -2.5 to 2.5
        return { x: xVal, y: 2 * xVal, z: 0 };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "y=2x", at: 6, offset: [1, 0.5, 0] }],
    },
    {
      // Garis Bayangan: y = -1/2 x
      points: Array.from({ length: 11 }, (_, i) => {
        const xVal = (i - 5) * 0.5;
        return { x: xVal, y: (-1 / 2) * xVal, z: 0 };
      }),
      color: getColor("PINK"),
      showPoints: false,
      labels: [{ text: "y=(-1/2)x", at: 1, offset: [0.3, 0.5, 0] }],
    },
  ]}
  showZAxis={false}
  cameraPosition={[0, 0, 10]}
/>

## Latihan

1.  Sebuah titik <InlineMath math="A(3,0)" /> dirotasikan terhadap titik asal <InlineMath math="(0,0)" /> sebesar <InlineMath math="90^\circ" />. Tentukan titik bayangannya.
2.  Tentukan peta dari garis <InlineMath math="y=4x" /> yang dirotasikan terhadap titik asal <InlineMath math="(0,0)" /> sebesar <InlineMath math="90^\circ" />.
3.  Titik <InlineMath math="P(-2, -5)" /> dirotasikan terhadap titik asal <InlineMath math="O(0,0)" /> sebesar <InlineMath math="180^\circ" />. Tentukan koordinat bayangannya!

### Kunci Jawaban

1.  Titik <InlineMath math="A(3,0)" />, <InlineMath math="\theta = 90^\circ" />. <InlineMath math="x=3, y=0" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="x' = 3 \cos 90^\circ - 0 \sin 90^\circ = 3(0) - 0(1) = 0" />
      <BlockMath math="y' = 3 \sin 90^\circ + 0 \cos 90^\circ = 3(1) + 0(0) = 3" />
    </div>

    Jadi, bayangan titiknya adalah <InlineMath math="A'(0,3)" />.

2.  Garis <InlineMath math="y=4x" />, <InlineMath math="\theta = 90^\circ" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="x' = -y" />
      <BlockMath math="y' = x" />
    </div>

    Maka <InlineMath math="y = -x'" /> dan <InlineMath math="x = y'" />.

    Substitusi ke persamaan garis: <InlineMath math="(-x') = 4(y')" />.

    Persamaan garis bayangan: <InlineMath math="-x = 4y" /> atau <InlineMath math="y = -\frac{1}{4}x" />.

3.  Titik <InlineMath math="P(-2,-5)" />, <InlineMath math="\theta = 180^\circ" />. <InlineMath math="x=-2, y=-5" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="\cos 180^\circ = -1" />
      <BlockMath math="\sin 180^\circ = 0" />
    </div>

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="x' = (-2) \cos 180^\circ - (-5) \sin 180^\circ = (-2)(-1) - (-5)(0) = 2 - 0 = 2" />
      <BlockMath math="y' = (-2) \sin 180^\circ + (-5) \cos 180^\circ = (-2)(0) + (-5)(-1) = 0 + 5 = 5" />
    </div>

    Jadi, bayangan titik P adalah <InlineMath math="P'(2,5)" />.
