Matriks Translasi

Operasi Matriks terkait Translasi

Translasi atau pergeseran titik $(x,y)$ oleh vektor $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ menghasilkan bayangan $(x+a, y+b)$.

Operasi ini dapat ditulis dalam bentuk penjumlahan vektor (matriks kolom):

Ini berbeda dengan transformasi seperti rotasi atau refleksi terhadap sumbu/garis yang dapat direpresentasikan oleh perkalian matriks $2 \times 2$. Translasi murni adalah operasi penjumlahan vektor.

Namun, jika kita ingin menggabungkan translasi dengan transformasi linear lainnya menggunakan perkalian matriks, kita sering menggunakan koordinat homogen. Dengan koordinat homogen, titik $(x,y)$ direpresentasikan sebagai $\begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$, dan matriks transformasi menjadi $3 \times 3$. Untuk translasi oleh $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$, matriksnya adalah:

Sehingga:

Operasi Matriks

Operasi matriks yang terkait dengan translasi oleh vektor $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ terhadap titik $(x,y)$ adalah:

Mencari Peta Titik dengan Operasi Matriks

Tentukan peta dari titik $(-2,3)$ yang ditranslasikan oleh vektor $\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$ menggunakan operasi matriks.

Alternatif Penyelesaian:

Berdasarkan operasi matriks, petanya dapat ditentukan dengan:

Petanya adalah $(-5,7)$.

Latihan

1. Tentukan peta dari titik $(4,-5)$ yang ditranslasikan oleh vektor $\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix}$ menggunakan operasi matriks.
2. Sebuah segitiga $KLM$ memiliki titik sudut $K(1,0)$, $L(4,2)$, dan $M(2,5)$. Segitiga ini ditranslasikan oleh vektor $T = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Tentukan koordinat bayangan segitiga $K'L'M'$.

Kunci Jawaban

1. Titik $(4,-5)$, vektor translasi $\begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix}$.

   $$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -5 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-5 \\ -5+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

   Peta: $(-1,-1)$.

2. Vektor translasi $T = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$.

   • Untuk $K(1,0)$: $\begin{pmatrix} x'_K \\ y'_K \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Jadi $K'(-1,1)$.
   • Untuk $L(4,2)$: $\begin{pmatrix} x'_L \\ y'_L \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$. Jadi $L'(2,3)$.
   • Untuk $M(2,5)$: $\begin{pmatrix} x'_M \\ y'_M \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}$. Jadi $M'(0,6)$.

   Koordinat bayangan: $K'(-1,1)$, $L'(2,3)$, $M'(0,6)$.