# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/matrix/cofactor-expansion-method
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/matrix/cofactor-expansion-method/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Metode Ekspansi Kofaktor",
  description: "Pelajari metode ekspansi kofaktor untuk menghitung determinan matriks. Pahami minor, kofaktor, dan perhitungan determinan dengan contoh lengkap.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "06/05/2025",
  subject: "Matriks",
};

## Apa itu Ekspansi Kofaktor?

Metode ekspansi kofaktor adalah salah satu cara untuk menghitung nilai determinan dari sebuah matriks persegi, terutama untuk matriks yang ukurannya lebih besar dari <InlineMath math="2 \times 2" />.

Metode ini bekerja dengan cara menguraikan perhitungan determinan matriks besar menjadi penjumlahan dari perkalian elemen-elemen matriks dengan kofaktornya masing-masing, yang melibatkan determinan dari matriks-matriks yang lebih kecil.

## Minor Elemen Matriks

Setiap elemen dalam sebuah matriks persegi memiliki apa yang disebut sebagai "minor". Minor dari elemen <InlineMath math="a_{ij}" /> (yaitu elemen yang terletak pada baris ke-<InlineMath math="i" /> dan kolom ke-<InlineMath math="j" />) biasanya dituliskan sebagai <InlineMath math="M_{ij}" />.

Untuk menentukan minor <InlineMath math="M_{ij}" />, kita perlu menghilangkan (mencoret) seluruh baris ke-<InlineMath math="i" /> dan seluruh kolom ke-<InlineMath math="j" /> dari matriks aslinya. Determinan dari sub-matriks yang tersisa inilah yang disebut sebagai minor <InlineMath math="M_{ij}" />.

### Mencari Minor

Misalkan kita memiliki matriks <InlineMath math="A" /> berordo <InlineMath math="3 \times 3" /> sebagai berikut:

<BlockMath math="A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}" />

Jika kita ingin mencari minor dari elemen <InlineMath math="a_{22}" /> (yaitu <InlineMath math="M_{22}" />), kita hilangkan baris kedua dan kolom kedua dari matriks <InlineMath math="A" />:

Bayangkan kita mencoretnya seperti ini:

<BlockMath math="A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cancel{a_{12}} & a_{13} \\ \cancel{a_{21}} & \cancel{a_{22}} & \cancel{a_{23}} \\ a_{31} & \cancel{a_{32}} & a_{33} \end{bmatrix}" />

Matriks yang tersisa setelah pencoretan adalah:

<BlockMath math="\begin{bmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{bmatrix}" />

Maka, minor <InlineMath math="M_{22}" /> adalah determinan dari matriks sisa ini:

<BlockMath math="M_{22} = \det \begin{pmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} = (a_{11} \times a_{33}) - (a_{13} \times a_{31})" />

## Kofaktor Elemen Matriks

Setelah kita memahami apa itu minor, langkah selanjutnya adalah memahami "kofaktor". Kofaktor dari elemen <InlineMath math="a_{ij}" />, yang biasa dinotasikan sebagai <InlineMath math="k_{ij}" /> atau <InlineMath math="C_{ij}" />, dihitung menggunakan minornya dengan rumus:

<BlockMath math="k_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}" />

Bagian <InlineMath math="(-1)^{i+j}" /> dalam rumus ini menentukan tanda (positif atau negatif) dari kofaktor tersebut. Aturannya sederhana:

- Jika hasil penjumlahan <InlineMath math="i+j" /> adalah bilangan genap, maka <InlineMath math="(-1)^{i+j} = 1" />. Ini berarti <InlineMath math="k_{ij} = M_{ij}" /> (kofaktor sama dengan minornya).
- Jika hasil penjumlahan <InlineMath math="i+j" /> adalah bilangan ganjil, maka <InlineMath math="(-1)^{i+j} = -1" />. Ini berarti <InlineMath math="k_{ij} = -M_{ij}" /> (kofaktor adalah negatif dari minornya).

Untuk matriks <InlineMath math="3 \times 3" />, pola tanda <InlineMath math="(-1)^{i+j}" /> akan terlihat seperti ini:

<BlockMath math="\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}" />

Tanda ini menunjukkan apakah kofaktor akan sama dengan minornya (tanda <InlineMath math="+" />) atau negatif dari minornya (tanda <InlineMath math="-" />).

### Mencari Kofaktor

Mari kita lanjutkan dengan contoh matriks <InlineMath math="A" /> dan minor <InlineMath math="M_{22}" /> yang sudah kita hitung.

Kofaktor untuk elemen <InlineMath math="a_{22}" /> adalah <InlineMath math="k_{22}" />.

Karena <InlineMath math="i=2" /> dan <InlineMath math="j=2" />, maka <InlineMath math="i+j = 2+2 = 4" /> (genap).

<BlockMath math="k_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = (1) M_{22} = M_{22}" />

Sekarang, coba kita cari kofaktor untuk elemen <InlineMath math="a_{12}" />, yaitu <InlineMath math="k_{12}" />.

Pertama, kita cari minornya, <InlineMath math="M_{12}" />, dengan menghilangkan baris pertama dan kolom kedua dari matriks <InlineMath math="A" />:

<BlockMath math="M_{12} = \det \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix} = (a_{21} \times a_{33}) - (a_{23} \times a_{31})" />

Kemudian, kita hitung kofaktornya. Untuk <InlineMath math="a_{12}" />, <InlineMath math="i=1" /> dan <InlineMath math="j=2" />, jadi <InlineMath math="i+j = 1+2 = 3" /> (ganjil).

<BlockMath math="k_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = (-1) M_{12} = -M_{12}" />

## Menghitung Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Inti dari metode ekspansi kofaktor adalah menghitung determinan matriks <InlineMath math="A" /> (dinotasikan <InlineMath math="\det(A)" /> atau <InlineMath math="|A|" />) dengan cara memilih satu baris atau satu kolom dari matriks tersebut.

Kemudian, setiap elemen pada baris atau kolom yang dipilih dikalikan dengan kofaktornya masing-masing, dan semua hasil perkalian tersebut dijumlahkan.

**Rumus Ekspansi Kofaktor Sepanjang Baris ke-<InlineMath math="i" />:**

<BlockMath math="\det(A) = |A| = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}k_{ij} = a_{i1}k_{i1} + a_{i2}k_{i2} + \dots + a_{in}k_{in}" />

Artinya, kita pilih baris ke-<InlineMath math="i" />. Lalu, untuk setiap kolom <InlineMath math="j" /> pada baris tersebut, kita kalikan elemen <InlineMath math="a_{ij}" /> dengan kofaktornya <InlineMath math="k_{ij}" />, dan jumlahkan semuanya.

**Rumus Ekspansi Kofaktor Sepanjang Kolom ke-<InlineMath math="j" />:**

<BlockMath math="\det(A) = |A| = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}k_{ij} = a_{1j}k_{1j} + a_{2j}k_{2j} + \dots + a_{nj}k_{nj}" />

Artinya, kita pilih kolom ke-<InlineMath math="j" />. Lalu, untuk setiap baris <InlineMath math="i" /> pada kolom tersebut, kita kalikan elemen <InlineMath math="a_{ij}" /> dengan kofaktornya <InlineMath math="k_{ij}" />, dan jumlahkan semuanya.

Kabar baiknya, kamu bisa memilih baris atau kolom mana saja untuk melakukan ekspansi, hasilnya akan selalu sama!

Untuk mempermudah perhitungan, biasanya dipilih baris atau kolom yang memiliki banyak elemen bernilai nol, karena perkalian dengan nol akan menghasilkan nol dan mengurangi jumlah suku yang perlu dihitung.

## Contoh Perhitungan Determinan

Mari kita hitung determinan dari matriks <InlineMath math="P" /> berikut menggunakan metode ekspansi kofaktor:

<BlockMath math="P = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 2 \\ 5 & 9 & 4 \end{bmatrix}" />

Kita akan melakukan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama (yaitu, <InlineMath math="i=1" />).

Berdasarkan rumus, determinan <InlineMath math="P" /> adalah:

<BlockMath math="\det(P) = a_{11}k_{11} + a_{12}k_{12} + a_{13}k_{13}" />

Dari matriks <InlineMath math="P" />, elemen-elemen baris pertama adalah:

- <InlineMath math="a_{11} = 1" />
- <InlineMath math="a_{12} = 3" />
- <InlineMath math="a_{13} = 2" />

Sekarang, kita perlu menghitung kofaktor <InlineMath math="k_{11}" />, <InlineMath math="k_{12}" />, dan <InlineMath math="k_{13}" />.

1.  **Menghitung <InlineMath math="k_{11}" />** (<InlineMath math="i=1, j=1" />, maka <InlineMath math="i+j=2" />, genap):

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="M_{11} = \det \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ 9 & 4 \end{pmatrix} = (6 \times 4) - (2 \times 9) = 24 - 18 = 6" />
      <BlockMath math="k_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = (1)(6) = 6" />
    </div>

2.  **Menghitung <InlineMath math="k_{12}" />** (<InlineMath math="i=1, j=2" />, maka <InlineMath math="i+j=3" />, ganjil):

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="M_{12} = \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix} = (2 \times 4) - (2 \times 5) = 8 - 10 = -2" />
      <BlockMath math="k_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = (-1)(-2) = 2" />
    </div>

3.  **Menghitung <InlineMath math="k_{13}" />** (<InlineMath math="i=1, j=3" />, maka <InlineMath math="i+j=4" />, genap):

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="M_{13} = \det \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 5 & 9 \end{pmatrix} = (2 \times 9) - (6 \times 5) = 18 - 30 = -12" />
      <BlockMath math="k_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = (1)(-12) = -12" />
    </div>

Setelah semua kofaktor didapatkan, kita masukkan kembali ke rumus determinan:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\det(P) = a_{11}k_{11} + a_{12}k_{12} + a_{13}k_{13}" />
  <BlockMath math="\det(P) = (1)(6) + (3)(2) + (2)(-12)" />
  <BlockMath math="\det(P) = 6 + 6 - 24" />
  <BlockMath math="\det(P) = 12 - 24" />
  <BlockMath math="\det(P) = -12" />
</div>

Jadi, determinan dari matriks <InlineMath math="P" /> adalah <InlineMath math="-12" />.
