# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/matrix/matrix-determinant
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/matrix/matrix-determinant/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Determinan Matriks",
  description: "Hitung determinan matriks 2x2 dan selesaikan SPLDV dengan Aturan Cramer. Kuasai rumus determinan dengan contoh langkah demi langkah dan latihan.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "06/05/2025",
  subject: "Matriks",
};

## Memahami Determinan Matriks

Determinan matriks adalah sebuah nilai skalar (angka tunggal) yang dapat dihitung dari elemen-elemen sebuah matriks persegi. Konsep determinan sangat penting dalam aljabar linear, salah satunya adalah untuk membantu menyelesaikan sistem persamaan linear. Setiap matriks persegi memiliki nilai determinan yang unik.

## Menghitung Determinan Matriks Ordo 2x2

Matriks ordo 2x2 adalah matriks yang memiliki dua baris dan dua kolom. Misalkan kita memiliki matriks A sebagai berikut:

<BlockMath math="A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}" />

Determinan dari matriks A, yang biasa ditulis sebagai <InlineMath math="\det(A)" /> atau <InlineMath math="|A|" />, dihitung dengan mengurangkan hasil perkalian elemen-elemen diagonal utama dengan hasil perkalian elemen-elemen diagonal kedua.

Rumusnya adalah:

<BlockMath math="\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc" />

Perhatikan bahwa notasi <InlineMath math="\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}" /> menggunakan garis lurus, yang menandakan determinan, berbeda dengan kurung siku <InlineMath math="\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}" /> yang menandakan matriks itu sendiri.

### Perhitungan Determinan Matriks 2x2

Misalkan kita memiliki matriks B:

<BlockMath math="B = \begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -7 & -5 \end{bmatrix}" />

Untuk menghitung determinannya, kita identifikasi <InlineMath math="a = -1" />, <InlineMath math="b = 3" />, <InlineMath math="c = -7" />, dan <InlineMath math="d = -5" />.

Maka, determinan matriks B adalah:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\det(B) = (-1 \times -5) - (3 \times -7)" />
  <BlockMath math="\det(B) = 5 - (-21)" />
  <BlockMath math="\det(B) = 5 + 21" />
  <BlockMath math="\det(B) = 26" />
</div>

Jadi, nilai determinan dari matriks B adalah 26.

## Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan Determinan

Salah satu aplikasi penting dari determinan adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode ini sering disebut sebagai Aturan Cramer.

Perhatikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) berikut:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="a_{11}x + a_{12}y = b_1" />
  <BlockMath math="a_{21}x + a_{22}y = b_2" />
</div>

Dalam sistem ini, <InlineMath math="x" /> dan <InlineMath math="y" /> adalah variabel yang ingin kita cari nilainya. Koefisien-koefisien <InlineMath math="a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}" /> dan konstanta <InlineMath math="b_1, b_2" /> adalah bilangan yang diketahui.

Sistem persamaan ini dapat kita ubah ke dalam bentuk perkalian matriks:

<BlockMath math="\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}" />

Langkah pertama adalah menghitung determinan dari matriks koefisien, yang kita sebut <InlineMath math="D" />:

<BlockMath math="D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}" />

Sistem persamaan linear akan memiliki solusi unik jika dan hanya jika <InlineMath math="D \neq 0" />.

Selanjutnya, kita hitung dua determinan lainnya:

1.  <InlineMath math="D_x" />, yaitu determinan matriks koefisien di mana kolom
    pertama (koefisien <InlineMath math="x" />) diganti dengan kolom konstanta (<InlineMath math="b_1, b_2" />
    ):

    <BlockMath math="D_x = \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{vmatrix} = b_1a_{22} - a_{12}b_2" />

2.  <InlineMath math="D_y" />, yaitu determinan matriks koefisien di mana kolom
    kedua (koefisien <InlineMath math="y" />) diganti dengan kolom konstanta (<InlineMath math="b_1, b_2" />
    ):

    <BlockMath math="D_y = \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{vmatrix} = a_{11}b_2 - b_1a_{21}" />

Setelah mendapatkan nilai <InlineMath math="D" />, <InlineMath math="D_x" />, dan <InlineMath math="D_y" />, kita dapat menemukan nilai <InlineMath math="x" /> dan <InlineMath math="y" /> dengan rumus:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x = \frac{D_x}{D}" />
  <BlockMath math="y = \frac{D_y}{D}" />
</div>

Rumus ini hanya berlaku jika <InlineMath math="D \neq 0" />.

### Penyelesaian SPLDV dengan Determinan

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="2x - y = 7" />
  <BlockMath math="x - 4y = 14" />
</div>

Dari sistem di atas, kita dapatkan:

<InlineMath math="a_{11} = 2" />, <InlineMath math="a_{12} = -1" />, <InlineMath math="b_1 = 7" />

<InlineMath math="a_{21} = 1" />, <InlineMath math="a_{22} = -4" />, <InlineMath math="b_2 = 14" />

**Langkah 1**: Hitung determinan <InlineMath math="D" />.

<BlockMath math="D = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = (2 \times -4) - (-1 \times 1) = -8 - (-1) = -8 + 1 = -7" />
Karena <InlineMath math="D = -7 \neq 0" />, sistem ini memiliki solusi unik.

**Langkah 2**: Hitung determinan <InlineMath math="D_x" />.

<BlockMath math="D_x = \begin{vmatrix} 7 & -1 \\ 14 & -4 \end{vmatrix} = (7 \times -4) - (-1 \times 14) = -28 - (-14) = -28 + 14 = -14" />

**Langkah 3**: Hitung determinan <InlineMath math="D_y" />.

<BlockMath math="D_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 14 \end{vmatrix} = (2 \times 14) - (7 \times 1) = 28 - 7 = 21" />

**Langkah 4**: Hitung nilai <InlineMath math="x" /> dan <InlineMath math="y" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="x = \frac{D_x}{D} = \frac{-14}{-7} = 2" />
  <BlockMath math="y = \frac{D_y}{D} = \frac{21}{-7} = -3" />
</div>

Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah <InlineMath math="x=2" /> dan <InlineMath math="y=-3" />, atau dapat ditulis sebagai pasangan berurutan <InlineMath math="(2, -3)" />.

## Latihan

1.  Diketahui matriks <InlineMath math="M = \begin{bmatrix} 9 & x \\ 8 & -7 \end{bmatrix}" /> dan <InlineMath math="\det(M) = 9" />. Tentukan nilai <InlineMath math="x" />.
2.  Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:

    <BlockMath math="\begin{cases} 2x - y = 8 \\ x + 3y = -10 \end{cases}" />

### Kunci Jawaban

1.  Untuk matriks <InlineMath math="M = \begin{bmatrix} 9 & x \\ 8 & -7 \end{bmatrix}" />, determinannya adalah:

    <BlockMath math="\det(M) = (9 \times -7) - (x \times 8) = -63 - 8x" />

    Diketahui <InlineMath math="\det(M) = 9" />, maka:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="-63 - 8x = 9" />
      <BlockMath math="-8x = 9 + 63" />
      <BlockMath math="-8x = 72" />
      <BlockMath math="x = \frac{72}{-8}" />
      <BlockMath math="x = -9" />
    </div>

    Jadi, nilai <InlineMath math="x" /> adalah -9.

2.  Sistem persamaan linear:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="2x - y = 8" />
      <BlockMath math="x + 3y = -10" />
    </div>

    Kita tentukan <InlineMath math="D, D_x," /> dan <InlineMath math="D_y" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="D = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = (2 \times 3) - (-1 \times 1) = 6 - (-1) = 6 + 1 = 7" />
      <BlockMath math="D_x = \begin{vmatrix} 8 & -1 \\ -10 & 3 \end{vmatrix} = (8 \times 3) - (-1 \times -10) = 24 - 10 = 14" />
      <BlockMath math="D_y = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 1 & -10 \end{vmatrix} = (2 \times -10) - (8 \times 1) = -20 - 8 = -28" />
    </div>

    Maka, nilai <InlineMath math="x" /> dan <InlineMath math="y" /> adalah:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="x = \frac{D_x}{D} = \frac{14}{7} = 2" />
      <BlockMath math="y = \frac{D_y}{D} = \frac{-28}{7} = -4" />
    </div>

    Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah <InlineMath math="x=2" /> dan <InlineMath math="y=-4" />, atau pasangan berurutan <InlineMath math="(2, -4)" />.
