# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/matrix/matrix-equality
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/matrix/matrix-equality/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Kesamaan Dua Matriks",
  description: "Pelajari syarat kesamaan matriks: ordo sama dan elemen seletak sama. Lengkap dengan contoh soal, penentuan variabel, dan latihan praktis.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "06/05/2025",
  subject: "Matriks",
};

## Definisi Kesamaan Dua Matriks

Dalam dunia matriks, kita seringkali perlu membandingkan dua matriks atau lebih. Salah satu konsep penting dalam perbandingan ini adalah kesamaan dua matriks. Dua matriks dikatakan sama jika memenuhi syarat-syarat tertentu.

Dua matriks, katakanlah matriks <InlineMath math="A" /> dan matriks <InlineMath math="B" />, dikatakan **sama** (ditulis <InlineMath math="A=B" />) jika dan hanya jika kedua syarat berikut terpenuhi:

1.  **Ordo Sama**: Matriks <InlineMath math="A" /> dan matriks <InlineMath math="B" /> harus memiliki ordo (jumlah baris dan kolom) yang sama. Jika matriks <InlineMath math="A" /> berordo <InlineMath math="m \times n" />, maka matriks <InlineMath math="B" /> juga harus berordo <InlineMath math="m \times n" />.
2.  **Elemen Seletak Sama**: Setiap elemen yang seletak (berada pada posisi baris dan kolom yang sama) pada matriks <InlineMath math="A" /> dan matriks <InlineMath math="B" /> harus memiliki nilai yang sama. Jika <InlineMath math="A = [a_{ij}]" /> dan <InlineMath math="B = [b_{ij}]" />, maka <InlineMath math="a_{ij} = b_{ij}" /> untuk semua nilai <InlineMath math="i" /> (indeks baris) dan <InlineMath math="j" /> (indeks kolom).

Jika salah satu dari kedua syarat di atas tidak terpenuhi, maka matriks <InlineMath math="A" /> tidak sama dengan matriks <InlineMath math="B" /> (ditulis <InlineMath math="A \neq B" />).

## Contoh Kesamaan Dua Matriks

### Matriks yang Sama

Diberikan dua matriks:

<BlockMath math="P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \quad \text{dan} \quad Q = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}" />

Matriks <InlineMath math="P" /> dan <InlineMath math="Q" /> adalah sama (<InlineMath math="P=Q" />) karena:

- Keduanya berordo <InlineMath math="2 \times 2" />.
- Elemen-elemen yang seletak bernilai sama:

  <InlineMath math="p_{11} = q_{11} = 1" />, <InlineMath math="p_{12} = q_{12} = 2" />
  , <InlineMath math="p_{21} = q_{21} = 3" />, <InlineMath math="p_{22} = q_{22} = 4" />
  .

### Matriks yang Tidak Sama (Beda Ordo)

Diberikan dua matriks:

<BlockMath math="R = \begin{bmatrix} 4 & -9 \\ 7 & 1 \end{bmatrix} \quad \text{dan} \quad C = \begin{bmatrix} 4 & -9 \\ 7 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}" />

Matriks <InlineMath math="R" /> tidak sama dengan matriks <InlineMath math="C" /> (<InlineMath math="R \neq C" />) karena ordo matriks <InlineMath math="R" /> adalah <InlineMath math="2 \times 2" />, sedangkan ordo matriks <InlineMath math="C" /> adalah <InlineMath math="3 \times 2" />.

### Matriks yang Tidak Sama (Elemen Seletak Berbeda)

Diberikan dua matriks:

<BlockMath math="S = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ -2 & 8 \end{bmatrix} \quad \text{dan} \quad T = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}" />

Meskipun matriks <InlineMath math="S" /> dan <InlineMath math="T" /> berordo sama(<InlineMath math="2 \times 2" />), keduanya tidak sama (<InlineMath math="S \neq T" />) karena elemen pada baris ke-2 kolom ke-1 tidak sama (<InlineMath math="s_{21} = -2" /> sedangkan <InlineMath math="t_{21} = 2" />).

### Menentukan Nilai Variabel dari Kesamaan Matriks

Diketahui matriks <InlineMath math="A = \begin{bmatrix} -x & 2 \\ -3y & z^2 \end{bmatrix}" /> dan <InlineMath math="B = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 6 & 9 \end{bmatrix}" />.

Jika matriks <InlineMath math="A" /> sama dengan matriks <InlineMath math="B" /> (<InlineMath math="A=B" />), tentukan nilai <InlineMath math="x" />, <InlineMath math="y" />, dan <InlineMath math="z" />.

**Penyelesaian:**

Karena <InlineMath math="A=B" />, maka elemen-elemen yang seletak harus sama:

1.  <InlineMath math="a_{11} = b_{11} \implies -x = -1 \implies x = 1" />
2.  <InlineMath math="a_{12} = b_{12} \implies 2 = 2" /> (sudah sama)
3.  <InlineMath math="a_{21} = b_{21} \implies -3y = 6 \implies y = \frac{6}{-3} \implies y = -2" />
4.  <InlineMath math="a_{22} = b_{22} \implies z^2 = 9 \implies z = \pm\sqrt{9} \implies z = 3 \text{ atau } z = -3" />

Jadi, nilai <InlineMath math="x=1" />, <InlineMath math="y=-2" />, dan <InlineMath math="z = \pm 3" />.

## Latihan

Jawablah pertanyaan berikut dengan **Benar** atau **Salah**.

1.  Dua matriks yang mempunyai ordo yang sama merupakan salah satu syarat agar kedua matriks tersebut sama.
2.  Dua matriks yang berbeda selalu memiliki ordo yang berbeda.
3.  Jika diketahui matriks <InlineMath math="K = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}" /> dan matriks <InlineMath math="L = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}" />, maka matriks <InlineMath math="K" /> sama dengan matriks <InlineMath math="L" />.
4.  Diketahui matriks <InlineMath math="P = \begin{bmatrix} 2x & 4 \\ -1 & y+3 \end{bmatrix}" /> dan <InlineMath math="Q = \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}" />. Jika <InlineMath math="P=Q" />, tentukan nilai <InlineMath math="x" /> dan <InlineMath math="y" />.
5.  Jika matriks <InlineMath math="A = \begin{bmatrix} -x-3y & 0 \\ (x-2y)^2 & 1 \end{bmatrix}" /> dan <InlineMath math="I" /> adalah matriks identitas berordo <InlineMath math="2 \times 2" />. Jika <InlineMath math="A = I" />, tentukan nilai <InlineMath math="x+y" />.
6.  Hitunglah nilai <InlineMath math="a+b+c+d" /> yang memenuhi kesamaan matriks berikut:

    <BlockMath math="\begin{bmatrix} a+2b & 2a+b \\ c+d & 2c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}" />

### Kunci Jawaban

1.  **Benar**. Memiliki ordo yang sama adalah syarat pertama kesamaan dua matriks.
2.  **Salah**. Dua matriks yang berbeda bisa saja memiliki ordo yang sama, tetapi elemen seletaknya berbeda (lihat Contoh 3).
3.  **Salah**. Matriks <InlineMath math="K" /> berordo <InlineMath math="2 \times 2" /> sedangkan matriks <InlineMath math="L" /> berordo <InlineMath math="3 \times 2" />. Karena ordonya berbeda, kedua matriks tidak sama.
4.  Diketahui <InlineMath math="P=Q" />:

    <BlockMath math="\begin{bmatrix} 2x & 4 \\ -1 & y+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}" />

    Dari kesamaan elemen seletak:

    - <InlineMath math="2x = -10 \implies x = -5" />
    - <InlineMath math="y+3 = 2 \implies y = 2-3 \implies y = -1" />

      Jadi, <InlineMath math="x=-5" /> dan <InlineMath math="y=-1" />.

5.  Matriks identitas <InlineMath math="I" /> berordo <InlineMath math="2 \times 2" /> adalah <InlineMath math="I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}" />.

    Diketahui <InlineMath math="A=I" />:

    <BlockMath math="\begin{bmatrix} -x-3y & 0 \\ (x-2y)^2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}" />

    Dari kesamaan elemen seletak, kita peroleh sistem persamaan:

    1.  <InlineMath math="-x-3y = 1" /> (Persamaan 1)
    2.  <InlineMath math="(x-2y)^2 = 0" /> (Persamaan 2)

    Selesaikan Persamaan 2 terlebih dahulu:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="(x-2y)^2 = 0" />
      <BlockMath math="x-2y = \sqrt{0}" />
      <BlockMath math="x-2y = 0" />
      <BlockMath math="x = 2y \quad \text{(Persamaan 2')}" />
    </div>

    Substitusikan Persamaan 2' ke Persamaan 1:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="-(2y)-3y = 1" />
      <BlockMath math="-2y-3y = 1" />
      <BlockMath math="-5y = 1" />
      <BlockMath math="y = -\frac{1}{5}" />
    </div>

    Substitusikan nilai <InlineMath math="y = -\frac{1}{5}" /> ke Persamaan 2':

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="x = 2\left(-\frac{1}{5}\right)" />
      <BlockMath math="x = -\frac{2}{5}" />
    </div>

    Maka, nilai <InlineMath math="x+y" /> adalah:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="x+y = \left(-\frac{2}{5}\right) + \left(-\frac{1}{5}\right)" />
      <BlockMath math="= -\frac{2}{5} - \frac{1}{5}" />
      <BlockMath math="= \frac{-2-1}{5}" />
      <BlockMath math="= -\frac{3}{5}" />
    </div>

6.  Diketahui kesamaan matriks:

    <BlockMath math="\begin{bmatrix} a+2b & 2a+b \\ c+d & 2c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -3 \\ 7 & 1 \end{bmatrix}" />

    Dari kesamaan elemen seletak, kita peroleh sistem persamaan:

    1.  <InlineMath math="a+2b = 3" />
    2.  <InlineMath math="2a+b = -3" />
    3.  <InlineMath math="c+d = 7" />
    4.  <InlineMath math="2c+d = 1" />

    Selesaikan sistem persamaan untuk <InlineMath math="a" /> dan <InlineMath math="b" /> (persamaan 1 dan 2):

    Persamaan awal:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="a+2b = 3 \quad \text{(1)}" />
      <BlockMath math="2a+b = -3 \quad \text{(2)}" />
    </div>

    Untuk mengeliminasi <InlineMath math="b" />, kalikan persamaan (2) dengan 2:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="2(2a+b) = 2(-3)" />
      <BlockMath math="4a+2b = -6 \quad \text{(2')}" />
    </div>

    Kurangkan persamaan (1) dari persamaan (2'):

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="(4a+2b) - (a+2b) = -6 - 3" />
      <BlockMath math="4a - a + 2b - 2b = -9" />
      <BlockMath math="3a = -9" />
      <BlockMath math="a = \frac{-9}{3}" />
      <BlockMath math="a = -3" />
    </div>

    Substitusikan nilai <InlineMath math="a=-3" /> ke persamaan (1):

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="-3+2b=3" />
      <BlockMath math="2b=3+3" />
      <BlockMath math="2b=6" />
      <BlockMath math="b = \frac{6}{2}" />
      <BlockMath math="b = 3" />
    </div>

    Selesaikan sistem persamaan untuk <InlineMath math="c" /> dan <InlineMath math="d" /> (persamaan 3 dan 4):

    Persamaan awal:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="c+d = 7 \quad \text{(3)}" />
      <BlockMath math="2c+d = 1 \quad \text{(4)}" />
    </div>

    Kurangkan persamaan (3) dari persamaan (4) untuk mengeliminasi <InlineMath math="d" />:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="(2c+d) - (c+d) = 1 - 7" />
      <BlockMath math="2c - c + d - d = -6" />
      <BlockMath math="c = -6" />
    </div>

    Substitusikan nilai <InlineMath math="c=-6" /> ke persamaan (3):

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="-6+d=7" />
      <BlockMath math="d=7+6" />
      <BlockMath math="d=13" />
    </div>

    Maka, nilai <InlineMath math="a+b+c+d" /> adalah:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="a+b+c+d = (-3) + 3 + (-6) + 13" />
      <BlockMath math="= 0 - 6 + 13" />
      <BlockMath math="= 7" />
    </div>
