# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/matrix/matrix-inverse
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/matrix/matrix-inverse/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Invers Matriks",
  description: "Pelajari rumus invers matriks 2x2 dan 3x3. Kuasai perhitungan determinan, metode adjoin, dan penyelesaian sistem persamaan linear langkah demi langkah.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "06/05/2025",
  subject: "Matriks",
};

## Pengertian Invers Matriks

Dalam himpunan bilangan real, setiap bilangan <InlineMath math="a" /> (yang bukan nol) memiliki kebalikan, yaitu bilangan <InlineMath math="a^{-1}" />, yang memenuhi sifat <InlineMath math="a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = 1" />. Konsep serupa juga berlaku pada matriks.

Jika <InlineMath math="A" /> adalah sebuah matriks persegi (misalnya, berordo <InlineMath math="n \times n" />) dan <InlineMath math="I" /> adalah matriks identitas dengan ordo yang sama, maka invers dari matriks <InlineMath math="A" />, yang dinotasikan sebagai <InlineMath math="A^{-1}" />, adalah matriks yang memenuhi sifat:

<BlockMath math="A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I" />

Matriks identitas <InlineMath math="I" /> adalah matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1 dan elemen lainnya adalah 0. Contohnya, untuk ordo 2x2: <InlineMath math="I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}" />.

## Matriks Nonsingular dan Singular

Tidak semua matriks persegi memiliki invers. Sebuah matriks <InlineMath math="A" /> memiliki invers jika dan hanya jika determinan dari matriks tersebut tidak sama dengan nol (<InlineMath math="\det(A) \neq 0" /> atau <InlineMath math="|A| \neq 0" />).

- Matriks <InlineMath math="A" /> disebut **matriks nonsingular** jika <InlineMath math="\det(A) \neq 0" />. Matriks nonsingular selalu memiliki invers.
- Matriks <InlineMath math="A" /> disebut **matriks singular** jika <InlineMath math="\det(A) = 0" />. Matriks singular tidak memiliki invers.

## Invers Matriks Ordo 2x2

Untuk matriks <InlineMath math="A" /> berordo 2x2, misalkan:

<BlockMath math="A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}" />

Invers matriks <InlineMath math="A" /> dapat ditemukan menggunakan rumus berikut, asalkan <InlineMath math="\det(A) \neq 0" />:

<BlockMath math="A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)" />

Mari kita pahami setiap komponen rumus ini:

1.  **Determinan Matriks A (<InlineMath math="\det(A)" /> atau <InlineMath math="|A|" />)**:

    Dihitung sebagai:

    <BlockMath math="|A| = ad - bc" />

2.  **Adjoin Matriks A (<InlineMath math="\text{Adj}(A)" />)**:

    Diperoleh dengan menukar elemen diagonal utama dan mengubah tanda elemen diagonal lainnya:

    <BlockMath math="\text{Adj}(A) = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}" />

Jadi, rumus lengkap untuk invers matriks ordo 2x2 adalah:

<BlockMath math="A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}" />

### Contoh Invers Matriks Ordo 2x2

Tentukan invers dari matriks <InlineMath math="P = \begin{bmatrix} 3 & -7 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}" />.

**Penyelesaian:**

Langkah 1: Identifikasi elemen-elemen matriks <InlineMath math="P" />.

<InlineMath math="a=3, b=-7, c=-1, d=2" />

Langkah 2: Hitung determinan matriks <InlineMath math="P" />.

<BlockMath math="\det(P) = (3)(2) - (-7)(-1) = 6 - 7 = -1" />

Karena <InlineMath math="\det(P) \neq 0" />, matriks <InlineMath math="P" /> memiliki invers.

Langkah 3: Tentukan adjoin matriks <InlineMath math="P" />.

<BlockMath math="\text{Adj}(P) = \begin{bmatrix} 2 & -(-7) \\ -(-1) & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}" />

Langkah 4: Hitung invers matriks <InlineMath math="P" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \text{Adj}(P)" />
  <BlockMath math="P^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="P^{-1} = -1 \begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="P^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & -7 \\ -1 & -3 \end{bmatrix}" />
</div>

Jadi, invers dari matriks <InlineMath math="P" /> adalah <InlineMath math="P^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & -7 \\ -1 & -3 \end{bmatrix}" />.

## Invers Matriks Ordo 3x3

Konsep dasar untuk mencari invers matriks ordo 3x3 sama dengan matriks ordo 2x2, yaitu menggunakan rumus:

<BlockMath math="A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)" />

Namun, perhitungan determinan (<InlineMath math="\det(A)" />) dan adjoin (<InlineMath math="\text{Adj}(A)" />) untuk matriks 3x3 lebih kompleks.

- **Determinan matriks 3x3** dapat dihitung menggunakan Metode Sarrus atau metode ekspansi kofaktor.
- **Adjoin matriks 3x3** diperoleh dari transpos matriks kofaktornya.

Pembahasan mendalam mengenai cara menghitung determinan dan adjoin matriks 3x3 biasanya akan dipelajari secara terpisah karena melibatkan lebih banyak langkah.

## Sifat Invers Matriks

Salah satu kegunaan penting dari invers matriks adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Jika sebuah sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian matriks:

<BlockMath math="AX = B" />

di mana <InlineMath math="A" /> adalah matriks koefisien, <InlineMath math="X" /> adalah matriks variabel, dan <InlineMath math="B" /> adalah matriks konstanta. Jika matriks <InlineMath math="A" /> memiliki invers (<InlineMath math="A^{-1}" />), maka solusi untuk <InlineMath math="X" /> dapat ditemukan dengan:

<BlockMath math="X = A^{-1}B" />

Ini adalah sifat yang sangat berguna dalam berbagai aplikasi matematika dan rekayasa.

## Latihan

Diketahui matriks <InlineMath math="X = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}" /> dan <InlineMath math="Y = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}" />.

1. Tentukan matriks <InlineMath math="X^{-1}" /> dan <InlineMath math="Y^{-1}" />.
2. Tentukan matriks <InlineMath math="X^{-1} + Y^{-1}" />.
3. Tentukan matriks <InlineMath math="(X+Y)^{-1}" />.
4. Apakah matriks <InlineMath math="X^{-1} + Y^{-1}" /> sama dengan matriks <InlineMath math="(X+Y)^{-1}" />? Jelaskan jawabanmu.

### Kunci Jawaban

1.  **Menentukan <InlineMath math="X^{-1}" />:**

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="X = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}" />
      <BlockMath math="\det(X) = (1)(4) - (-3)(-1) = 4 - 3 = 1" />
      <BlockMath math="\text{Adj}(X) = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}" />
      <BlockMath math="X^{-1} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}" />
    </div>

    **Menentukan <InlineMath math="Y^{-1}" />:**

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="Y = \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}" />
      <BlockMath math="\det(Y) = (-4)(-2) - (2)(3) = 8 - 6 = 2" />
      <BlockMath math="\text{Adj}(Y) = \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix}" />
      <BlockMath math="Y^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -2 & -2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -3/2 & -2 \end{bmatrix}" />
    </div>

2.  **Menentukan <InlineMath math="X^{-1} + Y^{-1}" />:**

    <BlockMath math="X^{-1} + Y^{-1} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -3/2 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-1 & 3-1 \\ 1-3/2 & 1-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1/2 & -1 \end{bmatrix}" />

3.  **Menentukan <InlineMath math="(X+Y)^{-1}" />:**

    Pertama, hitung <InlineMath math="X+Y" />:

    <BlockMath math="X+Y = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-4 & -3+2 \\ -1+3 & 4-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}" />

    Misalkan <InlineMath math="Z = X+Y = \begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}" />. Sekarang, hitung <InlineMath math="Z^{-1}" />:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="\det(Z) = (-3)(2) - (-1)(2) = -6 - (-2) = -6 + 2 = -4" />
      <BlockMath math="\text{Adj}(Z) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix}" />
      <BlockMath math="(X+Y)^{-1} = Z^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2/4 & -1/4 \\ 2/4 & 3/4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1/2 & -1/4 \\ 1/2 & 3/4 \end{bmatrix}" />
    </div>

4.  **Perbandingan <InlineMath math="X^{-1} + Y^{-1}" /> dan <InlineMath math="(X+Y)^{-1}" />:**

    Dari hasil perhitungan:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="X^{-1} + Y^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -1/2 & -1 \end{bmatrix}" />
      <BlockMath math="(X+Y)^{-1} = \begin{bmatrix} -1/2 & -1/4 \\ 1/2 & 3/4 \end{bmatrix}" />
    </div>

    Jelas bahwa <InlineMath math="X^{-1} + Y^{-1} \neq (X+Y)^{-1}" />. Ini menunjukkan bahwa invers dari penjumlahan dua matriks umumnya tidak sama dengan penjumlahan dari invers masing-masing matriks.

    Sifat ini berbeda dengan beberapa operasi aljabar pada bilangan real.
