# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/matrix/matrix-multiplication
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/matrix/matrix-multiplication/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Perkalian Matriks",
  description: "Kuasai aturan perkalian matriks, syarat, dan perhitungan. Pelajari metode langkah demi langkah, sifat-sifat, dan aplikasi nyata dengan contoh.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "06/05/2025",
  subject: "Matriks",
};

## Memahami Perkalian Dua Matriks

Perkalian matriks adalah operasi fundamental dalam aljabar linear. Berbeda dengan penjumlahan atau pengurangan matriks yang elemennya langsung dioperasikan, perkalian matriks memiliki aturan tersendiri.

### Syarat Perkalian Matriks

Dua matriks, katakanlah matriks <InlineMath math="A" /> dan matriks <InlineMath math="B" />, dapat dikalikan (<InlineMath math="A \times B" />) hanya jika **jumlah kolom pada matriks <InlineMath math="A" /> sama dengan jumlah baris pada matriks <InlineMath math="B" />**.

Misalkan matriks <InlineMath math="A" /> memiliki ordo <InlineMath math="m \times n" /> (artinya <InlineMath math="m" /> baris dan <InlineMath math="n" /> kolom) dan matriks <InlineMath math="B" /> memiliki ordo <InlineMath math="n \times p" /> (artinya <InlineMath math="n" /> baris dan <InlineMath math="p" /> kolom).

Karena jumlah kolom matriks <InlineMath math="A" /> (<InlineMath math="n" />) sama dengan jumlah baris matriks <InlineMath math="B" /> (<InlineMath math="n" />), maka matriks <InlineMath math="A" /> dan <InlineMath math="B" /> dapat dikalikan.

Hasil perkaliannya, sebut saja matriks <InlineMath math="C = AB" />, akan memiliki ordo <InlineMath math="m \times p" />.

### Cara Menghitung Elemen Hasil Perkalian

Elemen <InlineMath math="c_{ij}" /> pada matriks <InlineMath math="C" /> (yaitu elemen pada baris ke-<InlineMath math="i" /> dan kolom ke-<InlineMath math="j" />) dihitung dengan mengalikan setiap elemen pada baris ke-<InlineMath math="i" /> dari matriks <InlineMath math="A" /> dengan elemen yang bersesuaian pada kolom ke-<InlineMath math="j" /> dari matriks <InlineMath math="B" />, kemudian menjumlahkan semua hasil perkalian tersebut.

Secara matematis, jika <InlineMath math="A = [a_{ik}]" /> dan <InlineMath math="B = [b_{kj}]" />, maka elemen <InlineMath math="c_{ij}" /> dari matriks <InlineMath math="C = AB" /> adalah:

<BlockMath math="c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{in}b_{nj}" />

Notasi <InlineMath math="\sum" /> (sigma) berarti penjumlahan.

Dalam rumus di atas, kita menjumlahkan hasil perkalian <InlineMath math="a_{ik}b_{kj}" /> untuk semua nilai <InlineMath math="k" /> dari 1 sampai <InlineMath math="n" />.

## Langkah-Langkah Mengalikan Matriks

Mari kita lihat contoh sederhana untuk memahami prosesnya.

Misalkan kita punya matriks <InlineMath math="P = \begin{bmatrix} p_{11} & p_{12} \\ p_{21} & p_{22} \end{bmatrix}" /> dan <InlineMath math="Q = \begin{bmatrix} q_{11} & q_{12} \\ q_{21} & q_{22} \end{bmatrix}" />.

Matriks <InlineMath math="P" /> berordo <InlineMath math="2 \times 2" /> dan matriks <InlineMath math="Q" /> juga berordo <InlineMath math="2 \times 2" />. Jumlah kolom <InlineMath math="P" /> (yaitu 2) sama dengan jumlah baris <InlineMath math="Q" /> (yaitu 2), jadi kita bisa mengalikannya. Hasilnya, <InlineMath math="R = PQ" />, akan berordo <InlineMath math="2 \times 2" />.

<BlockMath math="R = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} \\ r_{21} & r_{22} \end{bmatrix}" />

Elemen-elemen matriks <InlineMath math="R" /> dihitung sebagai berikut:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="r_{11} = (\text{baris 1 dari } P) \cdot (\text{kolom 1 dari } Q) = p_{11}q_{11} + p_{12}q_{21}" />
  <BlockMath math="r_{12} = (\text{baris 1 dari } P) \cdot (\text{kolom 2 dari } Q) = p_{11}q_{12} + p_{12}q_{22}" />
  <BlockMath math="r_{21} = (\text{baris 2 dari } P) \cdot (\text{kolom 1 dari } Q) = p_{21}q_{11} + p_{22}q_{21}" />
  <BlockMath math="r_{22} = (\text{baris 2 dari } P) \cdot (\text{kolom 2 dari } Q) = p_{21}q_{12} + p_{22}q_{22}" />
</div>

## Contoh Perkalian Dua Matriks

Diberikan dua matriks:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="A = \begin{bmatrix} -7 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & -1 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}" />
</div>

Matriks <InlineMath math="A" /> berordo <InlineMath math="3 \times 3" /> dan matriks <InlineMath math="B" /> berordo <InlineMath math="3 \times 2" />.

Jumlah kolom matriks <InlineMath math="A" /> (yaitu 3) sama dengan jumlah baris matriks <InlineMath math="B" /> (yaitu 3).

Jadi, <InlineMath math="AB" /> dapat dihitung dan akan menghasilkan matriks berordo <InlineMath math="3 \times 2" />.

Mari kita hitung <InlineMath math="C = AB" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="c_{11} = (-7)(1) + (2)(-1) + (-2)(2) = -7 - 2 - 4 = -13" />
  <BlockMath math="c_{12} = (-7)(2) + (2)(3) + (-2)(0) = -14 + 6 + 0 = -8" />
  <BlockMath math="c_{21} = (1)(1) + (0)(-1) + (-1)(2) = 1 + 0 - 2 = -1" />
  <BlockMath math="c_{22} = (1)(2) + (0)(3) + (-1)(0) = 2 + 0 + 0 = 2" />
  <BlockMath math="c_{31} = (2)(1) + (3)(-1) + (-1)(2) = 2 - 3 - 2 = -3" />
  <BlockMath math="c_{32} = (2)(2) + (3)(3) + (-1)(0) = 4 + 9 + 0 = 13" />
</div>

Jadi, hasil perkalian matriks <InlineMath math="AB" /> adalah:

<BlockMath math="AB = \begin{bmatrix} -13 & -8 \\ -1 & 2 \\ -3 & 13 \end{bmatrix}" />

Sekarang, bagaimana dengan <InlineMath math="BA" />?

Matriks <InlineMath math="B" /> berordo <InlineMath math="3 \times 2" /> dan matriks <InlineMath math="A" /> berordo <InlineMath math="3 \times 3" />.

Jumlah kolom matriks <InlineMath math="B" /> (yaitu 2) **tidak sama** dengan jumlah baris matriks <InlineMath math="A" /> (yaitu 3).

Oleh karena itu, perkalian <InlineMath math="BA" /> **tidak terdefinisi**. Ini menunjukkan salah satu sifat penting perkalian matriks.

## Sifat-Sifat Perkalian Matriks

Perkalian matriks memiliki beberapa sifat penting:

1.  **Umumnya Tidak Komutatif**:

    Artinya, <InlineMath math="AB \neq BA" />. Kita sudah melihat contoh di atas di mana <InlineMath math="AB" /> terdefinisi tetapi <InlineMath math="BA" /> tidak. Bahkan jika keduanya terdefinisi, hasilnya belum tentu sama.

2.  **Asosiatif**:

    Jika perkalian matriks <InlineMath math="A, B," /> dan <InlineMath math="C" /> terdefinisi, maka berlaku <InlineMath math="(AB)C = A(BC)" />. Artinya, urutan pengelompokan perkalian tidak mengubah hasil akhir.

3.  **Distributif**:

    Perkalian matriks bersifat distributif terhadap penjumlahan atau pengurangan matriks:

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="A(B + C) = AB + AC" />
      <BlockMath math="(A + B)C = AC + BC" />
    </div>

    Ini berlaku jika semua operasi penjumlahan dan perkalian yang terlibat terdefinisi.

4.  **Perkalian dengan Matriks Identitas (<InlineMath math="I" />)**:

    Jika <InlineMath math="A" /> adalah matriks persegi berordo <InlineMath math="n \times n" /> dan <InlineMath math="I" /> adalah matriks identitas berordo <InlineMath math="n \times n" />, maka berlaku:

    <BlockMath math="AI = IA = A" />

    Matriks identitas berperan seperti angka 1 dalam perkalian bilangan biasa.

5.  **Perkalian dengan Skalar (<InlineMath math="k" />)**:

    Jika <InlineMath math="k" /> adalah sebuah skalar (bilangan riil), maka:

    <BlockMath math="k(AB) = (kA)B = A(kB)" />

## Menghitung Pendapatan

Perkalian matriks sangat berguna dalam berbagai bidang, salah satunya untuk mengelola data dan menghitung nilai agregat.

Bayangkan sebuah industri rumahan memproduksi tiga jenis makanan: keripik tempe, keripik pisang, dan keripik kentang.

Makanan tersebut dipasarkan ke tiga tempat: Tempat A, Tempat B, dan Tempat C.

Banyaknya keripik (dalam toples) yang terjual di setiap tempat disajikan dalam matriks <InlineMath math="P" />. Kolom-kolom pada matriks <InlineMath math="P" /> berturut-turut menunjukkan Tempat A, Tempat B, dan Tempat C, sedangkan baris-barisnya berturut-turut menunjukkan keripik tempe, keripik pisang, dan keripik kentang.

<BlockMath math="P = \begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \\ 25 & 10 & 15 \\ 15 & 15 & 20 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{Keripik Tempe} \\ \text{Keripik Pisang} \\ \text{Keripik Kentang} \end{matrix}" />

Baris pertama (<InlineMath math="\begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \end{bmatrix}" />) berarti 15 toples keripik tempe terjual di Tempat A, 12 di Tempat B, dan 20 di Tempat C.

Harga untuk setiap toples keripik (dalam rupiah) dinyatakan dalam matriks kolom <InlineMath math="Q" /> berikut:

<BlockMath math="Q = \begin{bmatrix} 20.000 \\ 15.000 \\ 30.000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{Harga Keripik Tempe} \\ \text{Harga Keripik Pisang} \\ \text{Harga Keripik Kentang} \end{matrix}" />

Untuk menentukan total pendapatan dari setiap jenis keripik di semua tempat, kita bisa mengalikan matriks <InlineMath math="P" /> dengan matriks <InlineMath math="Q" />.

Namun, perhatikan ordo matriks. Matriks <InlineMath math="P" /> berordo <InlineMath math="3 \times 3" /> dan matriks <InlineMath math="Q" /> berordo <InlineMath math="3 \times 1" />. Jumlah kolom <InlineMath math="P" /> (3) sama dengan jumlah baris <InlineMath math="Q" /> (3), sehingga <InlineMath math="PQ" /> dapat dihitung dan akan menghasilkan matriks <InlineMath math="R" /> berordo <InlineMath math="3 \times 1" />.

Matriks <InlineMath math="R = PQ" /> akan menunjukkan total pendapatan untuk setiap jenis keripik.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="R = PQ = \begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \\ 25 & 10 & 15 \\ 15 & 15 & 20 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 20.000 \\ 15.000 \\ 30.000 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="R = \begin{bmatrix} (15)(20.000) + (12)(15.000) + (20)(30.000) \\ (25)(20.000) + (10)(15.000) + (15)(30.000) \\ (15)(20.000) + (15)(15.000) + (20)(30.000) \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="R = \begin{bmatrix} 300.000 + 180.000 + 600.000 \\ 500.000 + 150.000 + 450.000 \\ 300.000 + 225.000 + 600.000 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="R = \begin{bmatrix} 1.080.000 \\ 1.100.000 \\ 1.125.000 \end{bmatrix} \begin{matrix} \text{Total Pendapatan Keripik Tempe} \\ \text{Total Pendapatan Keripik Pisang} \\ \text{Total Pendapatan Keripik Kentang} \end{matrix}" />
</div>

Dari matriks <InlineMath math="R" />, kita bisa melihat bahwa total pendapatan dari penjualan keripik tempe adalah Rp1.080.000, keripik pisang Rp1.100.000, dan keripik kentang Rp1.125.000.

Jika pertanyaannya adalah "tentukan matriks pendapatan untuk setiap tempat", maka kita perlu mengatur matriks harga <InlineMath math="Q" /> secara berbeda atau melakukan perkalian dengan transpos dari <InlineMath math="P" />.

Misalkan kita ingin mencari total pendapatan di Tempat A, Tempat B, dan Tempat C. Kita bisa menggunakan matriks harga sebagai matriks baris <InlineMath math="Q^T = \begin{bmatrix} 20.000 & 15.000 & 30.000 \end{bmatrix}" /> dan mengalikannya dengan matriks <InlineMath math="P" />: <InlineMath math="S = Q^T P" />.

Matriks <InlineMath math="Q^T" /> berordo <InlineMath math="1 \times 3" /> dan <InlineMath math="P" /> berordo <InlineMath math="3 \times 3" />. Hasilnya <InlineMath math="S" /> akan berordo <InlineMath math="1 \times 3" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="S = \begin{bmatrix} 20.000 & 15.000 & 30.000 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 15 & 12 & 20 \\ 25 & 10 & 15 \\ 15 & 15 & 20 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="s_{11} = (20.000)(15) + (15.000)(25) + (30.000)(15) = 300.000 + 375.000 + 450.000 = 1.125.000" />
  <BlockMath math="s_{12} = (20.000)(12) + (15.000)(10) + (30.000)(15) = 240.000 + 150.000 + 450.000 = 840.000" />
  <BlockMath math="s_{13} = (20.000)(20) + (15.000)(15) + (30.000)(20) = 400.000 + 225.000 + 600.000 = 1.225.000" />
</div>

Maka, <InlineMath math="S = \begin{bmatrix} 1.125.000 & 840.000 & 1.225.000 \end{bmatrix}" />.

Ini berarti total pendapatan dari Tempat A adalah Rp1.125.000, dari Tempat B adalah Rp840.000, dan dari Tempat C adalah Rp1.225.000.

Interpretasi elemen matriks hasil perkalian sangat bergantung pada bagaimana matriks awal didefinisikan dan bagaimana perkalian dilakukan.

## Latihan

Diberikan matriks-matriks berikut:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="C = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="D = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix}" />
</div>

Tentukan matriks <InlineMath math="CD" /> dan matriks <InlineMath math="DC" />.

Apakah <InlineMath math="CD = DC" />?

### Kunci Jawaban

1.  Menghitung <InlineMath math="CD" />:

    Matriks <InlineMath math="C" /> berordo <InlineMath math="2 \times 2" /> dan <InlineMath math="D" /> berordo <InlineMath math="2 \times 2" />. Hasilnya akan berordo <InlineMath math="2 \times 2" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="CD = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix}" />
      <BlockMath math="CD = \begin{bmatrix} (1)(1) + (-3)(8) & (1)(-4) + (-3)(2) \\ (1)(1) + (2)(8) & (1)(-4) + (2)(2) \end{bmatrix}" />
      <BlockMath math="CD = \begin{bmatrix} 1 - 24 & -4 - 6 \\ 1 + 16 & -4 + 4 \end{bmatrix}" />
      <BlockMath math="CD = \begin{bmatrix} -23 & -10 \\ 17 & 0 \end{bmatrix}" />
    </div>

2.  Menghitung <InlineMath math="DC" />:

    Matriks <InlineMath math="D" /> berordo <InlineMath math="2 \times 2" /> dan <InlineMath math="C" /> berordo <InlineMath math="2 \times 2" />. Hasilnya akan berordo <InlineMath math="2 \times 2" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="DC = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}" />
      <BlockMath math="DC = \begin{bmatrix} (1)(1) + (-4)(1) & (1)(-3) + (-4)(2) \\ (8)(1) + (2)(1) & (8)(-3) + (2)(2) \end{bmatrix}" />
      <BlockMath math="DC = \begin{bmatrix} 1 - 4 & -3 - 8 \\ 8 + 2 & -24 + 4 \end{bmatrix}" />
      <BlockMath math="DC = \begin{bmatrix} -3 & -11 \\ 10 & -20 \end{bmatrix}" />
    </div>

Dari hasil di atas, terlihat bahwa <InlineMath math="CD = \begin{bmatrix} -23 & -10 \\ 17 & 0 \end{bmatrix}" /> dan <InlineMath math="DC = \begin{bmatrix} -3 & -11 \\ 10 & -20 \end{bmatrix}" />.

Jadi, <InlineMath math="CD \neq DC" />. Ini adalah contoh lain yang menunjukkan bahwa perkalian matriks umumnya tidak bersifat komutatif.
