# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/matrix/matrix-subtraction
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/matrix/matrix-subtraction/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Pengurangan Matriks",
  description: "Pelajari pengurangan matriks dengan contoh langkah demi langkah, sifat-sifat, dan soal latihan. Kuasai operasi pengurangan elemen matriks seletak.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "06/05/2025",
  subject: "Matriks",
};

## Apa Itu Pengurangan Matriks?

Pengurangan matriks adalah operasi untuk menemukan selisih antara dua matriks. Sama seperti penjumlahan matriks, operasi pengurangan hanya dapat dilakukan jika kedua matriks yang terlibat memiliki ukuran atau ordo yang sama.

Hasil dari pengurangan matriks adalah sebuah matriks baru yang juga memiliki ordo yang sama, di mana setiap elemennya merupakan hasil pengurangan elemen-elemen yang bersesuaian dari kedua matriks awal.

## Definisi Formal Pengurangan Matriks

Ada dua cara umum untuk mendefinisikan pengurangan matriks, yang keduanya mengarah pada hasil yang sama.

**Pengurangan sebagai Penjumlahan dengan Lawan**

Pengurangan matriks <InlineMath math="A" /> dengan matriks <InlineMath math="B" /> dapat didefinisikan sebagai penjumlahan matriks <InlineMath math="A" /> dengan matriks lawan dari <InlineMath math="B" /> (yaitu, <InlineMath math="-B" />).

<BlockMath math="A - B = A + (-B)" />

Matriks <InlineMath math="-B" /> adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks <InlineMath math="B" /> dengan <InlineMath math="-1" />. Jadi, jika <InlineMath math="B = [b_{ij}]" />, maka <InlineMath math="-B = [-b_{ij}]" />.

**Pengurangan Elemen Seletak**

Jika matriks <InlineMath math="A = [a_{ij}]" /> dan matriks <InlineMath math="B = [b_{ij}]" /> keduanya memiliki ordo <InlineMath math="m \times n" />, maka hasil pengurangan matriks <InlineMath math="C = A - B" /> juga akan berordo <InlineMath math="m \times n" />.

Setiap elemen <InlineMath math="c_{ij}" /> dari matriks <InlineMath math="C" /> dihitung dengan mengurangkan elemen matriks <InlineMath math="B" /> yang seletak dari elemen matriks <InlineMath math="A" /> yang seletak:

<BlockMath math="c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}" />

Ini berarti kita mengurangkan elemen-elemen yang berada pada posisi baris dan kolom yang sama.

Kedua definisi ini ekuivalen dan akan menghasilkan matriks selisih yang sama.

## Cara Melakukan Pengurangan Matriks

Untuk mengurangkan dua matriks, ikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Pastikan Ordo Sama**: Langkah pertama dan paling penting adalah memeriksa apakah kedua matriks memiliki jumlah baris dan kolom yang sama. Jika ordonya berbeda, pengurangan tidak dapat dilakukan.
2.  **Kurangkan Elemen Seletak**: Jika ordonya sama, kurangkan setiap elemen matriks kedua (pengurang) dari elemen matriks pertama yang posisinya bersesuaian (seletak).
3.  **Bentuk Matriks Hasil**: Susun hasil pengurangan elemen-elemen tersebut ke dalam sebuah matriks baru. Matriks baru ini akan memiliki ordo yang sama dengan matriks-matriks awal.

### Contoh Pengurangan Matriks

Misalkan kita memiliki dua matriks, <InlineMath math="P" /> dan <InlineMath math="Q" />, sebagai berikut:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="P = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="Q = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}" />
</div>

Kedua matriks ini berordo <InlineMath math="2 \times 2" />, sehingga dapat dikurangkan.

Menggunakan metode pengurangan elemen seletak:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="P - Q = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="= \begin{bmatrix} 8-2 & 5-1 \\ 3-(-1) & 7-4 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="= \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 3+1 & 3 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="= \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}" />
</div>

Menggunakan metode penjumlahan dengan lawan (<InlineMath math="P + (-Q)" />):

Pertama, tentukan <InlineMath math="-Q" />:

<BlockMath math="-Q = \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ -(-1) & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}" />

Kemudian, jumlahkan <InlineMath math="P" /> dengan <InlineMath math="-Q" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="P + (-Q) = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 & -1 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="= \begin{bmatrix} 8+(-2) & 5+(-1) \\ 3+1 & 7+(-4) \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="= \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}" />
</div>

Kedua metode menghasilkan matriks yang sama.

### Contoh Matriks yang Tidak Dapat Dikurangkan

Misalkan matriks <InlineMath math="K = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 5 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}" /> dan matriks <InlineMath math="L = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 7 \end{bmatrix}" />.

Matriks <InlineMath math="K" /> berordo <InlineMath math="3 \times 2" />, sedangkan matriks <InlineMath math="L" /> berordo <InlineMath math="2 \times 2" />. Karena ordo kedua matriks ini berbeda, maka pengurangan <InlineMath math="K-L" /> (atau <InlineMath math="L-K" />) tidak dapat dilakukan atau tidak terdefinisi.

## Sifat-Sifat Pengurangan Matriks

Berbeda dengan penjumlahan matriks yang memiliki beberapa sifat penting seperti komutatif dan asosiatif, pengurangan matriks umumnya tidak memiliki sifat-sifat tersebut.

1.  **Tidak Komutatif**: Secara umum, urutan pengurangan matriks sangat berpengaruh. Artinya, <InlineMath math="A - B" /> tidak sama dengan <InlineMath math="B - A" />, kecuali dalam kasus-kasus khusus (misalnya jika <InlineMath math="A=B" />).

    <BlockMath math="A - B \neq B - A \quad (\text{secara umum})" />

    Sebagai contoh, dari matriks <InlineMath math="P" /> dan <InlineMath math="Q" /> di atas:

    <InlineMath math="P-Q = \begin{bmatrix} 6 & 4 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}" />

    Sedangkan,

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="Q-P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}" />
      <BlockMath math="= \begin{bmatrix} 2-8 & 1-5 \\ -1-3 & 4-7 \end{bmatrix}" />
      <BlockMath math="= \begin{bmatrix} -6 & -4 \\ -4 & -3 \end{bmatrix}" />
    </div>

    Terlihat jelas bahwa <InlineMath math="P-Q \neq Q-P" />.

2.  **Tidak Asosiatif**: Pengelompokan dalam pengurangan tiga matriks atau lebih juga berpengaruh pada hasil akhir. Secara umum, <InlineMath math="(A - B) - C" /> tidak sama dengan <InlineMath math="A - (B - C)" />.

    <BlockMath math="(A - B) - C \neq A - (B - C) \quad (\text{secara umum})" />

    Ini karena <InlineMath math="(A - B) - C = A - B - C" />, sedangkan <InlineMath math="A - (B - C) = A - B + C" />.

Satu-satunya "sifat" yang penting untuk diingat adalah hubungannya dengan penjumlahan, yaitu <InlineMath math="A - B = A + (-B)" />.

Dengan mengubah operasi pengurangan menjadi penjumlahan dengan matriks lawan, kita dapat memanfaatkan sifat-sifat penjumlahan jika diperlukan.

## Latihan

**Soal 1**

Diketahui matriks-matriks berikut:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="M = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="N = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 6 & 0 & 7 \end{bmatrix}" />
</div>

Tentukan hasil dari <InlineMath math="M-N" />.

**Soal 2**

Tentukan nilai <InlineMath math="x, y," /> dan <InlineMath math="z" /> dari persamaan matriks berikut:

<BlockMath math="\begin{bmatrix} 2x & 7 \\ y-1 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & z \\ 4 & -2x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}" />

**Soal 3**

Diberikan tiga matriks:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="C = \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}" />
</div>

Hitunglah <InlineMath math="(A-B)-C" /> dan <InlineMath math="A-(B-C)" />. Apakah hasilnya sama?

### Kunci Jawaban

**Soal 1**

Diketahui:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="M = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="N = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 6 & 0 & 7 \end{bmatrix}" />
</div>

Maka, <InlineMath math="M-N" /> adalah:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="M-N = \begin{bmatrix} 4 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 & 1 & -2 \\ 6 & 0 & 7 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="= \begin{bmatrix} 4-(-1) & -2-1 & 0-(-2) \\ 1-6 & 5-0 & 3-7 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="= \begin{bmatrix} 4+1 & -3 & 0+2 \\ -5 & 5 & -4 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="= \begin{bmatrix} 5 & -3 & 2 \\ -5 & 5 & -4 \end{bmatrix}" />
</div>

**Soal 2**

Diketahui persamaan matriks:

<BlockMath math="\begin{bmatrix} 2x & 7 \\ y-1 & 5 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & z \\ 4 & -2x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}" />

Lakukan operasi pengurangan pada ruas kiri:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\begin{bmatrix} 2x-3 & 7-z \\ (y-1)-4 & 5-(-2x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="\begin{bmatrix} 2x-3 & 7-z \\ y-5 & 5+2x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}" />
</div>

Berdasarkan kesamaan dua matriks, elemen-elemen yang seletak harus sama:

Dari elemen baris 1,kolom 1: <InlineMath math="2x-3 = 5" />

<div className="flex flex-col gap-4 mt-2">
  <BlockMath math="2x = 5+3" />
  <BlockMath math="2x = 8" />
  <BlockMath math="x = 4" />
</div>

Dari elemen baris 1, kolom 2: <InlineMath math="7-z = 10" />

<div className="flex flex-col gap-4 mt-2">
  <BlockMath math="-z = 10-7" />
  <BlockMath math="-z = 3" />
  <BlockMath math="z = -3" />
</div>

Dari elemen baris 2, kolom 1: <InlineMath math="y-5 = -3" />

<div className="flex flex-col gap-4 mt-2">
  <BlockMath math="y = -3+5" />
  <BlockMath math="y = 2" />
</div>

Dari elemen baris 2, kolom 2: <InlineMath math="5+2x = 1" />.

Jika kita substitusikan <InlineMath math="x=4" /> (dari persamaan pertama), kita dapatkan <InlineMath math="5+2(4) = 13" />. Karena <InlineMath math="13 \neq 1" />, terdapat inkonsistensi pada elemen terakhir di soal ini.

Untuk tujuan pembelajaran, kita akan menggunakan nilai <InlineMath math="x, y, z" /> yang diperoleh dari tiga persamaan pertama yang konsisten.

Jadi, nilai yang diperoleh adalah <InlineMath math="x=4" />, <InlineMath math="y=2" />, dan <InlineMath math="z=-3" />.

Dalam situasi ujian, inkonsistensi seperti ini sebaiknya dikonfirmasi kepada pengawas.

**Soal 3**

Diberikan:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="B = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="C = \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}" />
</div>

Hitung <InlineMath math="(A-B)-C" />:

Pertama, <InlineMath math="A-B" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="A-B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="= \begin{bmatrix} 1-3 & 0-(-2) \\ 0-5 & 1-1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -5 & 0 \end{bmatrix}" />
</div>

Kemudian, <InlineMath math="(A-B)-C" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="(A-B)-C = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -5 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="= \begin{bmatrix} -2-(-4) & 2-0 \\ -5-2 & 0-(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2+4 & 2 \\ -7 & 0+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -7 & 3 \end{bmatrix}" />
</div>

Hitung <InlineMath math="A-(B-C)" />:

Pertama, <InlineMath math="B-C" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="B-C = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ 2 & -3 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="= \begin{bmatrix} 3-(-4) & -2-0 \\ 5-2 & 1-(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3+4 & -2 \\ 3 & 1+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}" />
</div>

Kemudian, <InlineMath math="A-(B-C)" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="A-(B-C) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="= \begin{bmatrix} 1-7 & 0-(-2) \\ 0-3 & 1-4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & 2 \\ -3 & -3 \end{bmatrix}" />
</div>

Hasilnya tidak sama: <InlineMath math="\begin{bmatrix} 2 & 2 \\ -7 & 3 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} -6 & 2 \\ -3 & -3 \end{bmatrix}" />.

Ini menunjukkan bahwa pengurangan matriks tidak bersifat asosiatif.
