# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/matrix/properties-determinant-matrix
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/matrix/properties-determinant-matrix/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Sifat Determinan Matriks",
  description: "Jelajahi sifat determinan matriks: aturan perkalian |AB| = |A||B| dan perkalian skalar |kA| = k^n|A|. Pelajari dengan contoh langkah demi langkah.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "06/05/2025",
  subject: "Matriks",
};

## Menemukan Sifat Determinan Matriks

Misalkan kita memiliki dua matriks, A dan B, sebagai berikut:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="A = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="B = \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}" />
</div>

### Determinan dari Perkalian Dua Matriks

Kita selidiki hubungan antara determinan dari perkalian dua matriks (<InlineMath math="|AB|" />) dengan perkalian dari masing-masing determinannya (<InlineMath math="|A||B|" />).

**Langkah 1: Hitung Determinan Matriks A (<InlineMath math="|A|" />)**

Determinan dari matriks A adalah:

<BlockMath math="|A| = (-5 \cdot -3) - (2 \cdot 1) = 15 - 2 = 13" />

**Langkah 2: Hitung Determinan Matriks B (<InlineMath math="|B|" />)**

Determinan dari matriks B adalah:

<BlockMath math="|B| = (9 \cdot -1) - (-4 \cdot 1) = -9 - (-4) = -9 + 4 = -5" />

**Langkah 3: Tentukan Hasil Perkalian Matriks A dan B (<InlineMath math="AB" />)**

Matriks AB diperoleh dengan mengalikan matriks A dan B:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="AB = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="AB = \begin{bmatrix} (-5)(9) + (2)(1) & (-5)(-4) + (2)(-1) \\ (1)(9) + (-3)(1) & (1)(-4) + (-3)(-1) \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="AB = \begin{bmatrix} -45 + 2 & 20 - 2 \\ 9 - 3 & -4 + 3 \end{bmatrix}" />
  <BlockMath math="AB = \begin{bmatrix} -43 & 18 \\ 6 & -1 \end{bmatrix}" />
</div>

**Langkah 4: Hitung Determinan Matriks AB (<InlineMath math="|AB|" />)**

Sekarang, kita hitung determinan dari matriks hasil perkalian AB:

<BlockMath math="|AB| = (-43 \cdot -1) - (18 \cdot 6) = 43 - 108 = -65" />

**Langkah 5: Bandingkan <InlineMath math="|AB|" /> dengan <InlineMath math="|A||B|" />**

Kita telah mendapatkan <InlineMath math="|A| = 13" />, <InlineMath math="|B| = -5" />, dan <InlineMath math="|AB| = -65" />.

Mari kita hitung <InlineMath math="|A||B|" />:

<BlockMath math="|A||B| = 13 \cdot (-5) = -65" />

Perhatikan bahwa nilai <InlineMath math="|AB|" /> sama dengan nilai <InlineMath math="|A||B|" />.

**Rumusan Sifat Determinan Perkalian Matriks**

Jika A dan B adalah dua matriks persegi berordo sama, maka determinan dari hasil kali matriks A dan B sama dengan hasil kali determinan masing-masing matriks.

<BlockMath math="|AB| = |A||B|" />

### Determinan Matriks dengan Perkalian Skalar

Sekarang, mari kita selidiki apa yang terjadi pada determinan sebuah matriks jika setiap elemen matriks tersebut dikalikan dengan sebuah skalar (konstanta).

Misalkan kita gunakan matriks A dari contoh sebelumnya dan sebuah skalar <InlineMath math="k=2" />.

<BlockMath math="A = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}" />

Kita sudah tahu bahwa <InlineMath math="|A| = 13" />. Matriks A adalah matriks berordo <InlineMath math="2 \times 2" />, sehingga <InlineMath math="n=2" />.

**Langkah 1: Tentukan Matriks <InlineMath math="kA" />**

Kalikan setiap elemen matriks A dengan skalar <InlineMath math="k=2" />:

<BlockMath math="kA = 2A = 2\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(-5) & 2(2) \\ 2(1) & 2(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 4 \\ 2 & -6 \end{bmatrix}" />

**Langkah 2: Hitung Determinan Matriks <InlineMath math="kA" /> (<InlineMath math="|kA|" />)**

Determinan dari matriks <InlineMath math="kA" /> adalah:

<BlockMath math="|kA| = (-10 \cdot -6) - (4 \cdot 2) = 60 - 8 = 52" />

**Langkah 3: Bandingkan <InlineMath math="|kA|" /> dengan <InlineMath math="k^n|A|" />**

Kita memiliki <InlineMath math="|kA| = 52" />. Skalar <InlineMath math="k=2" />, ordo matriks <InlineMath math="n=2" />, dan <InlineMath math="|A|=13" />.

Mari kita hitung <InlineMath math="k^n|A|" />:

<BlockMath math="k^n|A| = 2^2 \cdot 13 = 4 \cdot 13 = 52" />

Perhatikan bahwa nilai <InlineMath math="|kA|" /> sama dengan nilai <InlineMath math="k^n|A|" />.

**Rumusan Sifat Determinan Perkalian Skalar**

Jika A adalah matriks persegi berordo <InlineMath math="n \times n" /> dan <InlineMath math="k" /> adalah suatu skalar, maka determinan dari matriks <InlineMath math="kA" /> adalah <InlineMath math="k^n" /> dikalikan dengan determinan matriks A.

<BlockMath math="|kA| = k^n |A|" />

Di sini, <InlineMath math="n" /> adalah ordo (jumlah baris atau kolom) dari matriks persegi A.
