# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/polynomial/addition-subtraction-polynomial
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/polynomial/addition-subtraction-polynomial/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";
import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";

export const metadata = {
  title: "Penjumlahan dan Pengurangan Polinomial",
  description: "Pelajari penjumlahan dan pengurangan polinomial dengan contoh langkah demi langkah. Pahami suku sejenis, metode horizontal & vertikal, plus visualisasi grafik.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/04/2025",
  subject: "Polinomial",
};

## Konsep Dasar

Operasi penjumlahan dan pengurangan pada polinomial pada dasarnya sama seperti pada bentuk aljabar lainnya: kita hanya bisa menjumlahkan atau mengurangkan **suku-suku yang sejenis**.

### Apa Itu Suku Sejenis?

**Suku-suku sejenis** adalah suku-suku yang memiliki **variabel dan pangkat variabel yang sama persis**. Koefisien dari suku-suku tersebut bisa berbeda.

**Contoh Suku Sejenis:**

- <InlineMath math="3x, \space -7x, \space -\frac{1}{5}x" /> (semua memiliki variabel <InlineMath math="x" /> pangkat
  1)
- <InlineMath math="\frac{1}{2}x^3, \space 4x^3, \space -2x^3" /> (semua memiliki
  variabel <InlineMath math="x" /> pangkat 3)
- <InlineMath math="2x^2yz^3, \space \frac{3}{4}x^2yz^3, \space -5z^3x^2y" /> (semua
  memiliki variabel <InlineMath math="x" /> pangkat 2, <InlineMath math="y" /> pangkat
  1, dan <InlineMath math="z" /> pangkat 3)

**Contoh Bukan Suku Sejenis:**

- <InlineMath math="11x" /> dan <InlineMath math="4x^2" /> (pangkat <InlineMath math="x" /> berbeda)
- <InlineMath math="4x^3" /> dan <InlineMath math="-2x^4" /> (pangkat <InlineMath math="x" /> berbeda)
- <InlineMath math="4x^2" /> dan <InlineMath math="-x^5" /> (pangkat <InlineMath math="x" /> berbeda)
- <InlineMath math="\frac{3}{4}x^2yz^3" /> dan <InlineMath math="2x^2y" /> (tidak
  memiliki variabel <InlineMath math="z^3" />)
- <InlineMath math="\frac{3}{4}x^2yz^3" /> dan <InlineMath math="-7xy^2z^3" /> (pangkat <InlineMath math="x" /> dan <InlineMath math="y" /> berbeda)

## Penjumlahan Polinomial

Untuk menjumlahkan dua polinomial, kita cukup **menjumlahkan koefisien dari suku-suku yang sejenis**.

**Metode Horizontal:**

1.  Tuliskan kedua polinomial dalam tanda kurung yang dihubungkan dengan tanda tambah.
2.  Hilangkan tanda kurung.
3.  Kelompokkan suku-suku yang sejenis.
4.  Jumlahkan koefisien dari masing-masing kelompok suku sejenis (gunakan sifat distributif).

**Contoh:**

Tentukan hasil dari <InlineMath math="(2x^3 + 7x^2 + 3x + 5) + (6x^3 + 2x^2 + 4x + 1)" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="(2x^3 + 7x^2 + 3x + 5) + (6x^3 + 2x^2 + 4x + 1)" />
  <BlockMath math="= 2x^3 + 7x^2 + 3x + 5 + 6x^3 + 2x^2 + 4x + 1 \quad \text{(Hilangkan kurung)}" />
  <BlockMath math="= (2x^3 + 6x^3) + (7x^2 + 2x^2) + (3x + 4x) + (5 + 1) \quad \text{(Kelompokkan suku sejenis)}" />
  <BlockMath math="= (2 + 6)x^3 + (7 + 2)x^2 + (3 + 4)x + (5 + 1) \quad \text{(Sifat distributif)}" />
  <BlockMath math="= 8x^3 + 9x^2 + 7x + 6 \quad \text{(Hasil akhir)}" />
</div>

## Pengurangan Polinomial

Untuk mengurangkan dua polinomial, kita **mengubah tanda setiap suku pada polinomial pengurang**, lalu menjumlahkannya seperti biasa.

**Metode Horizontal:**

1.  Tuliskan kedua polinomial dalam tanda kurung yang dihubungkan dengan tanda kurang.
2.  Hilangkan tanda kurung. **Ingat:** ubah tanda setiap suku dalam kurung kedua (distribusikan tanda negatif).
3.  Kelompokkan suku-suku yang sejenis.
4.  Jumlahkan koefisien dari masing-masing kelompok suku sejenis.

**Contoh:**

Tentukan hasil dari <InlineMath math="(9x^3 + 4x^2 + 6x + 5) - (2x^3 + 3x^2 + 3x + 4)" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="(9x^3 + 4x^2 + 6x + 5) - (2x^3 + 3x^2 + 3x + 4)" />
  <BlockMath math="= 9x^3 + 4x^2 + 6x + 5 - 2x^3 - 3x^2 - 3x - 4 \quad \text{(Ubah tanda \& hilangkan kurung)}" />
  <BlockMath math="= (9x^3 - 2x^3) + (4x^2 - 3x^2) + (6x - 3x) + (5 - 4) \quad \text{(Kelompokkan suku sejenis)}" />
  <BlockMath math="= (9 - 2)x^3 + (4 - 3)x^2 + (6 - 3)x + (5 - 4) \quad \text{(Sifat distributif)}" />
  <BlockMath math="= 7x^3 + 1x^2 + 3x + 1 \quad \text{(Hasil akhir)}" />
  <BlockMath math="= 7x^3 + x^2 + 3x + 1" />
</div>

Perhatikan saat mengurangkan, tanda negatif di depan kurung mengubah tanda _setiap_ suku di dalam kurung tersebut.

## Metode Vertikal (Bersusun)

Selain metode horizontal, penjumlahan dan pengurangan polinomial juga bisa dilakukan dengan metode vertikal atau bersusun, mirip seperti penjumlahan dan pengurangan bilangan biasa.

**Langkah-langkah:**

1.  Susun kedua polinomial secara vertikal.
2.  Pastikan suku-suku yang sejenis berada dalam satu kolom.
3.  Jika ada suku yang tidak ada pada salah satu polinomial, berikan ruang kosong atau tulis koefisien 0.
4.  Jumlahkan atau kurangkan koefisien pada setiap kolom.

**Contoh Penjumlahan Vertikal:**

<BlockMath
  math="\begin{array}{rrrrr}
    & 2x^3 & +7x^2 & +3x & +5 \\
  + & 6x^3 & +2x^2 & +4x & +1 \\
  \hline
    & 8x^3 & +9x^2 & +7x & +6
  \end{array}"
/>

**Contoh Pengurangan Vertikal:**

<BlockMath
  math="\begin{array}{rrrrr}
    & 9x^3 & +4x^2 & +6x & +5 \\
  - & 2x^3 & +3x^2 & +3x & +4 \\
  \hline
  & 7x^3 & +1x^2 & +3x & +1
\end{array}"
/>

Kedua metode (horizontal dan vertikal) akan menghasilkan jawaban yang sama. Pilihlah metode yang paling nyaman dan mudah dipahami.

## Penjumlahan dan Pengurangan Grafik Fungsi Polinomial

Selain melakukan operasi secara aljabar, kita juga bisa memahami penjumlahan dan pengurangan polinomial secara visual melalui grafiknya.

Misalkan kita memiliki tiga grafik fungsi polinomial:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <LineEquation
    title={
      <>
        Grafik <InlineMath math="f(x) = x + 1" />
      </>
    }
    description="Fungsi Linear (Derajat 1)"
    showZAxis={false}
    cameraPosition={[0, 0, 15]}
    data={[
      {
        points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => {
          const x = -2.5 + i * 0.1;
          return { x, y: x + 1, z: 0 };
        }),
        color: getColor("SKY"),
        showPoints: false,
      },
    ]}
  />
  <LineEquation
    title={
      <>
        Grafik <InlineMath math="g(x) = 0.5x^4 - 2x^2 + 1" />
      </>
    }
    description="Fungsi Derajat 4"
    showZAxis={false}
    cameraPosition={[0, 0, 15]}
    data={[
      {
        points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => {
          const x = -2.5 + i * 0.1;
          return { x, y: 0.5 * x ** 4 - 2 * x ** 2 + 1, z: 0 };
        }),
        color: getColor("LIME"),
        showPoints: false,
      },
    ]}
  />
  <LineEquation
    title={
      <>
        Grafik <InlineMath math="h(x) = -0.5x^3 + 1.5x" />
      </>
    }
    description="Fungsi Derajat 3"
    showZAxis={false}
    cameraPosition={[0, 0, 15]}
    data={[
      {
        points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => {
          const x = -2.5 + i * 0.1;
          return { x, y: -0.5 * x ** 3 + 1.5 * x, z: 0 };
        }),
        color: getColor("AMBER"),
        showPoints: false,
      },
    ]}
  />
</div>

### Sketsa Grafik Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Tanpa perlu mengetahui persamaan pasti dari fungsi <InlineMath math="f" />, <InlineMath math="g" />, atau <InlineMath math="h" />, kita bisa mensketsa grafik hasil penjumlahannya (misal <InlineMath math="f(x) + g(x)" />) atau pengurangannya (misal <InlineMath math="f(x) - g(x)" />) dengan cara berikut:

1.  Pilih beberapa nilai <InlineMath math="x" /> yang sama pada kedua grafik.
2.  Untuk setiap nilai <InlineMath math="x" />, baca nilai <InlineMath math="y" /> dari masing-masing grafik. Misalkan <InlineMath math="y_f = f(x)" /> dan <InlineMath math="y_g = g(x)" />.
3.  **Untuk penjumlahan (<InlineMath math="f(x) + g(x)" />):** Hitung nilai <InlineMath math="y_{\text{baru}} = y_f + y_g" />.
4.  **Untuk pengurangan (<InlineMath math="f(x) - g(x)" />):** Hitung nilai <InlineMath math="y_{\text{baru}} = y_f - y_g" />.
5.  Plot titik <InlineMath math="(x, y_{\text{baru}})" />.
6.  Ulangi untuk beberapa nilai <InlineMath math="x" /> lainnya.
7.  Hubungkan titik-titik baru tersebut dengan kurva mulus.

**Mengapa cara ini tepat?**

Karena definisi dari penjumlahan atau pengurangan fungsi adalah menjumlahkan atau mengurangkan nilai output (<InlineMath math="y" />) mereka untuk setiap nilai input (<InlineMath math="x" />) yang sama.

### Contoh Sketsa Grafik

Berikut adalah contoh sketsa grafik hasil penjumlahan <InlineMath math="f(x) + g(x)" /> dan pengurangan <InlineMath math="f(x) - g(x)" /> yang didapat dengan metode penjumlahan/pengurangan nilai <InlineMath math="y" /> secara vertikal untuk setiap <InlineMath math="x" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <LineEquation
    title={
      <>
        Grafik <InlineMath math="f(x) + g(x)" />,{" "}
        <InlineMath math="f(x) = x + 1" />, dan{" "}
        <InlineMath math="g(x) = 0.5x^4 - 2x^2 + 1" />
      </>
    }
    description={
      <>
        Hasil dari penjumlahan <InlineMath math="f(x) + g(x)" /> adalah{" "}
        <InlineMath math="x + 1 + 0.5x^4 - 2x^2 + 1" />
      </>
    }
    showZAxis={false}
    cameraPosition={[0, 0, 15]}
    data={[
      {
        points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => {
          const x = -2.5 + i * 0.1;
          return { x, y: x + 1 + (0.5 * x ** 4 - 2 * x ** 2 + 1), z: 0 };
        }),
        color: getColor("VIOLET"),
        showPoints: false,
      },
    ]}
  />
  <LineEquation
    title={
      <>
        Grafik <InlineMath math="f(x) - g(x)" />,{" "}
        <InlineMath math="f(x) = x + 1" />, dan{" "}
        <InlineMath math="g(x) = 0.5x^4 - 2x^2 + 1" />
      </>
    }
    description={
      <>
        Hasil dari pengurangan <InlineMath math="f(x) - g(x)" /> adalah{" "}
        <InlineMath math="x + 1 - (0.5x^4 - 2x^2 + 1)" />
      </>
    }
    showZAxis={false}
    cameraPosition={[0, 0, 15]}
    data={[
      {
        points: Array.from({ length: 51 }, (_, i) => {
          const x = -2.5 + i * 0.1;
          return { x, y: x + 1 - (0.5 * x ** 4 - 2 * x ** 2 + 1), z: 0 };
        }),
        color: getColor("PINK"),
        showPoints: false,
      },
    ]}
  />
</div>

Dengan cara yang sama, kamu bisa mensketsa grafik <InlineMath math="f(x) + h(x), \space g(x) + h(x), \space f(x) - h(x), \space \text{dan} \space g(x) - h(x)" />. Intinya adalah menjumlahkan atau mengurangkan ketinggian (nilai <InlineMath math="y" />) dari grafik-grafik asli pada setiap nilai <InlineMath math="x" /> yang bersesuaian.