# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/polynomial/factor-theorem
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/polynomial/factor-theorem/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Teorema Faktor",
  description: "Temukan hubungan akar polinomial dengan faktornya. Kuasai Teorema Faktor untuk mencari pembuat nol, identifikasi faktor linier, dan faktorisasi lengkap.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/04/2025",
  subject: "Polinomial",
};

## Memahami Teorema Faktor

Ketika kita membagi suatu polinomial <InlineMath math="P(x)" /> dengan <InlineMath math="(x - c)" />, terkadang sisa pembagiannya adalah nol. Kita tahu dari Teorema Sisa bahwa jika sisa pembagiannya nol, maka <InlineMath math="P(c) = 0" />. Nah, apa artinya jika <InlineMath math="P(c) = 0" />?

Nilai <InlineMath math="c" /> yang menyebabkan <InlineMath math="P(c) = 0" /> disebut sebagai **pembuat nol** atau **akar** dari polinomial <InlineMath math="P(x)" />. Teorema Faktor menjelaskan hubungan erat antara pembuat nol ini dengan faktor dari polinomial tersebut.

### Pernyataan Teorema Faktor

Misalkan <InlineMath math="P(x)" /> adalah suatu polinomial dan <InlineMath math="c" /> adalah bilangan real.

<InlineMath math="(x - c)" /> merupakan **faktor** dari <InlineMath math="P(x)" /> **jika dan hanya jika** <InlineMath math="P(c) = 0" />.

Ini adalah pernyataan dua arah:

1.  **Jika <InlineMath math="(x - c)" /> adalah faktor dari <InlineMath math="P(x)" />, maka <InlineMath math="P(c) = 0" />.**

    (Jika suatu bilangan habis dibagi oleh bilangan lain, sisanya pasti nol).

2.  **Jika <InlineMath math="P(c) = 0" />, maka <InlineMath math="(x - c)" /> adalah faktor dari <InlineMath math="P(x)" />.**

    (Jika nilai polinomial di <InlineMath math="x=c" /> adalah nol, berarti <InlineMath math="(x-c)" /> membagi habis polinomial tersebut).

### Kaitan dengan Teorema Sisa

Teorema Faktor sebenarnya adalah kasus khusus dari Teorema Sisa. Ingat algoritma pembagian:

<BlockMath math="P(x) = (x - c) \cdot H(x) + S" />

Dan dari Teorema Sisa, kita tahu <InlineMath math="S = P(c)" />.

<BlockMath math="P(x) = (x - c) \cdot H(x) + P(c)" />

- Jika <InlineMath math="(x - c)" /> adalah faktor, artinya <InlineMath math="P(x)" /> habis dibagi <InlineMath math="(x - c)" />. Ini hanya terjadi jika sisa pembagiannya nol. Maka, <InlineMath math="S = P(c) = 0" />.
- Jika <InlineMath math="P(c) = 0" />, maka <InlineMath math="S = 0" />. Persamaan menjadi <InlineMath math="P(x) = (x - c) \cdot H(x) + 0" />, atau <InlineMath math="P(x) = (x - c) \cdot H(x)" />. Ini menunjukkan bahwa <InlineMath math="(x - c)" /> adalah faktor dari <InlineMath math="P(x)" />.

## Menggunakan Teorema Faktor untuk Memfaktorkan Polinomial

Teorema Faktor sangat berguna untuk mencari faktor-faktor linier dari suatu polinomial dan kemudian memfaktorkannya secara lengkap.

**Langkah-langkah Umum:**

1.  **Cari Pembuat Nol:** Coba tebak atau gunakan petunjuk (seperti jumlah koefisien) untuk menemukan nilai <InlineMath math="c" /> sehingga <InlineMath math="P(c) = 0" />.
2.  **Konfirmasi Faktor:** Jika <InlineMath math="P(c) = 0" />, maka berdasarkan Teorema Faktor, <InlineMath math="(x - c)" /> adalah salah satu faktor dari <InlineMath math="P(x)" />.
3.  **Bagi Polinomial:** Gunakan metode Horner atau pembagian bersusun untuk membagi <InlineMath math="P(x)" /> dengan faktor <InlineMath math="(x - c)" /> yang sudah ditemukan. Hasil baginya adalah <InlineMath math="H(x)" />.

    <BlockMath math="P(x) = (x - c) \cdot H(x)" />

4.  **Faktorkan Hasil Bagi:** Jika <InlineMath math="H(x)" /> masih bisa difaktorkan (misalnya jika <InlineMath math="H(x)" /> adalah polinomial kuadrat atau kubik yang masih bisa dicari akarnya), ulangi proses dari langkah 1 pada <InlineMath math="H(x)" />.
5.  **Faktorisasi Lengkap:** Tulis <InlineMath math="P(x)" /> sebagai perkalian dari semua faktor linier yang ditemukan.

### Memfaktorkan Polinomial

Misalkan <InlineMath math="P(x) = x^3 + 2x^2 - 13x + 10" />. Kita perhatikan bahwa jumlah semua koefisien dan konstanta (<InlineMath math="1 + 2 - 13 + 10" />) adalah 0. Ini menandakan bahwa <InlineMath math="P(1) = 0" />.

1.  **Konfirmasi Pembuat Nol:**

    Hitung <InlineMath math="P(1)" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="P(1) = (1)^3 + 2(1)^2 - 13(1) + 10" />
      <BlockMath math="P(1) = 1 + 2 - 13 + 10" />
      <BlockMath math="P(1) = 0" />
    </div>

2.  **Konfirmasi Faktor:**
    
    Karena <InlineMath math="P(1) = 0" />, maka <InlineMath math="(x - 1)" /> adalah faktor dari <InlineMath math="P(x)" />.

3.  **Bagi Polinomial:**

    Kita gunakan metode Horner untuk membagi <InlineMath math="P(x)" /> dengan <InlineMath math="(x - 1)" /> (<InlineMath math="c = 1" />).

    <BlockMath
      math="
    \begin{array}{c|cccc}
    1 & 1 & 2 & -13 & 10 \\
      &   & 1 & 3 & -10 \\
    \hline
      & 1 & 3 & -10 & \boxed{0} \\
    \end{array}
    "
    />

    Hasil baginya adalah <InlineMath math="H(x) = 1x^2 + 3x - 10 = x^2 + 3x - 10" />. Sisa pembagian adalah 0, sesuai dugaan.

    Jadi, <InlineMath math="P(x) = (x - 1)(x^2 + 3x - 10)" />.

4.  **Faktorkan Hasil Bagi:**

    Faktorkan polinomial kuadrat <InlineMath math="H(x) = x^2 + 3x - 10" />.

    <BlockMath math="x^2 + 3x - 10 = (x - 2)(x + 5)" />

5.  **Faktorisasi Lengkap:**

    Gabungkan semua faktor.

    <BlockMath math="P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 5)" />

## Latihan

Misalkan <InlineMath math="P(x) = x^3 - 2x^2 - 21x - 18" />. Tunjukkan bahwa <InlineMath math="P(-1) = 0" />, dan gunakan hal tersebut untuk memfaktorkan <InlineMath math="P(x)" /> secara komplet.

### Kunci Jawaban

1.  **Tunjukkan <InlineMath math="P(-1) = 0" />:**

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="P(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 - 21(-1) - 18" />
      <BlockMath math="P(-1) = -1 - 2(1) + 21 - 18" />
      <BlockMath math="P(-1) = -1 - 2 + 21 - 18" />
      <BlockMath math="P(-1) = -3 + 3 = 0" />
    </div>
    Terbukti <InlineMath math="P(-1) = 0" />.

2.  **Konfirmasi Faktor:**
    
    Karena <InlineMath math="P(-1) = 0" />, maka <InlineMath math="(x - (-1)) = (x + 1)" /> adalah faktor dari <InlineMath math="P(x)" />.

3.  **Bagi Polinomial (Metode Horner dengan <InlineMath math="c = -1" />):**

    <BlockMath
      math="
    \begin{array}{c|cccc}
    -1 & 1 & -2 & -21 & -18 \\
       &   & -1 & 3 & 18 \\
    \hline
       & 1 & -3 & -18 & \boxed{0} \\
    \end{array}
    "
    />

    Hasil baginya adalah <InlineMath math="H(x) = x^2 - 3x - 18" />.

    Jadi, <InlineMath math="P(x) = (x + 1)(x^2 - 3x - 18)" />.

4.  **Faktorkan Hasil Bagi:**

    Faktorkan <InlineMath math="H(x) = x^2 - 3x - 18" />.

    <BlockMath math="x^2 - 3x - 18 = (x - 6)(x + 3)" />

5.  **Faktorisasi Lengkap:**

    <BlockMath math="P(x) = (x + 1)(x - 6)(x + 3)" />
