# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/polynomial/rational-zero
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/polynomial/rational-zero/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Pembuat Nol Rasional",
  description: "Kuasai Teorema Pembuat Nol Rasional untuk mencari akar polinomial dengan efisien. Pelajari metode langkah demi langkah dengan contoh praktis.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/04/2025",
  subject: "Polinomial",
};

## Mencari Akar Rasional Polinomial

Setelah mengetahui [Teorema Faktor](/subject/high-school/11/mathematics/polynomial/factor-theorem), kita tahu bahwa mencari faktor <InlineMath math="(x-c)" /> sama saja dengan mencari pembuat nol (akar) <InlineMath math="c" /> dari polinomial <InlineMath math="P(x)" />. Namun, bagaimana cara kita menemukan nilai <InlineMath math="c" /> tersebut, terutama jika polinomialnya berderajat tinggi?

Mencoba-coba semua bilangan tentu tidak efisien. Di sinilah **Teorema Pembuat Nol Rasional** (atau Teorema Akar Rasional) berperan. Teorema ini membantu kita mempersempit daftar kemungkinan akar rasional dari suatu polinomial.

## Teorema Pembuat Nol Rasional

Misalkan <InlineMath math="P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0" /> adalah polinomial dengan koefisien-koefisien (<InlineMath math="a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0" />) yang semuanya merupakan **bilangan bulat**, dengan <InlineMath math="a_n \neq 0" /> dan <InlineMath math="a_0 \neq 0" />.

Jika polinomial <InlineMath math="P(x)" /> tersebut memiliki pembuat nol (akar) rasional berbentuk <InlineMath math="\frac{p}{q}" /> (di mana <InlineMath math="p" /> dan <InlineMath math="q" /> adalah bilangan bulat, <InlineMath math="q \neq 0" />, dan <InlineMath math="\frac{p}{q}" /> adalah pecahan paling sederhana), maka:

- <InlineMath math="p" /> pasti merupakan faktor dari konstanta <InlineMath math="a_0" />.
- <InlineMath math="q" /> pasti merupakan faktor dari koefisien utama <InlineMath math="a_n" />.

Teorema ini hanya memberikan daftar **kemungkinan** akar rasional. Belum tentu semua nilai <InlineMath math="\frac{p}{q}" /> dari daftar tersebut benar-benar akar dari polinomialnya. Kita masih perlu mengujinya.

## Langkah-langkah Teorema Pembuat Nol Rasional

Berikut langkah-langkah untuk menemukan akar rasional menggunakan teorema ini, seringkali dikombinasikan dengan Teorema Faktor:

1.  **Identifikasi Koefisien:** Pastikan semua koefisien (<InlineMath math="a_n, \dots, a_0" />) adalah bilangan bulat. Identifikasi konstanta <InlineMath math="a_0" /> dan koefisien utama <InlineMath math="a_n" />.
2.  **Daftar Faktor <InlineMath math="p" />:** Buat daftar semua faktor bilangan bulat (positif dan negatif) dari konstanta <InlineMath math="a_0" />.
3.  **Daftar Faktor <InlineMath math="q" />:** Buat daftar semua faktor bilangan bulat (positif dan negatif) dari koefisien utama <InlineMath math="a_n" />.
4.  **Daftar Kemungkinan Akar <InlineMath math="\frac{p}{q}" />:** Buat daftar semua kemungkinan nilai <InlineMath math="\frac{p}{q}" /> dengan membagi setiap faktor <InlineMath math="p" /> dengan setiap faktor <InlineMath math="q" />. Sederhanakan pecahan dan hilangkan duplikat.
5.  **Uji Kemungkinan Akar:** Uji setiap nilai <InlineMath math="\frac{p}{q}" /> dari daftar kemungkinan dengan mensubstitusikannya ke <InlineMath math="P(x)" /> (menggunakan Teorema Sisa) atau menggunakan metode Horner. Jika hasilnya <InlineMath math="P(\frac{p}{q}) = 0" />, maka <InlineMath math="\frac{p}{q}" /> adalah akar rasional, dan <InlineMath math="(x - \frac{p}{q})" /> (atau bentuk <InlineMath math="(qx - p)" />) adalah faktornya (Teorema Faktor).
6.  **Faktorkan Lebih Lanjut:** Setelah menemukan satu akar rasional <InlineMath math="c" />, gunakan hasil bagi dari metode Horner untuk mencari akar-akar lainnya dari polinomial yang derajatnya sudah lebih rendah.

### Penggunaan Teorema Faktor dan Pembuat Nol Rasional

Faktorkan polinomial <InlineMath math="P(x) = x^3 + 2x^2 - 9x - 18" /> secara komplet.

1.  **Identifikasi Koefisien:**
    
    Koefisien adalah bilangan bulat. <InlineMath math="a_0 = -18" /> dan <InlineMath math="a_n = 1" />.

2.  **Faktor <InlineMath math="p" /> (dari <InlineMath math="a_0 = -18" />):**

    <BlockMath math="\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18" />

3.  **Faktor <InlineMath math="q" /> (dari <InlineMath math="a_n = 1" />):**

    <BlockMath math="\pm 1" />

4.  **Kemungkinan Akar <InlineMath math="\frac{p}{q}" />:**

    Membagi semua <InlineMath math="p" /> dengan <InlineMath math="q = \pm 1" /> menghasilkan:

    <BlockMath math="\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18" />

5.  **Uji Kemungkinan Akar:** Kita coba beberapa nilai dari daftar ini.

    - Coba <InlineMath math="x = 1" />:

      <BlockMath math="P(1) = 1 + 2 - 9 - 18 = -24 \neq 0" />

    - Coba <InlineMath math="x = -1" />:

      <BlockMath math="P(-1) = -1 + 2 + 9 - 18 = -8 \neq 0" />

    - Coba <InlineMath math="x = 2" />:

      <BlockMath math="P(2) = 8 + 8 - 18 - 18 = -20 \neq 0" />

    - Coba <InlineMath math="x = -2" />:

      <BlockMath math="P(-2) = -8 + 8 + 18 - 18 = 0" />
      
      Berhasil! Jadi, <InlineMath math="x = -2" /> adalah akar, dan <InlineMath math="(x+2)" /> adalah faktor.

    - Atau dicoba <InlineMath math="x = 3" />:

      <BlockMath math="P(3) = (3)^3 + 2(3)^2 - 9(3) - 18 = 27 + 18 - 27 - 18 = 0" />
      
      Berhasil! Jadi, <InlineMath math="x = 3" /> adalah akar, dan <InlineMath math="(x-3)" /> adalah faktor.

6.  **Faktorkan Lebih Lanjut (menggunakan akar <InlineMath math="x = 3" />):**

    Bagi <InlineMath math="P(x)" /> dengan <InlineMath math="(x-3)" /> menggunakan Horner (<InlineMath math="c = 3" />).

    <BlockMath
      math="
    \begin{array}{c|cccc}
    3 & 1 & 2 & -9 & -18 \\
      &   & 3 & 15 & 18 \\
    \hline
      & 1 & 5 & 6 & \boxed{0} \\
    \end{array}
    "
    />

    Hasil baginya <InlineMath math="H(x) = x^2 + 5x + 6" />.
    
    Maka, <InlineMath math="P(x) = (x-3)(x^2 + 5x + 6)" />.

7.  **Faktorkan Hasil Bagi:**

    Faktorkan <InlineMath math="x^2 + 5x + 6" />.

    <BlockMath math="x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)" />

8.  **Faktorisasi Lengkap:**

    <BlockMath math="P(x) = (x-3)(x+2)(x+3)" />

## Latihan

Faktorkan <InlineMath math="P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 20" /> secara komplet menggunakan Teorema Pembuat Nol Rasional dan Teorema Faktor.

### Kunci Jawaban

1.  **Identifikasi Koefisien:** <InlineMath math="a_0 = 20" />, <InlineMath math="a_n = 2" />.
2.  **Faktor <InlineMath math="p" /> (dari 20):** <InlineMath math="\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20" />.
3.  **Faktor <InlineMath math="q" /> (dari 2):** <InlineMath math="\pm 1, \pm 2" />.
4.  **Kemungkinan Akar <InlineMath math="\frac{p}{q}" />:** <InlineMath math="\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20, \pm 1/2, \pm 5/2" />.
5.  **Uji Akar:**
    
    Coba <InlineMath math="x = 2" />.

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="P(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 20" />
      <BlockMath math="P(2) = 2(8) - 3(4) - 24 + 20" />
      <BlockMath math="P(2) = 16 - 12 - 24 + 20" />
      <BlockMath math="P(2) = 4 - 4 = 0" />
    </div>

    Karena <InlineMath math="P(2)=0" />, maka <InlineMath math="x=2" /> adalah akar dan <InlineMath math="(x-2)" /> adalah faktor.

6.  **Bagi dengan Horner (<InlineMath math="c = 2" />):**

    <BlockMath
      math="
    \begin{array}{c|cccc}
    2 & 2 & -3 & -12 & 20 \\
      &   & 4 & 2 & -20 \\
    \hline
      & 2 & 1 & -10 & \boxed{0} \\
    \end{array}
    "
    />

    Hasil bagi <InlineMath math="H(x) = 2x^2 + x - 10" />.

    <InlineMath math="P(x) = (x-2)(2x^2 + x - 10)" />.

7.  **Faktorkan Hasil Bagi:**

    Faktorkan <InlineMath math="2x^2 + x - 10" />.

    <BlockMath math="2x^2 + x - 10 = (2x+5)(x-2)" />

8.  **Faktorisasi Lengkap:**

    <div className="flex flex-col gap-4">
      <BlockMath math="P(x) = (x-2)(2x+5)(x-2)" />
      <BlockMath math="P(x) = (x-2)^2 (2x+5)" />
    </div>