# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/11/mathematics/polynomial/remainder-theorem
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/11/mathematics/polynomial/remainder-theorem/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Teorema Sisa",
  description: "Temukan cara cepat menghitung sisa pembagian polinomial tanpa pembagian panjang. Pelajari Teorema Sisa dengan contoh dan pembuktian yang jelas.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/04/2025",
  subject: "Polinomial",
};

## Memahami Teorema Sisa

Pernahkah kamu berpikir, adakah cara cepat untuk mengetahui sisa pembagian suatu polinomial tanpa perlu melakukan pembagian bersusun atau metode Horner yang panjang? Jawabannya ada pada **Teorema Sisa**!

Teorema Sisa memberikan hubungan menarik antara sisa pembagian polinomial dengan nilai polinomial itu sendiri.

### Pernyataan Teorema Sisa

Jika suatu polinomial <InlineMath math="P(x)" /> dibagi oleh <InlineMath math="(x - c)" />, maka sisa pembagiannya adalah <InlineMath math="S = P(c)" />.

Artinya, untuk mencari sisa pembagian <InlineMath math="P(x)" /> oleh <InlineMath math="(x - c)" />, kita cukup menghitung nilai <InlineMath math="P(x)" /> ketika <InlineMath math="x = c" />.

### Mengapa Teorema Sisa Berlaku?

Teorema ini berasal langsung dari algoritma pembagian polinomial yang sudah kita kenal:

<BlockMath math="P(x) = (x - c) \cdot H(x) + S" />

Di mana:

- <InlineMath math="P(x)" /> adalah polinomial yang dibagi.
- <InlineMath math="(x - c)" /> adalah polinomial pembagi (berderajat 1).
- <InlineMath math="H(x)" /> adalah hasil bagi.
- <InlineMath math="S" /> adalah sisa pembagian (berupa konstanta, karena pembagi berderajat 1).

Sekarang, coba kita substitusikan <InlineMath math="x = c" /> ke dalam persamaan algoritma pembagian tersebut:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="P(c) = (c - c) \cdot H(c) + S" />
  <BlockMath math="P(c) = (0) \cdot H(c) + S" />
  <BlockMath math="P(c) = 0 + S" />
  <BlockMath math="P(c) = S" />
</div>

Terbukti bahwa nilai polinomial <InlineMath math="P(x)" /> saat <InlineMath math="x = c" /> sama dengan sisa <InlineMath math="S" /> ketika <InlineMath math="P(x)" /> dibagi oleh <InlineMath math="(x - c)" />.

## Menghitung Teorema Sisa

Teorema Sisa sangat berguna untuk menentukan sisa pembagian secara cepat atau untuk menghitung nilai suatu polinomial pada titik tertentu.

Tentukan sisa pembagian jika <InlineMath math="P(x) = 2x^5 + 5x^4 - 10x^3 + 9x^2 - 10" /> dibagi oleh <InlineMath math="x + 4" />.

### Menggunakan Metode Horner

Pembagi adalah <InlineMath math="x + 4" />, atau <InlineMath math="x - (-4)" />, jadi <InlineMath math="c = -4" />.

Koefisien <InlineMath math="P(x)" /> (lengkapi suku x): <InlineMath math="2, 5, -10, 9, 0, -10" />.

<BlockMath
  math="
\begin{array}{c|cccccc}
-4 & 2 & 5 & -10 & 9 & 0 & -10 \\
  &   & -8 & 12 & -8 & -4 & 16 \\
\hline
  & 2 & -3 & 2 & 1 & -4 & \boxed{6} \\
\end{array}
"
/>

Dari metode Horner, kita dapatkan:

- Hasil Bagi: <InlineMath math="H(x) = 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 + x - 4" />
- Sisa: <InlineMath math="S = \boxed{6}" />

### Menggunakan Teorema Sisa

Menurut Teorema Sisa, sisa pembagian <InlineMath math="P(x)" /> oleh <InlineMath math="x - (-4)" /> adalah <InlineMath math="P(-4)" />.

Mari kita hitung <InlineMath math="P(-4)" />:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="P(-4) = 2(-4)^5 + 5(-4)^4 - 10(-4)^3 + 9(-4)^2 - 10" />
  <BlockMath math="P(-4) = 2(-1024) + 5(256) - 10(-64) + 9(16) - 10" />
  <BlockMath math="P(-4) = -2048 + 1280 + 640 + 144 - 10" />
  <BlockMath math="P(-4) = -2048 + 1920 + 144 - 10" />
  <BlockMath math="P(-4) = -128 + 144 - 10" />
  <BlockMath math="P(-4) = 16 - 10" />
  <BlockMath math="P(-4) = 6" />
</div>

Hasilnya sama! Dengan Teorema Sisa, kita menemukan bahwa sisanya adalah 6, sama seperti hasil dari metode Horner, tetapi tanpa perlu melakukan proses pembagian lengkap.

Ini menunjukkan bahwa menghitung <InlineMath math="P(c)" /> adalah cara lain untuk menemukan sisa pembagian oleh <InlineMath math="(x-c)" />.

## Latihan

Jika <InlineMath math="P(x) = 3x^5 - 20x^4 - 6x^3 - 48x - 8" /> dibagi dengan <InlineMath math="x - 7" />, tentukan sisanya menggunakan Teorema Sisa.

### Kunci Jawaban

Menurut Teorema Sisa, sisa pembagian <InlineMath math="P(x)" /> oleh <InlineMath math="x - 7" /> adalah <InlineMath math="P(7)" />.

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="P(7) = 3(7)^5 - 20(7)^4 - 6(7)^3 - 48(7) - 8" />
  <BlockMath math="P(7) = 3(16807) - 20(2401) - 6(343) - 336 - 8" />
  <BlockMath math="P(7) = 50421 - 48020 - 2058 - 336 - 8" />
  <BlockMath math="P(7) = 2401 - 2058 - 336 - 8" />
  <BlockMath math="P(7) = 343 - 336 - 8" />
  <BlockMath math="P(7) = 7 - 8" />
  <BlockMath math="P(7) = -1" />
</div>

Jadi, sisa pembagiannya adalah <InlineMath math="-1" />.
