# Nakafa Framework: LLM

URL: /id/subject/high-school/12/mathematics/analytic-geometry/equation-of-circle
Source: https://raw.githubusercontent.com/nakafaai/nakafa.com/refs/heads/main/packages/contents/subject/high-school/12/mathematics/analytic-geometry/equation-of-circle/id.mdx

Output docs content for large language models.

---

export const metadata = {
  title: "Persamaan Lingkaran",
  description: "Pelajari persamaan lingkaran dari (x-h)² + (y-k)² = r² ke bentuk umum. Kuasai cara mencari pusat, jari-jari, dan konversi bentuk dengan latihan soal.",
  authors: [{ name: "Nabil Akbarazzima Fatih" }],
  date: "05/26/2025",
  subject: "Geometri Analitik",
};

import { getColor } from "@repo/design-system/lib/color";
import { LineEquation } from "@repo/design-system/components/contents/line-equation";

## Memahami Persamaan Lingkaran

Persamaan lingkaran adalah formula matematika yang menggambarkan semua titik yang membentuk lingkaran pada bidang koordinat. Bayangkan kamu punya kompas dan ingin menggambar lingkaran di kertas berkoordinat. Nah, persamaan lingkaran ini yang memberitahu kita koordinat mana saja yang akan dilalui ujung pensil kompas tersebut.

Kenapa ini berguna? Karena dengan mengetahui persamaan lingkaran, kita bisa langsung tahu di mana **pusat lingkaran** berada dan berapa **jari-jarinya** tanpa harus menggambar lingkarannya dulu.

## Lingkaran Berpusat di Titik Asal

Kita mulai dari kasus yang paling gampang dulu ya: lingkaran yang pusatnya ada di titik asal <InlineMath math="O(0,0)" />. 

Kalau kita punya lingkaran dengan pusat di <InlineMath math="O(0,0)" /> dan jari-jari <InlineMath math="r" />, maka setiap titik <InlineMath math="(x,y)" /> pada lingkaran tersebut punya jarak yang sama dari pusat, yaitu sebesar <InlineMath math="r" />.

Pakai rumus jarak, kita dapatkan:

<BlockMath math="\sqrt{x^2 + y^2} = r" />

Kalau kita kuadratkan kedua ruas, daperoleh persamaan lingkaran dengan pusat di titik asal:

<BlockMath math="x^2 + y^2 = r^2" />

Coba kita visualisasi dulu ya.

<LineEquation
  title="Lingkaran dengan Pusat di Titik Asal"
  description={<>Lingkaran dengan pusat <InlineMath math="O(0,0)" /> dan jari-jari 3.</>}
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 3 * Math.cos(angle),
          y: 3 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const center = { x: 0, y: 0 };
        const radius = 3;
        const angle = 0;
        return {
          x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
          y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "O(0,0)", at: 0, offset: [-0.5, -0.5, 0] },
        { text: "r = 3", at: 1, offset: [0, -0.5, 0] },
      ],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const xMin = -4;
        const xMax = 4;
        const y = 0;
        return {
          x: xMin + i * (xMax - xMin),
          y: y,
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const yMin = -4;
        const yMax = 4;
        const x = 0;
        return {
          x: x,
          y: yMin + i * (yMax - yMin),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 10]}
  showZAxis={false}
/>

Untuk lingkaran di atas, persamaannya adalah <InlineMath math="x^2 + y^2 = 9" /> karena jari-jarinya 3, jadi <InlineMath math="r^2 = 3^2 = 9" />.

## Lingkaran dengan Pusat Sembarang

Sekarang gimana kalau pusatnya bukan di titik asal? Misalnya pusat lingkaran ada di titik <InlineMath math="P(a,b)" /> dengan jari-jari <InlineMath math="r" />.

Setiap titik <InlineMath math="(x,y)" /> pada lingkaran ini harus punya jarak yang sama dengan <InlineMath math="r" /> dari pusat <InlineMath math="P(a,b)" />. Pakai rumus jarak:

<BlockMath math="\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r" />

Setelah dikuadratkan, kita peroleh **persamaan umum lingkaran**:

<BlockMath math="(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2" />

Kalau kita visualisasi, maka akan terlihat seperti ini:

<LineEquation
  title="Lingkaran dengan Pusat Sembarang"
  description={<>Lingkaran dengan pusat <InlineMath math="P(2,-1)" /> dan jari-jari 2.</>}
  data={[
    {
      points: Array.from({ length: 361 }, (_, i) => {
        const angle = (i * Math.PI) / 180;
        return {
          x: 2 + 2 * Math.cos(angle),
          y: -1 + 2 * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("PURPLE"),
      showPoints: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const center = { x: 2, y: -1 };
        const radius = 2;
        const angle = 0;
        return {
          x: center.x + i * radius * Math.cos(angle),
          y: center.y + i * radius * Math.sin(angle),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("ORANGE"),
      showPoints: true,
      labels: [
        { text: "P(2,-1)", at: 0, offset: [-0.5, 0.5, 0] },
        { text: "r = 2", at: 1, offset: [0, -0.5, 0] },
      ],
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const xMin = -1;
        const xMax = 5;
        const y = 0;
        return {
          x: xMin + i * (xMax - xMin),
          y: y,
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
    {
      points: Array.from({ length: 2 }, (_, i) => {
        const yMin = -4;
        const yMax = 2;
        const x = 0;
        return {
          x: x,
          y: yMin + i * (yMax - yMin),
          z: 0,
        };
      }),
      color: getColor("AMBER"),
      showPoints: false,
      smooth: false,
    },
  ]}
  cameraPosition={[0, 0, 10]}
  showZAxis={false}
/>

Persamaan lingkaran di atas adalah <InlineMath math="(x-2)^2 + (y+1)^2 = 4" /> karena pusatnya <InlineMath math="P(2,-1)" /> dan jari-jarinya 2, jadi <InlineMath math="r^2 = 2^2 = 4" />.

## Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

Kadang kita nemuin persamaan lingkaran yang udah dikembangkan jadi bentuk umum. Misalnya dari persamaan <InlineMath math="(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9" />, kalau kita kembangkan:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9" />
  <BlockMath math="x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 9" />
  <BlockMath math="x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 9" />
  <BlockMath math="x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0" />
</div>

Bentuk terakhir ini disebut **bentuk umum persamaan lingkaran**:

<BlockMath math="x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0" />

Kalau kita punya persamaan dalam bentuk umum, kita bisa ubah lagi ke bentuk baku dengan teknik **melengkapkan kuadrat sempurna**.

> Tidak semua persamaan berbentuk <InlineMath math="x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0" /> itu persamaan lingkaran lho. Syaratnya adalah <InlineMath math="D^2 + E^2 - 4F > 0" />. Kalau nilai ini nol, maka cuma berupa satu titik aja, dan kalau negatif, berarti ga ada kurva sama sekali.

## Menentukan Pusat dan Jari-jari

Dari bentuk baku <InlineMath math="(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2" />, kita langsung bisa tau:

Pusat lingkarannya di <InlineMath math="(a,b)" /> dan jari-jarinya <InlineMath math="r" /> (yang didapat dari <InlineMath math="r = \sqrt{r^2}" />).

Sedangkan dari bentuk umum <InlineMath math="x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0" />, kita bisa tentukan:

<div className="flex flex-col gap-4">
  <BlockMath math="\text{Pusat lingkaran: } \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)" />
  <BlockMath math="\text{Jari-jari: } r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}" />
</div>

## Latihan

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di <InlineMath math="(3,-2)" /> dengan jari-jari 5.

2. Diketahui lingkaran dengan persamaan <InlineMath math="x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0" />. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut.

3. Sebuah lingkaran melalui titik <InlineMath math="(6,-8)" /> dan berpusat di <InlineMath math="O(0,0)" />. Tentukan persamaan lingkaran tersebut.

4. Tentukan persamaan lingkaran yang mempunyai diameter dengan ujung-ujung di <InlineMath math="A(1,3)" /> dan <InlineMath math="B(7,-1)" />.

### Kunci Jawaban

1. **Penyelesaian**: 

   Diketahui pusat <InlineMath math="(a,b) = (3,-2)" /> dan jari-jari <InlineMath math="r = 5" />.
   
   Pakai rumus persamaan lingkaran:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2" />
     <BlockMath math="(x-3)^2 + (y-(-2))^2 = 5^2" />
     <BlockMath math="(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25" />
   </div>
   
   Jadi persamaan lingkarannya adalah <InlineMath math="(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25" />.

2. **Penyelesaian**:

   Dari persamaan <InlineMath math="x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0" />, kita identifikasi koefisien:
   
   <InlineMath math="D = -6" />, <InlineMath math="E = 4" />, <InlineMath math="F = -12" />
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="\text{Pusat: } \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right) = \left(-\frac{(-6)}{2}, -\frac{4}{2}\right) = (3, -2)" />
     <BlockMath math="r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F} = \frac{1}{2}\sqrt{(-6)^2 + 4^2 - 4(-12)}" />
     <BlockMath math="r = \frac{1}{2}\sqrt{36 + 16 + 48} = \frac{1}{2}\sqrt{100} = \frac{1}{2} \times 10 = 5" />
   </div>
   
   Jadi pusat lingkaran di <InlineMath math="(3,-2)" /> dengan jari-jari 5.

3. **Penyelesaian**:

   Karena lingkaran berpusat di <InlineMath math="O(0,0)" /> dan melalui titik <InlineMath math="(6,-8)" />, maka jari-jarinya adalah jarak dari pusat ke titik tersebut.
   
   <BlockMath math="r = \sqrt{(6-0)^2 + (-8-0)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10" />
   
   Persamaan lingkarannya: <InlineMath math="x^2 + y^2 = r^2 = 10^2 = 100" />

4. **Penyelesaian**:

   Pusat lingkaran adalah titik tengah dari diameter <InlineMath math="AB" />:
   
   <BlockMath math="\text{Pusat} = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{1+7}{2}, \frac{3+(-1)}{2}\right) = \left(\frac{8}{2}, \frac{2}{2}\right) = (4, 1)" />
   
   Jari-jari adalah setengah panjang diameter:
   
   <div className="flex flex-col gap-4">
     <BlockMath math="\text{Panjang } AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2} = \sqrt{(7-1)^2 + (-1-3)^2}" />
     <BlockMath math="= \sqrt{6^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13}" />
     <BlockMath math="r = \frac{\text{diameter}}{2} = \frac{2\sqrt{13}}{2} = \sqrt{13}" />
   </div>
   
   Persamaan lingkarannya: <InlineMath math="(x-4)^2 + (y-1)^2 = (\sqrt{13})^2 = 13" />